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求函数最值的几种方法
最值问题是高中数学中一类非常重要的问题，在高考中占据着重要地位。最值问题的解法灵活多样，因此解决最值问题具有一定难度。本学年的学生正在学习新课标A版必修5的第三章不等式，结合教学中遇到的一些最值问题，我对最值问题的解法进行了初步的探究、归纳和总结。
一、不等式法
本章我们学习了两个重要的不等式：（1）对于任意实数，，当且仅当时，等号成立；（2）对于任意实数，当且仅当时，等号成立。这两个不等式以及它们的变形形式在解决最值问题中有着重要的应用。从第二个不等式中我们可以看出：当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，当且仅当时，等号成立；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，当且仅当时，等号成立。以上结论总结起来就是八个字：“积定和小，和定积大”。
例1.（1）已知，求的最小值及此时的的值；
（2）已知，求的最大值.
分析：（1）可以从对号函数的角度出发，通过研究对号函数的图像进而得出结论；（2）可以用研究二次函数最值的方法，对表达式进行配方.与以上利用函数的方法比较，利用不等式求最值的方法要简便一些。
解:(1) 因为,所以,因此,当且仅当,即时,等号成立.
(2)因为,所以,因此

当且仅当,即时,等号成立.
解决例1中的这类问题需要对要求最值的表达式进行“配凑”,力图将其化为和为定值或者积为定值的形式,再利用基本不等式求取最值.在求解过程中要注意应用基本不等式的条件以及取等条件是否成立,要符合“一正二定三相等”的要求.
例2.求函数的最值.
分析:我们知道
,
当且仅当,即时,等号成立.但是显然等号不可能成立,因此利用不等式取不到最值.
解: .
令,则.因为在上单调递增,所以当时,,此时.
二、消参法
消参法时我们在解决含有两个或者两个以上参数的最值问题时非常常用的方法，在消参的过程中要注意被留下的参数的范围，也就是说要“消参等价”.例如,在例3中,已知条件中给出了参量的关系,利用这一等式关系可把或者消掉,只保留一个参数,但是要注意保留参数的取值范围.
例3.若正数满足,求的最小值.
解:由已知得:,其中.则有
,
当且仅当,即时,等号成立,此时.
三、“1”的代换
同样是解决例3这类的问题,我们还可以利用数“1”的特性:1乘以任何数(式)都等于它本身,将要求最值的表达式进行变形,进而求出它的最值.
例3.若正数满足,求的最小值.
解:由已知得:
,
当且仅当时,等号成立.又由,可得:,即当时, 取最小值为25.
例4.已知两个正数满足，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
解：要使不等式恒成立，则不大于的最小值.由已知可得:
’
当且仅当时等号成立,又,所以.因此.
虽然例4中的已知条件中没有出现1，但是与的和仍是一个常数,我们可以将常数乘以一定的系数化成1,因此,对于这类问题只要加和为常数都可以用“1”的代换的方法来解决,故“1”的代换也可以叫做“”的代换.
四、三角换元法
三角换元法在很多数学问题中都有着重要应用.适合用三角换元法求解的问题基本都有以下特点:两个参数均为正数,且加和等于1或者一个常数.例如,已知,则我们可令,其中.
例5. 求函数的最大值.
解：令，，其中，则
,

当且仅当时等号成立,此时.
五、数形结合法
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来解决问题的方法叫做数形结合法.利用数形结合解题可以让学生更直观的看到取得最值的过程,还可以简化解题过程达到事半功倍的效果.
例6.若均为实数,且,求的最小值.
解法一(数形结合): 由已知条件可知：表示直线上横纵坐标均为正数的点到原点距离的平方，要求的最小值就是要求直线上哪点到原点距离最短.如图所示,线段的长度就是最短距离,此时点坐标为,最短距离的平方,即的最小值为.
解法二不等式法):由已知得: .由可得:,当且仅当时等号成立.
解法三(消参法):由已知得: ,其中,则有

当且仅当时等号成立,此时.
求最值问题的方法灵活多样,对于一道题可能存在很多种不同的解法,在上面介绍的五种基本方法中,消参法的适用范围最广泛,将含有多个参数的最值问题转化成函数再求最值也是我们最常用的方法,因此,利用求函数值域的方法也可以解决某些最值问题;不等式法和数形结合法在简化问题方面的作用比较突出;三角换元法和“1”的代换法的适用条件比较特殊,但是对于解决某些问题确实非常有效的方法.研究最值问题的解法是个很有魅力的数学课题,我会在以后的教学实践中不断地对方法进行总结和补充.

求函数最值的几种方法

哈尔滨市第九中学
数学组
李敏