八年级数学上册-专题复习三数学思想方法.doc

八年级数学（上）专题复习三
——数学思想方法选讲
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识；数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段；数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高解题能力根本之所在。因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化的思想、函数与方程的思想、数学建模的思想等．
一、分类讨论思想
当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。
【要点梳理】
数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在期末考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。
【典型例题】
1.在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点.请你在坐标上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形，在给出坐标系中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，P3……（不必写出画法）。
2.一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（ ）个。 A．4 B．5 C．7 D．8
4.已知等边△ABC所在平面上有点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问具有这样性质的点P有多少个？请你分别画出来。

二、数形结合思想
把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
【要点梳理】
数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。
【典型例题】
1．两个二元一次方程中的x和y项的系数均不为零，它们组成的方程组的解是
试写出一个这样的方程组 .
2．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，
则点C所表示的数为（ ）
C
A
O
B

A．―2― B．―1―
C．―2＋ D． 1＋
3．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 c（件）关于时间t（月）的图象
如图所示，则该厂对这种产品来说（ ）。
A.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量逐月减少
B.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量与3月持平
C.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产
D.1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
4．某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2.4元每
加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分)之间的关系的图象如图所示
，正确的是（ ）

5. 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个
面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积
为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为
的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计
算： .
6.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么2
个小时时血液中含药最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时
时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化
如图所示.当成人按规定剂量服药后.
(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式;
(2)如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时
,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?

三、转化的思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常
是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问
题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问
题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
【要点梳理】
所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方
程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化
的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等。
将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择
运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思
想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。
除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，多元向一元转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。
【典型例题】
1.函数y=中自变量x的取值范围是 。
2.一次函数y=kx＋b的图象经过点A（0，－2）和B（－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ）。

3.设一个三角形的三边长为3，l－2m，8，则m的取值范围是（ ）。
A．0＜m＜ B. －5＜m－ 2 C．－2＜m ＜5 D．－＜m＜－l
4.求直线y=3x＋1与y=1－5x的交点坐标是 。
5.已知点在同一条直线上，则m= ____________ 。
6.如图①,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点A在第二象限内.点B、点C在x轴的负半轴上, ∠CAO=30°,OA=4.
(1)求点C的坐标;
(2)如图②,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置, 其中A'C交知线OA与点E,A'B'分别交直线OA,CA与点F,G,则除△A'B'C≌△AOC外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案(不再另外添加辅助线)。

① ②

四、函数与方程的思想
函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
1．初中函数知识网络
函数
定义
解析式
三种函数
一次函数
二次函数
反比例函数
平面直角坐标系
坐标特征
函数图象
综合运用

2．平面直角坐标系知识要点：
（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
x
y
0
第一象限
（+，+）
第二象限
（－，+）
第四象限
（+，－）
第三象限
（－，－）
1
1
-1
-1
图1
（2）特殊位置上点的坐标特点：
①点P(x，y)在x轴上 y=0；
点P(x，y)在y轴上 x=0；
②点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x=y；
点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x+y=0;
③点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)；
点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)；
3．一次函数知识要点：
（1）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。k、b是常数的含义是，对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的。k≠0这个条件不能省略不写，若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连成直线。画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取和两点连成直线。通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。
直线的倾斜形态与k的关系如下：（1）k>0时，直线的倾斜形态“/”；（2）k<0时，直线的倾斜形态“\”。要树立“数形结合”的数学思想方法。由k的数值（正、负）决定出直线的倾斜形态，反之，由直线的倾斜形态能确定k的正、负。y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx（k≠0）的图象是两直平行线。
直线所经过的象限与k、b的关系：

示意图

k、b
的符号
k＞0
k＞0
b＞0
b＜0
b＞0
b＜0
y＝kx＋b所
经过的象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
y＝kx＋b不
经过的象限
四
三
二
一
（3）一次函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（4）一次函数解析式的确定：
在正比例函数y=kx（k≠0）中，只要求出k的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求y=kx（k≠0）所需条件是一个点坐标。
由于一次函数y=kx+b（k≠0）中需要求出k与b的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的数值。
要注意掌握由坐标求线段长度，由线段长度求坐标的转换方法。掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标，求直线解析式的方法。掌握求两直线交点坐标的方法。
4．中考函数新颖试题分析
中考数学试题里，有关函数的试题覆盖了函数的主要考点，且出现了一些体现新课程理念，具有强烈的时代气息的新颖试题，下面结合一些事例作简单分析。

4.1网格与坐标系
例1.如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）上。

A.（-1，1） B.（-1，2） C.（-2，1） D.（-2，2）
例2. 如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋② 的坐标为,白棋④的坐标为,那么黑棋①的坐标应该是 .
评注：这两个题充分利用方格纸的特点及坐标的有关知识，将方格纸与平面直角坐标系以及学生熟悉的象棋、围棋联系在一起，新颖而有趣味性。
4.2阅读函数图象，解决实际问题。
例3.某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示.
（1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 ；
当200＜x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 .
（2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票？

（3）请思考并解释图像与y轴交点（0，－1000）的实际意义.
（4）根据图像，请你再提供2条信息。

4.3函数探索性试题

O
x
y
y=x

例4.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。
分析：对存在性探索试题，其一般解题思路是：先对作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的推理或计算，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。顺着这种思路，对该题，我们很容易得到以下两种解法。
评注：所谓探索型试题，是指缺少一定的题设和结论，需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。由于这类考题形式新颖、思考方向不确定，因此，综合性和逻辑性较强，它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质，培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。其具体形式多样，其中，存在性探索题是最常见的一类。
五、数学建模的思想
简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。这需要考生具备阅读理解材料、获取有用信息、建立数学模型、解决实际问题的能力。
【要点梳理】
1.新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.
2.解答应用题的主要步骤有：(1)建模，它是解答应用解题的最关键的步骤，即在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题；(2)解模，即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论．其解答的基本程序可表示如下。

3.常见的数学模型及相关问题归类如下：
建模
相关内容
方程
工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、调配、面积等
函数
方案优化、风险估算、成本最低、利润最大
不等式
最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算
【典型例题】
1.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
⑴按该公司要求可以有几种购买方案？
⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？

2.某园林门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年八年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元几类年票每张440元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
⑴ 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进人该园林的次数最多的购票方式；
⑵ 求一年中进人该园林至少超过多少次时，购买A类票比较合算．

3.如图所示，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短．抽水站应建在哪里？