八年级数学代数总复习：第十三章～第十五章华东师大版知识精讲.doc

初二数学代数总复习：第十三章～第十五章华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
代数总复习
第十三章 一元一次不等式
第十四章 整式的乘法
第十五章 频率与机会

［教学目标］
1. 理解不等式（组）的意义，会列，解不等式（组），明确不等式（组）的解。
2. 理解一元一次不等式（组）的解集的概念，注意不等式（组）的解与解集的不同，能将不等式的解集在数轴上表示出来。
3. 熟练解一元一次不等式（组）及解不等式（组）在实际问题中的应用。
4. 掌握幂的运算法则。
5. 掌握整式的乘法运算法则。
6. 熟练运用乘法公式。
7. 会利用提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，对多项式进行因式分解。
8. 理解代数恒等式与面积的关系。
9. 会在实验中寻找规律，计算频率，可能性大小。
10. 会估计机会的大小，并会进行模拟实验。

二. 重点、难点：
1. 不等式（组）的应用。
2. 整式乘法的灵活应用。
3. 模拟实验。

三. 教学过程：
第十三章 一元一次不等式
第一单元 不等式和不等式的基本性质
［知识梳理］
1. 不等式的意义：
（1）用不等号把数或代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。
（2）不等式与等式一样也有左边、右边；但不同的是不等号“＞”“＜”还有方向性。
（3）不等式可分为三种：
①条件不等式，如：，只有当时，才能成立。
②绝对不等式，如：。
③矛盾不等式，如：。
2. 不等式的性质：（文字略）
用字母可以表示如下：
（1）若，则；
若，则。
（2）若，则或；
若，则或。
（3）若，则或；
若，则或。
另外，不等式还有如下性质：
若，则；若，则。
3. 常见不等式的基本语言的意义：
（1）x＞0，即x是正数。
（2）x＜0，即x是负数。
（3）x≥0，即x是非负数。
（4）x≤0，即x是非正数。
（5）若，则x大于y。
（6）若，则x小于y。
（7）x≥y，即x不小于y。
（8）x≤y，即x不大于y。
（9）若xy＞0，或，则x、y同号，即或。
（10）若xy＜0，或，则x、y异号，即或。
4. 不等式的解集：
（1）不等式的解。
（2）不等式的解集。
（3）不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来。（注意空心点与实心点）

［分类举例］
例1. 用不等式表示：
（1）x的3倍与2的差是负数。
（2）m与n的平方和不小于m与n的积的2倍。
（3）a是比1小的正数。
答案：（1）；
（2）；
（3）。

例2. 利用不等式的基本性质，填上“＜”号或“＞”号，并说明理由。
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若a为实数，且，则。
答案：（1）＞；（2）＜；（3）＞

例3. 写出符合条件且的一切整数，并在数轴上表示出来。
分析：

符合条件的整数有：，共5个。

例4. 当k为何值时，方程的解是非负数？
分析：先解方程：

因为x≥0，所以

第二单元 一元一次不等式及其解法
［知识梳理］
1. 一元一次不等式：
标准形式：或（其中a、b是常数，且）
2. 一元一次不等式的解法：（与一元一次方程类似）
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）化系数为1，此时注意系数为负数时，不等号方向改变。

［分类举例］
例1. 解下列不等式并在数轴上表示它的解集。
（1）
解：

（2）
解：

例2. 已知不等式的最小整数解是方程的解，求a的值。
分析：解不等式

因为的最小整数解是，即是方程的解，则有

例3. 已知方程组的解满足，求m的取值范围。
分析：解原方程组，得出x、y的值（以m的代数式的形式表示），再根据题设建立以m为未知数的一元一次不等式，求解即可。
解：解方程组得：
因为，所以
解得：，即

第三单元 一元一次不等式组及其解法
［知识梳理］
1. 一元一次不等式组的定义，如：
2. 一元一次不等式组的解集：
由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为下列四种基本类型：
设，则：
（1）

所以不等式组的解集是
（2）

所以不等式组的解集是
（3）

所以不等式组的解集是
（4）

所以不等式组的解集是空集（或说无解）
若解有三个或三个以上的一元一次不等式组成的不等式组。
如：

［分类举例］
例1. 解不等式组：
方法一：原不等式可转化为不等式组：

解得：
所以原不等式组的解集为
方法二：由于这个双向不等式的两边都是常数
依据不等式的性质，分别化简和变形如下：

例2. 如果不等式组的解集为，求a、b的值。
解析：由不等式<1>、<2>得：
对比解集
不等号方向相同，临界值相等，得：

解得：

第四单元 一元一次不等式（组）的应用
例1. 李明在第一次数学考试中，得了72分，第二次考试中得了86分，在第三次考试中，至少得多少分，才能使三次考试的平均成绩不少于80分？
解：设第三次考试至少得x分，则

解得：
答：李明第三次考试中至少要得82分。

例2. 学校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备赠送给他们，如果每人送3本则余8本；如果每人送5本，则有一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本读物，有x名学生获奖，请回答以下问题：
（1）用含x的代数式表示m；
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数。
解：（1）
（2）由题意，得：（x、m均为正整数）
解不等式组，得：
所以，则

第十四章 整式乘法
例1. 计算：
解：

例2. 已知n为正整数，且，求的值。
解：原式

当时，
原式

例3. 观察下列单项式：，……按此规律，可以得到：
（1）第7个单项式是____________；
（2）第2n个单项式是____________；
（3）第2004个单项式是____________。
解：（1）
（2）
（3）

例4. 利用特殊的运算结果，通过观察猜想公式的一般规律，是一种重要的数学方法：
（1）已知，计算：
____________；
____________；
____________；
（2）观察上式猜想：____________；
（3）已知，则_______；_______。
利用上两题结果猜想的结果，并检验猜想是否正确。
解：（1）
（2）
（3）
猜想结论

例5. 在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，求剩余部分的面积。
解：

例6. 已知：，求的值。
分析：可通过整体代入法或降次法求解。
将变为代入。
或构造含的式子。
解：方法一：

方法二：

例7. 计算：
分析：正用和逆用乘法公式都能求出结果。
方法一：
原式

方法二：
原式

例8. 求多项式的最小值。
分析：完全平方有最小值0。
解：

因为
所以
则原多项式的最小值为1。

例9. 按如图所示两种方式分割正方形，你能得出什么结论？

解析：（1）
（2）
或

例10. 因式分解：
（1）
解：

（2）
解：

例11. 若，则_________。
答案：27
解析：

原式＝27

例12. 在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中2个为白球，1个为红球，1个为蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，陈飞在摸球实验中得到下列表中部分数据。
摸球次数
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
出现红球
的频数
6

25
31
40
43
55

65

出现红球
的频率

30.0%
27.8%

26.7%

25.0%

24.0%
（1）请将数据表补充完整；
（2）画出折线图；
（3）观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增大，出现红色小球的频率_________
____________________。
（4）如果按此题中的方法再摸球300次，并将这300次实验获得的数据也绘成折线图，那么这两幅图会一模一样吗？为什么？
（5）回顾上述实验，频率稳定于什么值？
（6）知道从袋中摸出一个红球的机会是多少吗？
（7）如果手边没有小球，可用什么做替代物模拟实验。
分析：本例复习了频率的定义、折线图画法；运用了在实验中寻找规律的方法，只有正确理解“每次摸出的结果是随机的、无法预测的，但随着实验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件出现的频率逐渐稳定到某一数值”才能准确理解此题。
解：（1）上排答案分别为：18，60，72，下排答案分别为：20%，25.8%，23.9%，26.2%，24.1%；
（2）折线图（如下图所示）：

（3）逐渐稳定。
（4）不太可能一模一样，因为出现红色小球的频率是随机的。
（5）频率稳定于25%。
（6）通过频率稳定于25%，可估计从袋中摸出一个小球为红色的机会是。
（7）略
说明：对于类似的题目记住两点：第一、对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）叫频率。第二，当某一随机事件出现的频率随着实验次数增加而逐渐稳定后，可以用这个频率值估计这一事件在每次实验时发生的可能性。

【模拟试题】
一. 填空题。
1. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，用不等号连接下列式子：

（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）；（10）
2. 不等式的非负整数解是___________。
3. 不等式的正整数解的和是___________。
4. 不等式的整数解是___________。
5.
6. 若是一个完全平方式，m的值为___________。
7. 若，则___________。
8. 若，则__________，__________， __________。
9. 不等式组的解集是__________________；这个不等式组的整数解是_____________。
10. 若，要使x是正数，则a的取值范围是______________。

二. 选择题。
1. a是任意实数，下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知关于x的不等式组的解集为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算：的计算结果是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知当时，将化简后，求得的值是（ ）
A. B. 9 C. 8 D.
6. 不等式的正整数解是（ ）
A. 0，1，2 B. 1，2
C. 1，2，3 D. x＜3
7. 分解因式结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 不等式的解集在数轴上表示是（ ）

9. 设，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如果不等式组的解集是，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题。
1. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
3. 不等式组的整数解。
4. 幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人分3件，那么还余9件；如果每人分5件，那么最后一个人得到的玩具不足5件，求这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？
5. 不透明的袋中有4个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，一个为绿色，每次从袋中摸一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球实验中，得到下表中部分数据。
摸球次数
1
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
180
200
出现红球次数
1
2
4

6

9
14
15
17
21
21
22

30
32

36
49
54
出现红球频率

40%

32.0%

26%

25.4%

（1）将数据表补充完整；
（2）观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增加，出现红色小球的频率________。
（3）你能估计白球出现的机会吗？绿球的呢？

【试题答案】
一. 填空题。
1. （1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＞；（5）＞；
（6）＞；（7）＞；（8）＜；（9）＞；（10）＜
2. 0，1，2
3. 3
4.
5.
6.
7. 5
8.
9.
10.
二. 选择题。
1. D 2. B 3. A 4. A 5. C
6. B 7. D 8. C 9. A 10. D
三. 解答题。
1. （1）
（2）
（3）256
（4）
2.

3.
4. 有5个小朋友，24个玩具；或6个小朋友，27个玩具。
5. （1）100%，40%，40%，6，30%，8，30%，35%，30%，27.5%，30%，26.2%，24.4%，26，27.2%，25.8%，33，25.7%，27%，27%
（2）趋于稳定
（3）