资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．（3分）-23的相反数是（ ）
A．-23 B．23 C．-32 D．32
2．（3分）电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．10.9×104 B．1.09×104 C．10.9×105 D．1.09×105
3．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．35° C．50° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
5．（3分）2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．走 B．向 C．大 D．海
6．（3分）在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ）
A．5、3、4.6 B．5、5、5.6 C．5、3、5.6 D．5、5、6.6
7．（3分）方程2xx-2=x-2+4x-2的解为（ ）
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝12，则BF的长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．16
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞6
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：6-1 3．（填“＞”或“＜”号）
12．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|＝ ．
13．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abcd=ad﹣bc，请你将x+3x-1x+1x+3化为代数式，再化简为 ．
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（1+x2+2x-2）÷x+1x2-4x+4，其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．
17．（9分）某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次参加抽样调查的学生有 人．
（2）补全两幅统计图．
（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．
18．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=12AC
（1）求证：△ABF是直角三角形．
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．
19．（9分）如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）
20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=-12x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=kx的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
21．（10分）某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米2，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米2
（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米2）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．
楼层x（层）
1楼
2≤x≤15
16楼
17≤x≤33
售价y（元/米2）
不售
6000
（2）某客户想购买该单元第26层的一套楼房，若他一次性付清购房款，可以参加如图优惠活动．请你帮助他分析哪种优惠方案更合算．
22．（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝ °；β＝ °．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．
23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．【解答】解：-23的相反数是23．
故选：B．
2．【解答】解：将10.9万用科学记数法表示为：1.09×105．
故选：D．
3．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠ACF＝140°，
∴∠AED＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ADE＝105°，
∴∠A＝180°﹣105°﹣40°＝35°，
故选：B．
4．【解答】解：A、原式＝x3y3，错误；
B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x5，正确；
D、原式＝7x2y3，错误，
故选：C．
5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“星”与面“海”相对，
故选：D．
6．【解答】解：数据中5出现2次，次数最多，所以众数为5；
数据按从小到大的顺序排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
∵平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6，
∴方差为15×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]＝5.6；
故选：B．
7．【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）2+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，
解得：x＝2或x＝4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝4，
故选：C．
8．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，
∴CD=12AB＝6．
又CE=13CD，
∴CE＝2，
∴ED＝CE+CD＝8．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF＝2ED＝16．
故选：D．
9．【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）
∴当x＜3时，x+n＜mx+6，
∴x+n+1＜mx+7．
故选：A．
10．【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2），
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AF=12x（6﹣x）=-12x2+3x（2＜x≤4），
图象为：
故选：A．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵3＞6＞2，
∴2＞6-1＞1，
∴6-1＜3．
故答案为：＜．
12．【解答】解：∵a＜0＜b，a+b＜0，
∴|a+b|+|b|＝﹣（a+b）+b＝﹣a﹣b+b＝﹣a．
故答案为：﹣a．
13．【解答】解：∵abcd=ad﹣bc，
∴x+3x-1x+1x+3
＝（x+3）（x+3）﹣（x﹣1）（x+1）
＝x2+6x+9﹣x2+1
＝6x+10，
故答案为：6x+10．
14．【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积是：90×π×32360+90×π×22360-3×2=13π4-6，
故答案为：13π4-6．
15．【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝60°，
∵AD＝AB＝2，
∴AH＝AD•sin60°=3，
∵B，B′关于EF对称，
∴BE＝EB′，
当BE的值最小时，AE的值最大，
根据垂线段最短可知，当EB'=AH=3时，BE的值最小，
∴AE的最大值＝2-3，
故答案为2-3．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．【解答】解：原式=x-2+x2+2x-2•(x-2)2x+1=x(x+1)x-2•(x-2)2x+1=x（x﹣2）＝x2﹣2x，
由x2﹣2x﹣5＝0，得到x2﹣2x＝5，
则原式＝5．
17．【解答】解（1）总人数＝60÷10%＝600（人）
故答案为600．
（2）如下图：
（3）240÷600＝0.4
此人喜欢蓝球的概率最大，其概率是0.4．
18．【解答】（1）证明：如图，连接CD，
则CF＝CD，
∵AB是⊙C的切线．
∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
∵CF=12AC，
∴CD＝CF=12AC，
∴∠A＝30°
∵AC＝BC∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∠BCD＝∠BCF＝60°，
又∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形．
（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝6，
∴CD=12AC＝3，
∴AD=3CD＝33．
∴BF＝33．
19．【解答】解：过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，如图所示．
在Rt△AMD中，DM＝13.3，∠DAM＝53°，
∴AD=DMtan53°=10；
在Rt△ABC中，AB＝55，∠BAC＝35°，
∴AC＝AB•cos53°＝55×0.82＝45.1．
∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，
∴四边形MDCN是矩形，
∴MN＝DC＝AC﹣AD≈35．
答：MN两点的距离约是35米．
20．【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y=-12x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
将x＝4代入y=-12x+3得：y＝1，
∴N（4，1），
把M的坐标代入y=kx得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y=4x；
（2）由题意可得：
S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2-12×2×2-12×4×1
＝4；
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴12OP×AM＝4，
∵AM＝2，
∴OP＝4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
21．【解答】解：（1）由题意可得，
当2≤x≤15时，y＝6000﹣（16﹣x）×10＝10x+5840，
当17≤x≤33时，y＝6000+（x﹣16）×30＝30x+5520，
故答案为：10x+5840，30x+5520；
（2）第26层每平方米的价格为：30×26+5520＝6300元，
方案一应付款：W1＝100×6300×（1﹣5%）﹣m＝598500﹣m，
方案二应付款：W2＝100×6300×（1﹣7%）＝585900，
当W1＞W2时，598500﹣m＞585900，得m＜12600，
当W1＝W2时，598500﹣m＝585900，得m＝12600，
当W1＜W2时，598500﹣m＞585900，得m＞12600，
所以当m＜12600时，方案二合算；
当 m＝12600时，二个方案相同；
当m＞12600时，方案一合算．
22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
23．【解答】解：（1）∵抛物线y=-12x2+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），
∴-12+b+c=0c=1 解得：b=52，c＝1
∴抛物线的表达式为：y=-12x2+52x+1
∵-b2a=52，4ac-b24a=338
∴顶点坐标为：(52，338)；
（2）∵A（1，3），∴把y＝3代入y=-12x2+52x+1，可得x1＝1，x，2＝4
∴C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3）
得直线BC的表达式为y=12x+1，BC=25
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∴△BCI∽△FGH
∴∠BCI＝∠FGH
∵tan∠BCI=BICI=24=12，
∴tan∠FGH=12
设G(x，-12x2+52x+1)，则F(x，12x+1)
∴GF=(-12x2+52x+1)-(12x+1)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2
∴当x＝2时，GF最长，此时△GFH周长最大．
∴GF＝2
∵BCFG=BIFH
∴FH=FG⋅BIBC=2×225=255
∴GH=455
△GFH的周长为：GF+FH+GH＝2+255+455=655+2；
（3）如图2，由题意，设N（1，n）
∵B（0，1）、C（4，3）
∴BN2＝12+（n﹣1）2＝n2﹣2n+2，
CN2＝32+（n﹣3）2＝n2﹣6n+18，
BC2＝42+22＝20
当∠BNC＝90°时，BN2+CN2＝BC2，即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）＝20
得n1＝0，n2＝4；
当∠CBN＝90°时，BN2+BC2＝CN2，即（n2﹣2n+2）+20＝n2﹣6n+18
得n3＝﹣1
当∠BCN＝90°时，BC2+CN2＝BN2，即20+n2﹣6n+18＝n2﹣2n+2
得n4＝9
综上所述：N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r C． R=3r D． R=4r
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B． （a+b）2=a2+2ab+b2
C． a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D． a2+ab=a（a+b）
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是 ．
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= ．
8．函数y=的自变量x的取值范围是 ．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为 ，cos∠ABC= ．
11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 ．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= ，a2012= ．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
解答： 解：由①得：x＞﹣3，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选B．
点评： 解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．
解答： 解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r C． R=3r D． R=4r
考点： 圆锥的计算；弧长的计算．
专题： 压轴题．
分析： 让扇形的弧长等于圆的周长即可．
解答： 解：根据扇形的弧长等于圆的周长，
∴扇形弧长等于小圆的周长，
即：=2πr，
解得R=4r，故选D．
点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B． （a+b）2=a2+2ab+b2
C． a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D． a2+ab=a（a+b）
考点： 平方差公式的几何背景．
专题： 计算题．
分析： 可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
解答： 解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
点评： 此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
考点： 两条直线相交或平行问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．
解答： 解：由题意得，
解得，
∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，
∴，解得：﹣3，
又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，
故选B．
点评： 考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是 ．
考点： 一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 新定义．
分析： 根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．
解答： 解：由题意得y=3⊕x=，
当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，
故答案为：
点评： 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= π ．
考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，
故答案为：π
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．函数y=的自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x≥4 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．
解答： 解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，
解得，x＜﹣1或x≥4，
故答案为：x＜﹣1或x≥4．
点评： 本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 a2 ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．
解答： 解：如图所示：
∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，
∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，
∵边长为a的正三角形各边三等分，
∴小正三角形的边长为a，
∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，
∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；
故答案为：a2．
点评： 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为 60° ，cos∠ABC= ．
考点： 圆周角定理；特殊角的三角函数值．
分析： 由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．
解答： 解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；
又∵∠A=∠CDB=30°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，
∴cos∠ABC=．
故答案为：60°．
点评： 此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 4 ．
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
解答： 解：由x2+3x+y﹣3=0得
y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= 10 ，a2012= 2025078 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．
解答： 解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；
a3﹣a2=6﹣3=3；
a4﹣a3=10﹣6=4，
∴a10﹣a9=10
∵a2=1+2，
a3=1+2+3，
a4=1+2+3+4，
…
∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．
故答案为：10，2025078．
点评： 本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=•+a
=a+a
=2a．
当a=2时，原式=4a．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据题意得出△≥0，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．
解答： 解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，
当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，
即p的取值范围是p≤﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，
∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，
∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，
∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，
解得：p±2，
∵p≤﹣，
∴p=﹣2．
点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；
（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；
（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．
解答： 解：（1）当0≤x＜100时，y=60；
当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则
，
，
∴y=；
（2）∵250＞100，
∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，
∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；
（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，
∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．
点评： 本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．
16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析
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