导数应用论文.doc

导数的应用
吴泽国
目录
[摘要] 2
一.引言 2
二．导数的概念 2
三．导数的求法 3
1．显函数导数 3
1．1导数的四则运算： 3
1．2复合函数与反函数求导法则 3
1．3基本初等函数求导公式 3
2．隐函数导数 4
3．由参数方程所确定的函数求导法 4
4．分段函数的导数 4
四．导数的性质 4
五．导数的应用 5
1．导数在函数中的应用 5
1．1利用导数判断函数的单调性 6
1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 7
1．3利用导数求函数的极值和最值 8
1．4利用导数知识描绘函数图形 13
1．5利用导数求参数问题 15
2．导数在曲线中的应用 16
3．利用导数研究方程的根 17
4．应用导数证明不等式 17
5．导数在数列中的应用 18
6．利用导数求极限——洛必达法则 19
6．1“”型和“”型 19
6．2其他形式 20
7．物理学中的导数 20
8．经济学中的导数应用 21
结束语： 22
参考文献： 22

（版权所有）

[摘要]
导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识
本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用
[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用
一.引言
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
　　高考考查导数应用主要有以下三个方面：
　　①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
　　②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。
③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。
二．导数的概念
1、定义：
左导数：
右导数：

可以证明：可导连续 即：可导是连续的充分条件
连续是可导的必要条件
导函数：
2.导数的几何意义（图1）
曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率。即（是过A点的切线的倾斜角）（如图1）
则，曲线在点A处切线方程为：
三．导数的求法
1．显函数导数
1．1导数的四则运算：

1．2复合函数与反函数求导法则
复合函数求导法则
（反函数求导法则）
1．3基本初等函数求导公式
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； 。
2．隐函数导数
如方程，能确定，只需对方程两边对求导即可。注意
3．由参数方程所确定的函数求导法
参数方程，则：为的复合函数，，所以：
4．分段函数的导数
对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。
分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。
四．导数的性质
前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系
性质1：若函数是偶函数且可导，则其导函数是奇函数。
证明：由是偶函数，有
则：

所以，是奇函数
同理：若函数是奇函数且可导，则其导函数是偶函数。
性质2：若函数是周期函数且可导，则其导函数也是周期函数。
证明：是周期，有

所以，是周期函数
性质3：若函数可导且图象关于直线对称，则其导函数图象关于点对称
证明：函数图象关于对称，有

且点在的图象上，所以图象关于点对称
同理：若函数可导且图象关于点对称，则其导函数图象关于直线对称
五．导数的应用
1．导数在函数中的应用
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题
1．1利用导数判断函数的单调性
一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间
从图形直观分析：若在内，曲线上每一点的导数都大于0，即，利用导数的几何意义知，在内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数是单调递增的（如图2）。反之，若在内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于轴（此点的导数值为0，即）。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：
定理1：设函数在区间内可导，则：
①若时恒有，则在单调增加；
②若时恒有，则在单调减少。
例1：求函数单调递增区间
解：因，由
得
所以，单调递增区间为

例2：已知函数，试讨论函数单调性。
分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。（此题是04年湖南高考题）
解：因，所以
（1）当时，令得；
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减；
（2）当时，令得或；
若，则，从而在上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减。
1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点
在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：
定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）
那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？
按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判定定理。
定理2：设函数在区间上具有二介导数，
①当时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）
②当时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数）
通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）
若曲线呈现凸状，由图5（1）直观看出：当增大时，切线斜率随之变小，说明一介导数函数在上为减函数，由函数单调性判别法，必有，即。说明：若曲线为凸性，必有。同理，若曲线为凹，必有。
从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。
定义2：若函数在点的左右邻域上凹凸性相反，则点叫做曲线的拐点（注意拐点不是）
由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否异号，与该点一介、二介导数是否存在无关
例3、求函数的凹凸区间及拐点。
解：因，则
令，得。所以

0

+
0
—-
0
+

凹
1
拐点
凸
拐点
凹
1．3利用导数求函数的极值和最值
（1）利用导数求函数的极值
函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。
定义2、设函数在点及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点（）恒有，则为极大值；若成立，则为极小值。
应当注意：极值是一个局部概念，它只限于的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。
极值点和导数的关系如何？由图6可知：
定理2 若是函数的极值点，则或者不存在。
注意：①是点为极值点的必要条件，但不是充分条件。如，，但点不是函数极值点；②函数在导数不存在的点也可能有极值。如，，不存在，但点不是函数极值点（如图7）
将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。
下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。
定理3（极限存在的充分条件之一） 设在连续，在某邻域内可导，
①若（左侧）时，而（右侧），则函数在处取极大值
②若（左侧）时，而（右侧）时，则函数在处取极小值
③若两侧不变号，则在处无极值。
该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。
例4、求函数的单调区间和极值
解：，当时，；而时不存在。因此，函数只可能在这两点取得极值。

+
不存在
—-

+

极大值

极小值

由表可见，函数在区间，单调递增；在区间单调递减。
在处有极大值，在点处有极小值。
若函数的二介导数存在，有如下的判定定理；
定理4（极限存在的充分条件之二） 设，存在，
①若，则为的极小值；
②若，则为的极小值；
③若，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定。
因为，则曲线在点的左右两侧呈凹状，因此为极小值；反之，若，则曲线在点的左右两侧呈凸状，因此为极大值。
例5、求函数的极值。
解：如图8，因为，令，得驻点。所以，

又因为，所以函数在处取得极小值。
因为，则定理应用定理4失效。下面利用定理3。
当时，；当时，，
所以函数在处无极值
同理函数在处去极值
（2）利用导数求函数的最值
在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题。
假定函数在闭区间上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：①找出可能为极值点的函数值（即区间内使或不存在的所有点的函数值）；②计算出端点处的函数值；③比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数在闭区间上的最大值，其中最小的就是函数在闭区间上的最小值。
最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）。
例6、求函数在区间上的最大、最小值。
解：，令即解得，变化时，的变化如下表：

—
0
+
0
—

由上表可知最大值是，最小值为
例7、已知，函数，当为何值时，取得最小值？证明你的结论。
解：，由，得
，变化时，的变化如下表：

+
0
—
0
+

极大值

极小值

当时，。而当时，；
时，。
所以当时，取得最小值。
（3）利用导数求函数值域
求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容---导数来求解值域
例8、求函数的值域。
解：函数的定义域为，

又
可见当时，
所以在上是增函数。而，
所以函数的值域是
（4）实际问题中导数的应用
例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系式.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）。
(1) 将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：
因为，所以当时，取的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量（吨）.
(2)设甲方在索赔中获得的净收为元，则，将乙方获的最大利润的年产量代入上式，可得到甲方净忙收入与赔付价格之间的函数关系式，令得.因当时；当时，所以当时，可取最大值。故甲方向乙方要求的赔付价格是20（元/吨）时，可获得最大净收入。
1．4利用导数知识描绘函数图形
为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。
（1）曲线的渐近线
定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线 若曲线的定义域是无限区间，且有：，或，则直线为曲线的水平渐近线。
垂直渐近线 若曲线有：，或，则直线为曲线的垂直渐近线。
斜渐近线 若成立，则是曲线的一条斜渐近线。
下面介绍求的公式。
由有：

所以
即
将求出并代入即可确定
例10、求曲线的渐近线
解：（1）因，所以是曲线的垂直渐近线
（2）由
和
可知是曲线的斜渐近线
（2）函数图形的作法
导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现
能更好的反应出导数的各种性态。
描绘图形的一般步骤如下：
①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；
②求出，；
③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；
④确定曲线的渐近线；
⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标；
⑥用光滑曲线连接，画出的图象。
例11、作函数的图形
解：函数的定义域为
，
令，得；
令，得。列表如下：

—
—
—
0
+
不存在
—

—
0
+
+
+
不存在
+

拐点

极小值

不存在

又为曲线的水平渐进线
为曲线的铅垂渐进线
曲线经过，，，，，这几个点
通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）
1．5利用导数求参数问题
利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。
例12、（05湖北理）已知向量，，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围.
解：由向量的数量积定义，
，又在区间(-1,1)上是增函数，则
在 (-1,1)上恒成立.
令在区间[-1,1]上，则，
故在区间(-1,1)上使恒成立，
只需即可，即.
即的取值范围是.
2．导数在曲线中的应用
曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率。即。
利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题
例13、（2003全国高考题）已知抛物线和抛物线，当a取何值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。
解：函数的导数，曲线在点的切线方程是，即 （1）
函数的导数，曲线在点的切线方程是，即 （2）
若直线是过P和Q的公切线，则（1）式和（2）式都是的方程
所以
消去得方程，由于公切线仅有一条，所以当，即时解得，此时公切线方程为。
例14、已知P是抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离。
解：（如图10）由得
易知上的点到直线的距离最小。
由得，
于是曲线上过点且与直线平行的斜率为，得，则，
那么点到直线的距离为
故抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离为。
3．利用导数研究方程的根
例15、已知，是否存在实数，使方程有四个不同的实数根，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：令
则
令，得.当变化时，、的变化关系如下表：

0

1

—
0
+
0
—
0
+

极小值

极大值0

极小值

故存在，使方程有4个不同的实数根
4．应用导数证明不等式
利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。
例16、若，证明：
证明：令
则，
又，则
则当时，，为增函数
当时，，为减函数
所以当时，取得最大值
因此当时恒有，即时，有
例17、（2004年全国卷理工22题）已知函数，，证明：
证明：由有
设
则
当时，，当时，因此，在区间内是减函数，在区间函数，在区间内为增函数，于是在，有最小值又，
所以；
设，
则
当时，，因此在区间内为减函数；
因为，，所以，
即：。
综上述：
5．导数在数列中的应用
导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。
例18、已知函数，数列满足
（1）求；
（2）证明数列是递减数列
解：（1）由已知有，即
得
又，所以
（2）令
则，因，所以
所以是递减函数，则也是递减的
所以数列是递减数列
例19、已知数列，求此数列的最大项。
解：考察函数（），则
令，则，而，
而
将，及比较知，的最大值为
故该数列最大项为第10000项，这一项的值为。
6．利用导数求极限——洛必达法则  
6．1“”型和“”型
定理 若函数与满足条件：（1），（2）存在，且，（3） 存在
则必有：
例20、求.
解：
6．2其他形式
洛必达法则只适应于“”型和“”型，对于其他式子，需要经过一系列变换转化为“”型和“”型，在利用洛必达法则来求解。其步骤如下：（“”表示可转化为）
①型或
②型型，再经过通分型。
③对于型，型，型，先取对数型，在利用①的方法求解。
例21、求下列极限
① ② ③
解：①（型）
②（型）
③(型)
7．物理学中的导数
导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。
例21.一质点运动方程为
（1）求质点在这段时间内的平均速度；
（2）求在时的瞬时速度（用定义和求导两种方法）.
解：（1）质点在这段时间内的平均速度为：
（2）定义法：质点在时的瞬时速度
导数法：质点在时的瞬时速度
当时，
例22、假设一个闭合线圈的磁通量,求感应电动势的最大值。
解：根据电磁感应定律,所以感应电动势的最大值为25V。
8．经济学中的导数应用
数学的应用遍及所有的科学领域，也深入到人们的日常生活，而导数高等数学知识也逐步应用到各种经济问题。
1、边际问题
边际成本，边际收益，边际利润，边际需求在数学上可以表达为各自总函数的导数.
比如某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出总利润（元）与每月产量（吨）的关系为，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润并作出经济解释.
边际利润函数，则，，，上述结果表明当生产量每月为20吨时再增加1吨，利润将增加50元；当生产量每月为25吨时再增加1吨，利润将不变；当生产量每月为2035吨时再增加1吨，利润将减少100元.这说明，对厂家来说，并非生产的产品数量越多，利润就高.
2.弹性分析
在经济管理中弹性的概念应用十分广泛，许多场合都可以用弹性来解释和分析现实的经济现象，主要有需求的价格弹性，供求弹性，收益弹性，交叉弹性等.
3、最优方案选取
例23.某厂年需某零件8000个，现分期分批外购，然后均投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次定货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元，试求最经济的定货批量和进货批数。
解：设每年的库存费和定货手续费为C，进货的批数为，则批量为个，且
，则
得唯一的驻点，而，故驻点为极小值
所以最经济的定货批量400个和进货批数为20批。
结束语：
导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列相关问题提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。
参考文献：
[1] 工程技术常用数学 梅里特; 陈三平; 丁仁 科学出版社 1976
[2] 应用数学教程 刘崇丽 化学工业出版社 1998.9
[3] 经济应用数学 北京市农业管理干部学 科学普及出版社 1991.10
[4] 数学分析 华东师范大学数学系 高等教育出版社 2001