高三数学第二轮专题讲座复习：概率与统计.doc

高三数学第二轮专题讲座复习：概率与统计
高考要求
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容 要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法
重难点归纳
本章内容分为概率初步和随机变量两部分 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差
涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化
主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维
典型题例示范讲解
例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下
［10，15］4 ［30，359 ［15，205 ［35，408
［20，2510 ［40，453 ［25，3011
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图
命题意图 本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托 频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法
错解分析 解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别
技巧与方法 本题关键在于掌握三种表格的区别与联系
解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表
数据段
频数
频率
累积频率
［10,15
4
0.08
0.08
［15,20
5
0.10
0.18
［20,25
10
0.20
0.38
［25,30
11
0.22
0.60
［30,35
9
0.18
0.78
［35,40
8
0.16
0.94
［40,45
3
0.06
1
总计
50
1

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下

例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
命题意图 本题考查利用概率知识和期望的计算方法
知识依托 概率的计算及期望的概念的有关知识
错解分析 在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误
技巧与方法 可借助n次独立重复试验概率公式计算概率
解 (Ⅰ)（i）
(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；
由n次独立重复试验概率公式，得
；

（或）
随机变量的分布列是

0
1
2
3
P

的数学期望是
(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球由，得
例3如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作 已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2

解 记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，
由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90
(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648
(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P()］=P(A)·［1－P()P()］
=0 80×［1－(1－0 90)(1－0 90)］=0 792
故系统N2正常工作的概率为0 792
学生巩固练习
1 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )

2 已知随机变量ζ的分布列为 P(ζ=k)=,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于
A 6 B 9 C 3 D 4
3 1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________
4 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________
5 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率
6 已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=
(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；
(2)求P(1＜ζ＜)
参考答案:
1 解析 设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生

故目标被击中的概率为1－P(··)=1－ 答案 A
2 解析 Eξ=(1+2+3)·=2，Eξ2=(12+22+32)·=
∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=－22= ∴D(3ξ+5)=9Eξ=6答案 A
3 解析 由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,
答案 0.3
4 解析 因为每组人数为13，因此，每组选1人有C种方法，
所以所求概率为P= 答案
5 解 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B 显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36
答 两人都击中目标的概率是0.36
(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是
P(A·)=P(A)·P()=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24
甲未击中、乙击中的概率是P(·B)=P()P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A·与·B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P(A·)+P(·B)=0.24+0.24=0.48
(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A·B)+［P(A·)+P()·B］=0.36+0.48=0.84
答 至少有一人击中目标的概率是0.84
6 解 (1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，
所以 (1－a+2－a)·1=1,∴a=概率密度曲线如图
(2)P(1＜ξ＜)=

5