届高三数学第二轮复习概率与统计.doc

概率与统计

★★★高考要考什么
1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率
（2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题
（3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题
2．离散型随机变量的分布列。
(1)分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …, xi, …，
ξ取每一个值xi（i=1，2，……）的概率P（ξ=xi）＝Pi，
则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．

(2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
<1> Pi≥0，i＝1，2，……；<2> P1＋P2＋……=1．
(3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是，其中k=0，1，…，n．q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B（n，p）其中n，p为参数，记=b(k；n，p).
（4）离散型随机变量ξ的期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xipi+…
（5）离散型随机变量ξ的方差：

3. 若标准正态分布总体取值小于的概率用表示，即：
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
解(1)
, ,
,
所以的分布列为

0
1
2
3
P

的数学期望E()=
(2) P()=
分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。
变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以．
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5．

所以随机变量的概率分布为

2
3
4
5

因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ．
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．
解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 ， "乙投篮1次投进"为事件A2 ， "丙投篮1次投进"为事件A3，"3人都没有投进"为事件A ．则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ，
∴ P(A) = P(．．)=P()·P()·P()
= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
∴3人都没有投进的概率为 ．
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B(3， )，
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．
解法二: ξ的概率分布为:
ξ
0
1
2
3
P

Eξ=0×+1×+2×+3×= ．
分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。
变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要

所以

【范例3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司
缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元
的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；(4分)
（2）获赔金额的分布列与期望。(9分)
解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，
且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
，

，

，
．
综上知，的分布列为

求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得

（元）．
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列

故．
同理得，．
综上有（元）．
变式：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为

配套练习
1．(湖南卷) 设随机变量服从标准正态分布，已知，
则=（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
解：服从标准正态分布，
选C
2．(安徽卷) 以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量
服从正态分布，则概率等于
（A）- （B）
（C） （D）
解：==－=，选B。
3．（湖北卷）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量
的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，
满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方
的点有个，故所求概率，选C
4．（江西卷）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的
有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B
5. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是　　　　　　　　．
6. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
0.625
7.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

1
2
3
4
5

0.4
0.2
0.2
0.1
0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为
250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（Ⅱ）求的分布列及期望．
解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
的分布列为

（元）．
8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4

中
0.4

差
0.2

设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为
而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
(Ⅰ)解:由题意可得
L1= (q＞0).
同理可得 (q＞0)
(q＞0)
(Ⅱ) 解:由期望定义可知

(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设

得0解得(舍去).
由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,＞0;当q＞10时,
可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.