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一道高考题的课堂探究性教学

在高三总复习课上，我选讲了一道高考题
题目：（2013年山东高考数学理科第22题）椭圆：的左、右焦点分别是,离心率为 ，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 
　　 (Ⅰ)求椭圆的方程； 
　　（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接,设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围； 
　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
解：(1)椭圆方程为：
(3)由题意可知，为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以，而，代入中得：
为定值.
当我讲完这道题准备讲下一题时，我发现一名学生在下面嘀咕什么，于是我叫他起来问是不是有其他的解法，因为在班级教学中，我很重视学生的想法，并鼓励他们积极说出自己的想法.于是他说如果把上述椭圆改为双曲线时，是否也为定值呢？这时另一个同学也主动站起来说：“作为一般形式的椭圆以及双曲线，是否也为定值呢？”爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要.”作为同学们思维智慧的火花，于是我决定不按照设计好的教学，而是改变原定计划与同学们一起来探讨这个问题.
探究1：椭圆：的左、右焦点分别是，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
解：设，由导数法可求得，椭圆在点处的切线的方程为：，所以，而，代入中得：.
命题1：椭圆：的左、右焦点分别是，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，则.
探究2：双曲线：的左、右焦点分别是，点是双曲线上除长轴端点外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与双曲线有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
解：设，由导数法可求得，双曲线在点处的切线其方程为：，所以，而，代入中得：.
命题2：双曲线：的左、右焦点分别是，点是双曲线上除长轴端点外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与双曲线有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，则.
尽管命题1和命题2所得的结论并不是定值，但是其结果都是.
探究3：圆：，点在圆上，点是圆上除外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与圆有且只有一个公共点， 设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
解：设，由导数法可求得，圆在点处的切线其方程为：，所以，而
代入中得：
为定值.
命题3：圆：，点在圆上，点是圆上除外的任一点，连接，过点作斜率为的直线，使得与圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明=-2.
探究4：抛物线：的焦点为，点是抛物线上除顶点外的任一点，准线与横轴的交点为,连接，过点作斜率为的直线，使得与抛物线相切， 设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
解：设，由导数法可求得，抛物线在点处的切线的斜率而，代入中得：.
命题4：抛物线：的焦点为，点是抛物线上除顶点外的任一点，准线与横轴的交点为,连接，过点作斜率为的直线，使得与抛物线相切， 设直线的斜率分别为，若，则=1.
特级教师任勇曾说：“他很难完成事先设计的一节课，因为总有学生在课堂上提出非常有智慧的问题，为了解答这些有智慧性的问题，他必须暂时中断正常的教学，但是也正因为此原因，学生的思维得到了很好的发展.”