数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法.ppt

数学模型与数数学模型与数学建模学建模 第第4 4章章 量纲分析法量纲分析法 在数学的应用中在数学的应用中,需处理的往往不是需处理的往往不是“纯粹的纯粹的”数数,而是反映事物某一特性的度量而是反映事物某一特性的度量.用数加单位来表示具体度量；用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性用量纲的概念来表示被度量的特性.量纲分析法是一种有效的物理建模方法量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一一.单位单位SI 国际单位制（米国际单位制（米千克千克秒）；秒）；fps 英制单位制（英尺英制单位制（英尺磅磅秒）秒）一个模型中单位必须统一一个模型中单位必须统一 二二.量纲量纲时间时间（T）基基本本物物理理量量质量质量（M）长度长度（L）力学中，任何物理量力学中，任何物理量都可以表示为其组合形都可以表示为其组合形式，式，称这种组合形式为称这种组合形式为物理量的量纲物理量的量纲.称为称为基本量基本量纲纲其中其中 质量质量=m=M,长度长度=l=L,时间时间=t=T,例例4.1.1 加速度加速度=a =LT2;因为力因为力 F=ma,故故 F=m a =MLT2;部分物理常数也有量纲，如万有引力定律部分物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数中的引力常数K的量纲为的量纲为 速度速度=v=LT1;部分物理量是无量纲的部分物理量是无量纲的,称之为纯数字称之为纯数字,如如 角度角度=LL1=L0尽管角度是无量纲量尽管角度是无量纲量,但它有单位但它有单位(弧度弧度).).量量 纲纲 独独 立立 于于 单单 位位三三.量纲齐次性量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）量纲齐次原则量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量任一有意义的物理方程必定是量纲一致的纲一致的,即有即有 左边左边=右边右边 1.对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.2.无量纲化方法减少参数个数无量纲化方法减少参数个数.例例4.1.2 非线性震荡运动方程非线性震荡运动方程模型中有参数模型中有参数：m、K、C 令令 x0=x(0),w0=,v0=x0 w0,根据量纲齐次性根据量纲齐次性,有有 w0=T1,F=MLT2,K=MT2,C=MT1.引进无量纲量：引进无量纲量：T=w0t,X=x/x0,V=v/v0特点特点？代入原方程，有代入原方程，有=XAV+F0 其中，因其中，因v0=x0w0,w0=原方程变形为原方程变形为 优点：优点：1.1.减少了参数的个数；减少了参数的个数；2.方程中的变量方程中的变量X、V、T都是无量纲量都是无量纲量.量纲分析是量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法建立数学模型的一种方法.对所设问题有一定了解，在对所设问题有一定了解，在实验和经验实验和经验的的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系间的关系.例例4.2.1 单摆运动单摆运动 将质量为将质量为m 的一个小球系在长度为的一个小球系在长度为l 的线的的线的一端一端,稍偏离平衡位置后小球在重力稍偏离平衡位置后小球在重力mgmg的作用的作用下下(g(g为重力加速度为重力加速度),),做往复摆动做往复摆动.忽略阻力忽略阻力,求摆动周期求摆动周期t t的表达式的表达式.求解求解 考虑问题中出现的物理量考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式假设它们之间有关式 其中其中1 1,2 2,3 3是待定常数是待定常数,是无量纲的是无量纲的比例常数比例常数.上式的量纲表达式为上式的量纲表达式为 (1)将将 t=T,m=M,l=L,g=LT2 代入得代入得 (2)按照量纲齐次性按照量纲齐次性,有有求解为求解为 代入式代入式(1)得得 续例续例4.2.1 单摆运动的抽象单摆运动的抽象设变量关系为设变量关系为f(t，m，l，g)=0，(3)假设各变量间的关系如下：假设各变量间的关系如下：(4)其中其中y1y4 是待定常数是待定常数,是无量纲量是无量纲量.各变量的量纲用基本量纲表示如下各变量的量纲用基本量纲表示如下：t=L0M0T1,m=L0M1T0,l=L1M0T0,g=L1M0T2,(4)式的量纲表达式为式的量纲表达式为 根据量纲齐次性，有线性方程组成立根据量纲齐次性，有线性方程组成立解得方程组的一个解为解得方程组的一个解为代入代入(4)式有式有 或者或者(5)将此例一般化有以下定理将此例一般化有以下定理Buckingham Pi定理：定理：设有设有m 个物理量个物理量 q1，q2，qm,而而 f(q1，q2，qm)=0 (6)是与量纲单位的选取无关的物理定律。是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1,X2,Xn 是基本量纲是基本量纲,其中其中nm，q1，q2，qm 的量纲可表为的量纲可表为 矩阵矩阵A=ai,jnm称为称为量纲矩阵量纲矩阵.若若A的秩的秩Rank(A)=r 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 AY=0(y是是m维向量维向量)的的 mr个基本解为个基本解为：ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,mr 为为 mr 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且 F(1,2,，mr)=0 (7)与与(6)式等价式等价,其中其中F的形式未知的形式未知.例例4.2.2 航船阻力航船阻力 长度为长度为l、吃水深度、吃水深度h h的船以速度的船以速度v 航行航行,若不若不考虑风的影响考虑风的影响,那么航船受到的阻力那么航船受到的阻力f f除依赖船除依赖船的诸变量的诸变量l,h,v 以外以外,还与水的参数还与水的参数密度密度,粘性系数粘性系数,以及重力加速度以及重力加速度g g有关有关.下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系之间的关系.1.1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为 (f,l,h,v,g)=0 (8)2.这是力学问题这是力学问题,基本量纲选为基本量纲选为L、M、T,各物理量的量纲表示为各物理量的量纲表示为 3.写出量纲矩阵写出量纲矩阵 (f)(l)(h)(v)()()(g)方程有方程有mr=73=4个基本解个基本解,可取为可取为4.求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 AY=0,因因Rank(A)=r=3 5.给出给出4个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量(9)式式(9)与与 (1,2,3,4)=0 等价等价,是是未定的函数未定的函数.两式表达了航船问题中各物两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系理量之间的全部关系.为得到阻力为得到阻力f f的表达式，由式的表达式，由式(1)(1)及式及式(9)(9)中中4的式子可写出的式子可写出f=l2v2(1,2,3)其中其中表示一个未定函数表示一个未定函数 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析法之间的关系，这个结果用通常的机理分析法难以得到难以得到 虽然函数虽然函数的形式无从知道的形式无从知道,但这个表达式但这个表达式在物理模拟问题中仍有用途在物理模拟问题中仍有用途.例例4.2.3 物理模拟中的比例模型物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力 量纲不变性量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变无量纲量在模型和原型中保持不变模型中的各物理量：模型中的各物理量：原型中的各物理量：原型中的各物理量：有有 当无量纲量当无量纲量成立时成立时,可得可得 原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他有关量算出有关量算出.应用量纲分析法建立数学模型应注意：应用量纲分析法建立数学模型应注意：1.正确确定模型中所含正确确定模型中所含物理量物理量 主要靠经验和背景知识主要靠经验和背景知识,没有一般的方法可以没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效保证得到的结果是正确或有效.2.合理选择合理选择基本量纲基本量纲3.应根据特定的建模目的恰当地构造基本解应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.一般，在力学中选取一般，在力学中选取L、M、T即可即可,热学问题热学问题加上温度量纲加上温度量纲，电学问题加上电量量纲，电学问题加上电量量纲Q).量纲分析建模方法有如下优缺点量纲分析建模方法有如下优缺点:1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.2.可将无关的物理量去掉可将无关的物理量去掉.3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量.4.方法有局限性，方法有局限性，PI定理中的等价方程定理中的等价方程F()=0,仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.5.物理定律中常见的函数，如三角函数物理定律中常见的函数，如三角函数sin(),指数函数指数函数exp()等是无量纲的等是无量纲的,不可能用量纲分不可能用量纲分析法得到析法得到.任何建模方法都有局限性任何建模方法都有局限性4.2.4 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v,星球半星球半径径r,表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc,tc（特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令 xc,tc的不同构造的不同构造1）令的不同简化结果的不同简化结果 为无量纲量为无量纲量3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量1）2）3）的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解重要差别重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1)2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g,高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不能忽略项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学作业：lP57 第16题（雨滴的落地速度计算）