两个高考题中的调和点列.doc

2008年安徽卷22题
设椭圆过点，且左焦点为.
（1） 求椭圆的方程；

（2） 当过点的动直线与椭圆相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.

答案：（1）；（2）.

细心的朋友会发现，为过点引椭圆的切线,切点所在的直线，为什么呢？
其实，由可知四点成调和点列，首先简单介绍一下调和点列.

定义：直线上依次四点满足，则称四点构成调和点列.
性质1： .
证明：

而

即证.
推论： 已知四点调和，为中点.

性质2：如图，为圆外一点，为圆的切线，截圆于，交与点，则四点调和.

证明留给你吧.

推广：椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点为，过的任意一条直线截椭圆于，交与点，则四点调和.

你现在明白为什么点总在的直线为切点所在的直线了吧.

无独有偶，在2011年山东卷文科压轴22题也是以调和点列问题为背景的.

题目：在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若.
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

在（Ⅱ）中，延长交椭圆于，由，所以调和.因此直线方程为即，因此直线过定点.