再谈曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用正式稿.doc

再谈曲线割线与中切线斜率关系定理
在妙解高考压轴题中的应用

作者：艾书学
2014年12月于沈阳

B
A
x
f(x)
x2
x1
C
图1
在函数与导数应用有关的习题中，时常会遇到这样一类题目，即给定某一函数（如图1所示），已知其割线与曲线交于两个不同点，过AB中点的铅垂线与曲线交于C点，根据不同的函数类型，割线AB的斜率与过C点的切线（姑且称其为中切线）斜率之间存在着某种固定关系，即有如下定理（估且称之为曲线的割线和其中切线的斜率关系定理，简称为中切线定理）。

曲线的割线和其中切线斜率关系定理：
设函数是定义在实数集R某一子集D上的连续函数，其一、二阶导函数在D上均连续且可导，对于：若单调递增，则有；若为常数，则有；若单调递减，则有。
笔者在专著《谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法》。（

曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）：
设，则
当即时，，故在定义域内单调递增，且在定义域内单调递减。
先讨论的情形：当时，因，故， ，即，进而有，所以，令，即有
设，则当即或时，，在定义域内单调递减；反之，当即或时，，在定义域内单调递增。
先讨论且的情形：此时单调递增，单调递增；当时，因，故， ，即，进而有，所以，令，即有

令，则，

由于的二阶导数存在，而故在上满足拉格朗日中值定理成立的条件，由此知，使得，
即有成立，所以

设
由于的二阶导数存在，而故在上满足拉格朗日中值定理成立的条件，由此知，使得，
即有成立，所以

若，则单调递增。而，即即有当为常数时，上式中，显然命题中等号成立；当时，证法与的情形完全相同。

本文主要通过实例使读者体会该定理在解决部分高考压轴题中的巧妙应用。
【例题1】（直接应用：吉林省长春市2014届高三毕业班第二次调研测试题）
已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）设，，且，证明：.
解：(Ⅰ)易求得的单调递减区间为，单调递增区间为。
(Ⅱ)由于，故，故在定义域上单调递减。由中切线定理即知，。
【例题2】(直接应用：2011辽宁卷理科21题)
已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．
解：（I）易知：当时上单调增加；当时，上单调增加，在上单调减少.
（II）证明略。
（III）设函数的图像与轴交于，则有。由于故且
，故在定义域上单调递增。由中切线定理即知，，命题得证。
【例题3】（直接应用：2005湖南卷理科21题、2010年广东省高中青年教师命题大赛参赛试题、2013年辽宁省重点中学协作体领航高考预测理科试题、2014年鄂尔多斯市高考模拟理科试题）
已知
（Ⅰ）当时，求的极大值点；
（Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行.
解：（I）易知当时，的极大值点为.
（II）依题意设，记，则。由于故且，故在定义域上单调递增。由中切线定理知，。另一方面，由于为常数，由中切线定理知，。由于为曲线的交点，故有，，由此知，命题得证。
【例题4】（微变应用：2014届杭州市高考模拟考试样题理科22题）
已知函数，
（Ⅰ）已知求的单调区间；
（Ⅱ）已知若，，求证：．
解：（I）略。
（II）依题意，由于故且
，故在定义域上单调递减，单调递增。由中切线定理知，；又因为单调递减，即知命题成立。
【例题5】（变式拓展：2009辽宁卷理科21题、2010年广东省高中青年教师命题大赛参赛试题）
已知函数。
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：若，则对任意，有。
解：（I）易知当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减.
（II）依题意，由于故且，故在定义域上单调递增。由中切线定理知，
；而当时，。综上所述知，成立。
【例题6】（变式拓展：2010天津卷理科21题）
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；
（Ⅲ）如果，且，证明。
解：（Ⅰ）易知在上单调增加，在上单调减少；有唯一极大值点，。
（Ⅱ）证明略。
（Ⅲ）证明：由于在上单调增加且，在上单调减少且，若，则必有。
（1）若，则显然成立；
（2）若，则故在R上单调递增。由中切线定理知，，因为，所以即成立。
【例题7】（变式拓展：2010辽宁卷理科21题）
已知函数，
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（I）略。
（II）由于故且
；又因为，故
在定义域上单调递减。若，则可取题设要求的任意值；若，不妨设，则。由中切线定理知，。依题意，因为，故只需即结合得，即的取值范围为。
【例题8】（变式拓展）
已知函数的图像与轴交于两点，证明：。
证明：由于与轴有两个交点，易知，且故在R上单调递增。由中切线定理知，；又因为是与轴的交点，所以，由此知，。
另一方面，仍由知
，故
，即，命题成立。
【例题9】（变式拓展：2015届成都七中阶段性测试题)
已知函数，
（Ⅰ）若曲线的图像过点，求曲线在该点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；
（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求证：。
解：（I）、（II）略。
（Ⅲ）证明：由于与轴有两个交点，易知，且故在定义域上单调递增。由中切线定理知，；又因为是的零点，所以，由此知，。
另一方面，仍由知
代入上式有，所以，证毕。
【例题10】（变式拓展）
已知函数，
（Ⅰ）当求的单调区间；
（Ⅱ）已知设函数的3个极值点分别为，且，求证：．
解：（I）略。
（II）依题意，由于知且是函数的无穷间断点。因为故是的一个极值点，且；又因为当时，，且，故必在上取得某一极小值。另一方面，由于故必在上取得某一极小值。结合知，且是方程的两个实根。函数图像大致如右图所示。
令，则
进而，故在定义域上单调递减。由中切线定理知，；又因为是方程的二实根，故代入上式得，即，所以即。
小结：通过上述例题可以看出，与中切线定理有关的各类题目在高考和各地模拟题中出现的频率还是相当高的，纵观上述题目可以看出：有些题目其实就是该定理的直接应用，比如文中的例题1、2、3，特别是例题3，已经不止一次出现在高考卷和一些学校的测试卷中，该类题目在命题者心目中的地位足见一斑；有些题目是对定理内容稍加改变或延伸，比如命题4；而大部分题目是以该定理为内核，通过延伸与拓展从而派生出一系列优秀题目，这些题目从表面看与中切线定理没有直接关系，但如果揭穿其表像而挖其本质，找到它们和中切线定理的内在联系，往往能够使这些题目得到完美而巧妙的解决，当然这要求考生必须具有“慧眼实珍珠”的能力。

个人教学研究成果，详细介绍了曲线割线与其中切线斜率关系定理，证明方法，特别是如何利用该定理妙解高考压轴题。
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