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论述向量在中学数学中的应用l.doc

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资源描述
论述向量在中学数学中的应用 高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后,就成为高考的一个新内容,也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛,下面笔者就此进行探讨。向量的引入为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。向量具有很好的“数形结合”特性。它是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化,使图形间的关系代数化。 向量的应用 1. 利用向量证明等式 对于某些恒等式证明,形式中含有或符合向量的坐标运算形式,可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 例1. 已知α、β是任意角,求证:。 证明:在单位圆上,以x轴为始边作角α,终边交单位圆于A,以x轴为始边作角β,终边交单位圆于B,有 所以 又有 即成立。 2. 利用向量证明不等式 当求解问题中(式子)含有乘积或乘方时,可巧妙地利用向量数量积坐标表达式:,构造向量解之。 例2. 是正数。 求证:。 证明:设 所以。 由数量积的坐标运算可得:。 又因为 所以成立。 3. 利用向量求值 对于求值问题,巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系,求出所需量的值。 例3. 已知,求锐角α、β。 解:由条件得 设 则 由 即 则 即 同理(因为α、β为锐角)。 4. 利用向量求函数值域 巧妙构造向量,可以解决条件最值问题,特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题,用向量证明更有独特之处。 例4. 若,求的最小值。 解:构造向量 由 即 所以 当且仅当时,有最小值。 例5. 设x是实数,求的最小值。 解:因为 故可设 所以 当时等号成立。 所以当时,取得最小值。 5. 利用向量解决解析几何问题 平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点,也是近几年高考所考查的热点,解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手,还应该尽量联系向量与解析几何的共同点,综合运用解析几何知识和技巧,使问题有效解决。 例6. 过点,作直线交双曲线于A、B不同两点,已知。 (1)求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (2)是否存在这样的直线,使?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。 解:(1)设的方程为,代入 得 当时,设 则 设,由, 再将代入得(*) 时,满足(*)式。 当斜率不存在时,易知满足(*)式,故所求轨迹方程为,其轨迹为双曲线。 当时,与双曲线只有一个交点,不满足题意。 (2)因为,所以平行四边形OAPB为矩形,OAPB为矩形的充要条件是,即。 当k不存在时,A、B坐标分别为,不满足上式。 又 化简得 此方程无实数解,故不存在直线使OAPB为矩形。 所以,不存在满足条件的直线l。 无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。
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