1、论述向量在中学数学中的应用
高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容，也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。向量的引入为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。向量具有很好的“数形结合”特性。它是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间的关系代数化。
向量的应用
1. 利用向量证明等式
对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。
例1. 已知α、β是
2、任意角，求证：。
证明：在单位圆上，以x轴为始边作角α，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角β，终边交单位圆于B，有
所以
又有
即成立。
2. 利用向量证明不等式
当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：，构造向量解之。
例2. 是正数。
求证：。
证明：设
所以。
由数量积的坐标运算可得：。
又因为
所以成立。
3. 利用向量求值
对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。
例3. 已知，求锐角α、β。
解：由条件得
设
则
由
即
则
即
同理（因为α、β为锐角）。
4. 利用
3、向量求函数值域
巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。
例4. 若，求的最小值。
解：构造向量
由
即
所以
当且仅当时，有最小值。
例5. 设x是实数，求的最小值。
解：因为
故可设
所以
当时等号成立。
所以当时，取得最小值。
5. 利用向量解决解析几何问题
平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
例6. 过点，
4、作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。
（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）是否存在这样的直线，使？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）设的方程为，代入
得
当时，设
则
设，由，
再将代入得（*）
时，满足（*）式。
当斜率不存在时，易知满足（*）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。
当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）因为，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。
当k不存在时，A、B坐标分别为，不满足上式。
又
化简得
此方程无实数解，故不存在直线使OAPB为矩形。
所以，不存在满足条件的直线l。
无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。
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