方程的根与函数的零点教学案例.doc

《方程的根与函数的零点》教学案例
1.案例背景
这是笔者在本校开展课堂教学研讨活动中上的一节课，教学围绕新课程的教学理念，如何进行有效课堂教学展开的。上课的班级是高一年级八个普通班中在刚入学数学考试中排名第五的班级。学生数学基础不太好，小组合作刚开展，学生的学习能力不太高
2.教学课题
2.1 课题：《方程的根与函数的零点》教学案例
2.2 教材：《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第86-88页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点
3.教材分析
3.1内容分析
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透方程与函数思想。
3.2教学目标
（1）知识目标：从熟悉的二次函数图象出发，判断一元二次方程根的存在性及个数，了解函数的零点与方程的解之间的联系。
（2）能力目标：掌握函数零点存在的判定条件。体会数形结合的数学思想和从特殊到一般的归纳思想，培养学生的观察能力和抽象概括能力。
（3）德育目标：让学生在探究过程中体验发现的乐趣，培养学生的辨证思维。
3.3教学重点与难点
（1）教学重点：①函数零点与方程根之间的关系
②连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
（2）教学难点：①发现与理解方程的根与函数零点的关系
②探究发现函数存在零点的方法。
4.教学方法与思路
采用探究与启发诱导相结合的教学模式，遵循循序渐进的原则，让学生进行独立学习，小组交流、合作探究等活动。流程如下：创设情境，引出课题—互动交流，研讨新知—巩固深化，发展思维
5教学过程
5.1创设情境，引出课题
师：同学们比比看，看谁能快速求解下面的一元二次方程并画出其相应的二次函数图象。
（1）方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3
(2）方程x2-2x+1=0与函数y= x2-2x+1
(3) 方程x2-2x+3=0与函数y= x2-2x+3
（这一比比看激发了学生的好胜心，都在积极主动的完成）
师：同学们已经解出方程、画出图象（投影展示），请同学们观察图象看方程的根和其相应函数图象与x轴交点坐标有何关系？
生1：方程x2-2x-3=0的两个实数根-1和3就是函数y= x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标；方程x2-2x+1=0的两个相等实数根1 也是函数y= x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标；方程x2-2x+3=0无实根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点。
师：很好，这节课我们就是研究方程的根和其相应函数图象与x轴交点坐标间的关系（师板书课题），为此我们先认识函数零点的概念：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(师板书)．根据函数的零点概念同学们能填下表吗？
函数

函数的零点

方程的根

学生经过独立思考，填完表格
5.2互动交流 ， 研讨新知
（1）深入理解函数零点的意义
师：根据零点概念，请同学们思考零点是点吗？零点与函数图象、方程的根有何关系？
（学生都在静静的思考，又回头看自己填的表格。师鼓励同学们可以互相讨论，小组交流后发言）
生2：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数y= x2-2x-3的零点为x=-1,3，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标．
师：很好，你能用数学语言表达它们间的关系吗？
生2:(大胆的接过我手中的粉笔在黑板上写出) 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。
师：太规范了，很好，大家要仔细体会上述结论，请同学们阅读教材87页函数的零点概念部分。
师：同学们理解了函数零点的含义吗？老师提两个问题请同学们思考：
①如何根据函数零点的意义求函数的零点？
②是不是所有的二次函数都有零点？就一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)研究。
(由特殊到一般，课堂上沉静了。继而，出现了轻轻的讨论)
生3：可以解方程f(x)=0而得到；也可以利用函数y=f(x)的图象找出零点．
生4：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点．
师：同学们回答的很好，我们概括为：一、直接求方程f(x)=0的实数根称为代数法；二、联系函数y=f(x)的图象找图象与轴交点的横坐标称为几何法。
（2）二次函数的零点问题
大家根据函数零点的意义探索出二次函数的零点情况吗？谁能总结一下。．
生5：对于二次函数y=ax2+bx+c
①△＞０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴有两个交点，该二次函数有两个零点．
②△＝０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根，二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴有一个交点，该二次函数有一个零点．
③△＜０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴无交点，该二次函数无零点．
（3）零点存在性的探索：
师：请同学们完成下列问题并思考可以得出什么样的结论？（投影展示）
（Ⅰ）观察二次函数的图象，完成填空：
① 在区间[-2,1]上有零点______；f(-2)= _______，f(1)=_______,
f(-2)·f(1)_____0（填＜或＞或＝）
② 在区间[2,4]上有零点______；f(2)· f(4)____0（填＜或＞或＝）．
（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象

① 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b) _____0（填＜或＞或＝）．
② 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c) _____0（填＜或＞或＝）．
③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d) _____0（填＜或＞或＝）．
（生结合函数图象思考认真填空，同时尝试总结归纳函数零点存在的条件，并进行交流讨论．）
师：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？谁能总结断定函数在某给定区间上存在零点的条件？
生6：我分析得出：函数在某区间端点上的函数值异号时，函数在这个区间上存在零点．
师：谁能再补充一下？
生7：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时也必定经过一个零点
生8：我总结有两个条件：
①函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线
②在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0
师：好，同学们观察的仔细，分析的合理，我们共同总结出函数零点存在定理：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f（x）在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。
5.3巩固深化，发展思维
师：观察下面的图象并结合函数的零点，请同学们探索下列问题
探求 1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?
探求2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只有一个零点？
探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，
并且函数在区间(a,b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0 吗？
（生先独立思考后小组交流都在积极探讨）
生9：在“函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线”的条件下，f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内也可能存在零点；f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是不一定只有一个零点；函数在区间（a，b）内有零点时也不一定有f（a）·f（b）<0 。
师：探究的很好，那么当f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内什么时候只有一个零点？
（同学们又陷入了沉思，生10大胆举手回答）
生10：当函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点
（同学们点头赞同）
师：很正确，请同学们把上述问题很好的归纳一下并完成下列问题
例1：求函数f(x)=㏑x+2x-6的零点个数
生11：我借助计算器画出函数的图象，结合图象由f(2)•f(3)<0可以确定零点所在的区间为（2,3），然后利用函数单调性，我们知道函数f(x)=㏑x+2x-6在（0，+∞）内是增函数，所以它仅有一个零点．
师：很欣慰，同学们解答的很好，请完成课后练习（88页2题第1-2小题）
5.4归纳总结，整体认识
师：请学生回顾本节课所学知识内容有哪些？
生12: 函数的零点；函数零点存在性的判断
师：我们还运用了从特殊到一般的归纳思想、数形结合思想、以及函数与方程的思想等。
5.5课后作业
课本88页1题和2题第3-4小题
6.教学反思
本节课受到老师和学生的好评，为本校课堂教学改革打开了局面，从教学活动的安排和学生的学习方式以及问题的设计都体现了新课程的教学理念。
6.1创设情境，交流互动
在教学中加强了师生互动，给学生充分的动手机会，设计了不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，让学生在实践中体验一元二次方程的根与相应的二次函数的零点这二者间的联系，并类比归纳到一般方程与相应的函数的情形从而达到深入理解函数的零点概念。整节课以学生活动为主，为学生提供了自主探索和合作交流机会，让学生在探究过程中体验发现的乐趣，培养了数学表达和交流能力
6.2由浅入深,循序渐进
在教学中利用函数图象和几个填空题引导探索函数零点的存在条件，初步得到函数零点存在的判定方法，体现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内涵，在教学中本人精心设计了三个探究问题，这些问题设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极主动的思考和探索交流从而达到预期的教学效果。整个教学过程教师只是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。 大大改善了学生的学习方式，彻底改变了以讲授“现成结果”为主，以“灌输”为特征的传统教学模式。
6.3 不足之处
尽管这节课取得了较好的教学效果，也受到师生的好评，但是本人觉得还存在许多不足之处。在引入函数零点概念时，先从学生最熟悉的一次函数来分析方程的根与函数零点的关系后再从二次函数分析会更好；在给出函数零点的概念后，让学生辨析方程的根与函数的零点这两个不同的概念，认清它们的联系与区别，不能混淆会更好点；在教学中指导小组间如何合作学习还不足。教学永远没有最好，只有更好，希望与同仁们共同探讨。