教师版南莫中学高三数学专题复习策略专题分类讨论.doc

第3讲　分类讨论思想

1． 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
2． 分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
3． 分类讨论的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4． 解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.

类型一　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
例1　(1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
答案　(1)　(2)－
解析　(1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．
若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，
故a＝，m＝，检验知符合题意．
(2)当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
已知圆的方程x2＋y2＝1，则过点P(1,2)的圆的切线方程为________．
答案　x＝1或3x－4y＋5＝0
解析　当k不存在时，直线为x＝1，也是切线，
当k存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0.
∴圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，
解得k＝.
∴直线方程为3x－4y＋5＝0.
∴切线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
类型二　由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论
例2　已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．
解　①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，
它在[0,1]上是减函数，所以ymax＝f(0)＝.
②当4－3m≠0，即m≠时，y是二次函数．
当4－3m>0，即m<时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m，
当m≥2－2m，又m<，即≤m<时，ymax＝m.
当m<2－2m，又m<，即m<时，ymax＝2(1－m)．
当4－3m<0，即m>时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝<0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m.
由①、②可知，这个函数的最大值为
ymax＝
求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．
一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，则的值为________．
答案　2或
解析　若∠PF2F1＝90°，
则PF＝PF＋F1F，
∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，
解得PF1＝，PF2＝，
∴＝.
若∠F2PF1＝90°，
则F1F＝PF＋PF
＝PF＋(6－PF1)2，
解得PF1＝4，PF2＝2，
∴＝2.综上所述，＝2或.
类型三　由参数变化引起的分类讨论
例3　已知函数f(x)＝ln x－ax＋(0<a<1)，讨论函数f(x)的单调性．
解　f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，
解得x1＝1，x2＝－1.
(1)若0<a<，则x2>x1.
当0<x<1或者x>－1时，f′(x)<0；
当1<x<－1时，f′(x)>0.
故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，，单调递增区间是.
(2)若a＝，则x1＝x2，此时f′(x)≤0恒成立，且仅在x＝处等于零，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)若<a<1，则0<x2<x1，
当0<x<－1或者x>1时，f′(x)<0；
当－1<x<1时，f′(x)>0.
故此时函数f(x)的单调递减区间是，(1，＋∞)，单调递增区间是.
含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．
设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)由已知x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋，
因为曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，
所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1，所以a＝0，
此时f(2)＝2－2＝0，
故曲线f(x)在(2，f(2))处的切线方程为x－y－2＝0.
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋
＝＝.
①当0<a<1时，若x∈(0，a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；若x∈(a,1)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
若x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－a2＋aln a，
极小值是f(1)＝－；
②当a＝1时，若x∈(0,1)，f′(x)>0，若x＝1，f′(x)＝0，若x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，所以函数f(x)在定义域内单调递增，此时f(x)没有极值点，也无极值．
③当a>1时，若x∈(0,1)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
若x∈(1，a)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－，极小值是f(a)＝－a2＋aln a；
综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－a2＋aln a，极小值是－；
当a＝1时，f(x)无极值；当a>1时，f(x)的极大值是－，极小值是－a2＋aln a.

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．
常见的分类讨论问题有：
(1)集合：注意集合中空集的讨论．
(2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和0<a<1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．
(3)数列：由Sn求an分n＝1和n>1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论．
(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．
(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．
(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．
(7)(理排列、组合、)概率中的分类计数问题．
(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

1． 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．
答案　4或
解析　分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．
2． 等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是________．
答案　1或－
解析　当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求．
当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－.
3． 若x>0且x≠1，则函数y＝lg x＋logx10的值域为________．
答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析　当x>1时，y＝lg x＋logx10
＝lg x＋≥2＝2；
当0<x<1时，y＝lg x＋logx10＝－
≤－2＝－2.
所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4． 过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线有________条．
答案　3
解析　由2x2－y2＝2，得x2－＝1.
当l无斜率时，AB＝＝4，符合要求．
当l有斜率时，若A、B两点都在右支上，则AB>4不符合要求．
A、B在左、右两支上，有两条．所以共3条．
5．函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
答案　[0,4]
解析　因为函数f(x)的定义域为一切实数，
所以mx2＋mx＋1≥0对一切实数恒成立，
当m＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，
当m≠0时，则需，解得0<m≤4.
综上，实数m的取值范围是[0,4]．
6． 已知线段AB和平面α，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为________．
答案　1或2
解析　此题分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况，答案为1或2.
7． (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
答案　，－1
解析　PA2＝(x－a)2＋2
＝x2＋－2ax－2a＋2a2
＝2－2a＋2a2－2
＝2＋a2－2
由x>0，得x＋≥2，
由已知条件或
解得a＝，或a＝－1.
8． 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设数列{an}的公差为d，
由已知，得解得
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘q，得
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
＝nqn－＝.
于是，Sn＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
综上，Sn＝
若方程恰有两个不同的实数解，求的范围.