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第四讲 等差数列与等比数列
【基础回顾】
一、知识梳理：
1、用类比的方法梳理等差数列与等比数列基础知识

等差数列
等比数列
定 义
an+1－an=d

=q（q为常数，an≠0）；
an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）
通项公式
an=a1+(n-1)d
常用变通公式:
an=a1qn-1，
常用变通公式： an=amqn-m
求和公式
Sn=na1+d
或
时，是关于n的二次型,且无常数项.

等差中项
a, A，b成等差数列，A为a, b的等差中项。且A=
a, G，b成等比数列，G为a, b的等比中项。且注：两正数的等比中项有两个
常用
性质
若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q，则
特别地：2p=m+n m,n,p,∈N+，则
若m,n,p,q∈N+,m+n=p+q，则aman=apaq
特别地：2p=m+n，m,n,p∈N+，则
为正整数且成等差数列，则成等差数列
为正整数且成等差数列，则成等比数列
Sn, S2n－Sn, S3n－S2n 成等差数列
Sn, S2n－Sn, S3n－S2n（Sn≠0）成等比数列

2、用联系的视野对等差数列与等比数列进行整合
（1）如果数列成等差数列，那么数列（总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列．
（3）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
3、在理解的基础上对等差数列与等比数列某些性质进行延伸研究（方法）
（1）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、成等差数列
（2）若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；
（3）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；
（4）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，
（5）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（6）若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
【基础达标】
1.已知等比数列的公比不等于1，给出5个数列：（1） （2） （3）
（4） （5）其中仍为等比数列的序号为
2.在等比数列中，且成等差数列，则
3.等差数列中，公差不为零，且恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为
4. 已知函数,等差数列的公差为.若,则 .
5. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是

【典型例题】
例题1：设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列，且，求通项

例题2：已知等差数列的首项 公差,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项。（1）求数列和的通项公式
（2）设数列对均有成立，求

例题3：在数列中，，，且（）．
（1）设（），证明是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

例题4：如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

【巩固练习】
1.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则
2. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
3．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于
4. 已知数列对于任意，有.，若，则 ．
5. 已知等差数列的前项和为，若，则 ．
6．设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
7. 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是
8. 已知数列{}的前项和，第项满足，则
9.设等差数列的公差为d，则“的方差为1”的充要条件是d=
10.设若是的等比中项，则的最小值为
11.已知数列的前n项和，求（1）通项 （2）求的最大值（3）求

12.已知数列中，已知且数列是公差为-1的等差数列，数列是公比为的等比数列，求数列的通项公式及前n项和公式

13.已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．

14. 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列

【拓展提高】
（1）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 ．

（2）已知数列满足：数列满足。
（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；
（2）若是等比数列，求的前项和；
（3）当是公比为的等比数列时，能否为等比数列？若能，求出的值；若不能，请说明理由。

【总结反思】

第四讲 等差数列与等比数列
【基础达标】
1. （2）（3）（4） 2. 3. 4 4. －6 5.5
【典型例题】
例1略解：由已知可得 ①
即 ②
故 ③
②③代入①得： 即
所以数列是等差数列，因为，得
所以 ，所以 代入③
得 又，适合上式，所以
综上，
例2 解：（1）由已知 ，又，则
所以
又，故公比
所以
（2） 由
当
两式相减得：
所以
又 所以
所以
所以
例3：解：（1）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（3）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
例4：解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
67108861．
（3）．
由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
当时，
．
当时，

．
综上所述，
【巩固练习】
（1）4（2） （3）2 （4）4 （5）7 （6） （7） （8）
（9） （10）4
（11）（1） （2） （3）
（12）
（13）（Ｉ）解：由题设得，即
（）易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．
（II）解：由题设得，令，则
．易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为
．由解得，求和得．
（14）解：（1）由已知得，，故．
（2）由（1）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
， ．
与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
【拓展提高】
（1）
（2）（1）是等差数列，.--- 1分
又, 解得，
.
（2）是等比数列，，则.…7分
数列是首项为，公比为的等比数列，
当； 当时，.
（3）数列不能为等比数列.
，
假设数列能为等比数列，由， ，此方程无解，
数列一定不能为等比数列.
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