第四讲等差数列与等比数列.doc

第四讲 等差数列与等比数列【基础回顾】一、知识梳理：1、用类比的方法梳理等差数列与等比数列基础知识等差数列等比数列定 义an+1an=d=q（q为常数，an0）；an2=an-1an+1（n2，nN+）通项公式an=a1+(n-1)d常用变通公式:an=a1qn-1， 常用变通公式： an=amqn-m求和公式Sn=na1+d或 时，是关于n的二次型,且无常数项.等差中项a, A，b成等差数列，A为a, b的等差中项。且A=a, G，b成等比数列，G为a, b的等比中项。且注：两正数的等比中项有两个常用性质若m,n,p,qN+,且m+n=p+q，则特别地：2p=m+n m,n,p,N+，则若m,n,p,qN+,m+n=p+q，则aman=apaq特别地：2p=m+n，m,n,pN+，则为正整数且成等差数列，则成等差数列为正整数且成等差数列，则成等比数列Sn, S2nSn, S3nS2n 成等差数列Sn, S2nSn, S3nS2n（Sn0）成等比数列2、用联系的视野对等差数列与等比数列进行整合（1）如果数列成等差数列，那么数列（总有意义）必成等比数列（2）如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列（3）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件3、在理解的基础上对等差数列与等比数列某些性质进行延伸研究（方法）（1）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、成等差数列（2）若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；（3）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；（4）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（5）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（6）若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.【基础达标】1.已知等比数列的公比不等于1，给出5个数列：（1） （2） （3）（4） （5）其中仍为等比数列的序号为 2.在等比数列中，且成等差数列，则 3.等差数列中，公差不为零，且恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为 4. 已知函数,等差数列的公差为.若,则 .5. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 【典型例题】例题1：设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列，且，求通项例题2：已知等差数列的首项 公差,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项。（1）求数列和的通项公式（2）设数列对均有成立，求例题3：在数列中，且（）（1）设（），证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项例题4：如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列” （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项； （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和； （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前项的和 【巩固练习】1.设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则 2. 等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为3已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于 4. 已知数列对于任意，有.，若，则5. 已知等差数列的前项和为，若，则6设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。7. 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 8. 已知数列的前项和，第项满足，则 9.设等差数列的公差为d，则“的方差为1”的充要条件是d= 10.设若是的等比中项，则的最小值为 11.已知数列的前n项和，求（1）通项 （2）求的最大值（3）求12.已知数列中，已知且数列是公差为-1的等差数列，数列是公比为的等比数列，求数列的通项公式及前n项和公式13.已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式14. 等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【拓展提高】（1）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 （2）已知数列满足：数列满足。（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；（2）若是等比数列，求的前项和；（3）当是公比为的等比数列时，能否为等比数列？若能，求出的值；若不能，请说明理由。【总结反思】第四讲 等差数列与等比数列【基础达标】1. （2）（3）（4） 2. 3. 4 4. 6 5.5【典型例题】例1略解：由已知可得 即 故 代入得： 即所以数列是等差数列，因为，得 所以 ，所以 代入得 又，适合上式，所以综上， 例2 解：（1）由已知 ，又，则 所以 又，故公比 所以（2） 由当两式相减得：所以 又 所以 所以所以例3：解：（1）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（2）解法：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（3）解：由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项例4：解：（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） 67108861 （3） 由题意得 是首项为，公差为的等差数列 当时， 当时， 综上所述， 【巩固练习】（1）4（2） （3）2 （4）4 （5）7 （6） （7） （8） （9） （10）4 （11）（1） （2） （3）（12） （13）（）解：由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为由解得，求和得（14）解：（1）由已知得，故（2）由（1）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【拓展提高】（1） （2）（1）是等差数列，.- 1分又, 解得， . （2）是等比数列，则.7分数列是首项为，公比为的等比数列，当； 当时，. （3）数列不能为等比数列. ， 假设数列能为等比数列，由， ，此方程无解，数列一定不能为等比数列. 10