垂径定理教案.doc

24.1.2 垂直于弦的直径
谷城县石花镇一中 李世秀
一、内容和内容解析
1．内容
圆是轴对称图形、垂径定理及垂径定理的推论。
2．内容解析
垂径定理是初中数学的重要内容之一。本节课是在学生已经学习了圆的定义以及圆的有关概念的基础上，进一步研究圆的有关定理．作为本章的第一个定理，本节内容是学习本章知识的基础，另外也进行了情感教育，同时体现了数形结合和转化的数学思想．
本节课首先从赵州桥引入，紧接着出现三个探究：分别是圆的轴对称性、垂径定理、垂径定理的推论。
圆的轴对称性：通过学生动手反复折叠结合问题得出结论；
垂径定理：通过问题串的形式首先给出图形讨论除了垂直外，还有哪些等量关系等等？学生通过自主探究合作交流达成共识进而进行剖析定理;
垂径定理的推论：题设结论共5要素，是否任意知道2要素，得到其它3要素？老师指导，学生练习自主探究合作交流达成共识。
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：1.理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及推论；学会运用垂径定理进行有关计算。
二、教材解析
本节课是在学习了圆的有关概念之后，为了学习后面圆的有关知识引进了垂径定理。它是为后面学习弧、弦、圆心角定理与圆周角定理以及其它有关圆的知识作了准备，尤其利用垂径定理及推论来计算线段长度。本节课的难点是垂径定理及推论的推导、应用。学生在学习过程中可能不能深刻理解“垂径定理”。因此在教学时，要利用问题串形式来进行自主探究合作交流通过教师点拨从而突破重点难点。
三、目标和目标解析
1．目标
（1）经历探索圆的轴对称性及垂径定理及推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
（2）理解并应用垂径定理及推论进行有关的计算．
2．目标解析
目标（1）是让学生能从反复的折纸中体会圆是轴对称图形以及得出垂径定理，体会数形结合和转化的数学思想．
目标（2）是让学生需要理解垂径定理及推论的推导，并且运用它进行有关的计算。
四、教学问题诊断分析
垂直于弦的直径虽然不是本章的第一节，但是它是本章的第一个定理，要想让学生自主学习说出这个定理并不是件容易的事，尤其从图形语言翻译成符号语言（或者是文字语言），也是对学生提出的新的挑战．另外教学过程流畅也是本节课的一难点：怎样自然过渡到引例也将对我这个数学教学者提出又一挑战。当然通过本节课的学习，也要让学生体会圆中常作辅助线：连半径或作垂线。
基于以上分析，本课的教学难点是：垂径定理及其推论的推导及应用。
五、教学过程设计
（一）创设情境，激发兴趣
情景:
1、出示图片（各种各样的桥，有现代，有古代）：欣赏桥美。

2、教师介绍：定格坚固的石拱桥——赵州桥，配置录音（介绍赵州桥，了解古代人民勤劳和智慧）。
3、问题：①桥是什么形状？
②多媒体演示桥的跨度、拱高是指什么？
③已知跨度37.4m，拱高7.2m，求主桥的半径？
师生活动：教师展示图片，介绍赵州桥，学生欣赏，独立完成问题①，同时通过教师点拨，学生合作交流将图片抽象成几何图形，求主桥拱半径，即求所在圆的半径，设置悬念导入课题。
[设计意图]“兴趣是最好的老师”，我从赵州桥问题引入课题，一方面让学生感受到数学来源于生活；另一方面运用生活中的实例讲解数学知识，能激发学生的兴趣和求知欲，同时也进行情感教育。
（二）探索归纳，发现新知
探究一：圆的轴对称性
动手操作：拿出教具反复折叠（要求：两部分安全重合）
问题：1.这样折叠方式有多少种？
2.折痕有多少条？
3.这些折痕有什么特点？
师生活动：通过学生自主探究与合作交流，得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
探究二：垂径定理
如图:AB是⊙o的弦，CD⊥AB，且AB为直径。
问题：1、图①是轴对称图形吗？对称轴是什么？
2、你发现有哪些相等的线段和弧？
3、为什么它们相等？
4、你能用一句话叙述由已知条件得出结论吗？
图①
师生活动：教师引导，学生折叠，通过自主探究合作交流达成共识：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，从而揭示垂径定理。
5、垂径定理的题设和结论各是什么？
师生活动：再结合图形，师生共同剖析定理：题设（AB⊥CD，CD为直径，即过圆心，共2要素），结论（CE=DE，弧AD =弧AC, 弧BC =弧BD共3要素）。
探究三：推论
问题：1、垂径定理题设和结论共几要素？是否是知道任意2要素，得到其它要素？
2、如图②：若AB⊥CD，CE=DE，你发现哪些等量关系？
3、如图③：若CD是弦，AB为直径，且CE=DE，你又发现有哪些等量关系？
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A
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D
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C
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O
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B
4、如图④：直径AB 弦CD，则AB⊥CD吗？由此你能得出什么结论？

图② 如图③ 如图④
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E
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A
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D
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C
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O
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B
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E
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A
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D
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C
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O
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B
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E
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A
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D
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C
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O
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B
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E
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A
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D
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C
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O
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B
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E
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A
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D
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C
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O
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B
师生活动：教师巡回引导，学生通过练习2、3、4讨论交流，达成共识（解决问题1）：五个要素知道任何2个，就可得到其它3个，即知二得三，关注：平分弦不是直径，即：垂径定理的推论。
[设计意图]这一环节的设计是让学生经历知识的发生、发展和形成过程，把接受知识的过程设计成探究过程，也是课程标准所倡导，让学生带着问题去自主探究、合作交流，要给学生足够时间和空间“从做中学”（美国教育家杜威提出），在此过程渗透数形结合思想，培养学生合作交流意识和思维能力。
（三）初步应用，感悟新知
1、下面哪些符合垂直定理的条件？

2、如下（1）图：（1）若MN⊥AB，MN为直径，则AE= ，弧AM=弧 ，弧AN=弧 。
（2）若AE=BE，MN为直径，则 ， ， 。
（3）若MN⊥BC，AE=BE，则 ， ， 。
变式1:AB⊥MN，MN为直径，AB=24，DE=5，求半径。
变式2:AB=24，弓高EM=8，求半径。
变式3: 如图（2）动画隐去虚线部分，条件不变如图（3）,求半径。
(3)

(2)
(1)

[设计意图]练习1剖析垂径定理；练习2考查垂径定理及推论；变式1利用垂径定理建立直角三角形；变式2是变式1的变式；变式3利用动画形式由练习2和变式1、2自然过渡到引例。本环节采取变式层层递进的方式很自然的过渡到例题，使学生认知结构得到优化，知识体系得到完善，从而学生数学理解又一次突破，并且教学过程自然流畅。在些过程中既要关注学生回答的积极性、主动性、准确性，及时将理论用于实践，又要关注学生是否会考虑到连半径建立直角三角形也为后面的学习作铺垫，达到突出重点，突破难点的目的。
（四）典型例题，应用新知
例1：改变变式3图中数据，让学生尝试解决引例问题。
（引例）1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m)。（即：AB=37.4m，EM=7.2m，求半径）
师生活动:(1)学生独立思考，尝试解答：学生写出解答过程，让一个学生板演，教师巡视指导;（2）合作交流，反馈矫正:教师规范解答过程，学生小组内交流解答过程，有疑问或困惑的地方，互相交流提示；（3）学生完成解答过程。
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A
B
O
归纳小结：（1）OA2=AE2+OE2；（2）转化直角三角形。
变式1： 如右图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘，
米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
师生活动:学生自主探究、合作交流，教师引导相结合作出辅助线，
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A
C
D
B
O
完成解答过程。
变式2：已知：如右图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
教师引导学生说出证明过程。
小结：教师点拨：对于圆中有关弦、圆心到弦的距离、求
半径的问题，常作辅助线：连半径或作出圆心到弦的垂线段，构成
直角三角形，运用垂径定理和勾股定理解决有关问题。其中，⊙O的
半径r，圆心到弦的距离d、弦a之间的关系是：=d+（）。在a，d，r三个量中，知道任何两个量可以求出第三个量。
[设计意图]由例题到变式的设计，由易到难、由浅入深，达到“一题问出万题来一花引来万花开”的效果。变式也是数学教学中巩固知识，提高能力的最好办法。
（五）归纳小结，分层作业
小结：
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
2.垂径定理是什么？你是怎么得出这个定理的？
3.垂径定理的推论是什么？你是怎么得出这个推论的？
4.本节课运用哪些数学思想方法？常作的辅助线有哪些？
5通过本节课的学习你能解决哪些问题？还有哪些困惑？
[设计意图]：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——垂径定理及推论，运用它可以证明线段相等、弧相等、计算线段的长度以及用垂径定理和勾股定理解决有关问题．
分层作业：
必做题：教科书第9页练习第3题，习题1.2第2题．
选做题：已知半径为5㎝的圆的两条平等弦的长度分别为6㎝和8㎝，则两弦之间的距离是多少？
[设计意图]分层作业有较大的弹性，尊重学生个体差异，满足多样化学习需要，让不同的学生在数学上得到应有的发展。
（六）目标检测设计
1、判断：
（1）直径是圆的对称轴。 （ ）
（2）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的两条弧。 （ ）
（3）平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对两条弧。 （ ）
[设计意图]剖析垂径定理及其推论、圆的轴对称性。
2、选择：
已知如图AB=8，⊙O半径为5，M为AB上一动点，则OM的长不可能为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
[设计意图]考查垂径定理。
3、已知：如右图AB⊥DE，AB=8，OE=5，求⊙O的半径。
[设计意图]利用垂径定理建立直角三角形。
4、已知：如右图DC、OD为半径，且AE=BF，求证：△OEF为等腰三角形。
[设计意图]运用垂径定理与其它知识的综合解题。
5、选做题：小明学完本节课， 向思考得出了一个结论：“弦的垂直平分线一定经过圆心，并用一部分弦所对的两条弧”。你认为他的猜想正确吗？为什么？你能利用上面的结论，帮助考古学家利用尺规作图的方法确定下图圆盘的圆心吗？
[设计意图]对于学有余力的学生采用分层教学分层考查。目的是培养学生能力以及尊重学生的个体差异满足多样化的学习需要。