全国高中数学联赛江苏赛区试题解析.doc

2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题
1. 当时,函数的最大值为_______
2. 在△ABC中 ,已知,则AC=_____
3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是___
4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为______
5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜
角为锐角的直线与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为，则直线的斜率为
6. 设为正实数, ，则的取值范围是_________
7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____
8.已知等差数列和等比数列满足: ，，，，则________
9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。
10、三角形的周长为31，三边为均为整数且 ，则满足条件的三元数组的个数为________
11、 .在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：
(1) ； ⑵

12、已知为实数, ，函数，若
(1)求实数； (2)求函数的单调区间；
(3)若实数满足,求证：

13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围

14. 设是正整数，是方程的两根，证明：存在边长是正整数且面积为的直角三角形。

2011年高中数学联赛江苏赛区试题
一、 填空题（本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）
1． 复数 ．
2．已知直线是圆的一条对称轴，则实数
3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．
4．已知，则 ．
5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前
n项和等于 ．
7．设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
8．设f (m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，则
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是
二、 解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．

12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．

13．如图，P是内一点．
（1）若P是的内心，证明：；
A
B
C
P
（2）若且，证明：P是的内心．

14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．
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