资源描述
一、选择题
1.(2010年广东卷.文)函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
答案 D
解析 ,令,解得,故选D
2.（2010全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
A.1 B. 2 C.-1 D.-2
答案 B
解:设切点，则,又
.故答案 选B
3.（2010安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A
4.（2010江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
答案 A
解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5.（2010江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 由已知，而，所以故选A
力。
6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解 ,
故切线方程为,即 故选B.
7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A ． B． C． D．
解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
9.（2009天津卷理）设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
为增函数，在点处有极小值；又
，故选择D。
二、填空题
10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
解析 f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
答案 3
11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
解析 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
解析 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
答案 :
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
答案
解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2
16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案 ①③④
解析 ①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，
突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
答案
解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
三、解答题
18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解析 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且
19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析 （Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
20.（2009北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
21.（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查
综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
22.设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解析 （I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知
即 解得 1<a<6
故的取值范围是（1，6）
23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
解析 （1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即
；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解析 的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
①当,即时，仅对有,对其余的都有
,此时在上也是增函数。
① 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）
已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
解析 (1)由于
令
①当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
26.（2009江西卷文）（本小题满分12分）
设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解析 (1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
27.（2009江西卷理）（本小题满分12分）
设函数
(1)求函数的单调区间；
(1)若，求不等式的解集．
解析 (1), 由,得 .
因为 当时,； 当时,； 当时,；
所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .
(2)由 ,
得：.
故：当 时, 解集是：；
当 时，解集是： ；
当 时, 解集是：.
28.（2009天津卷文）（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的
，恒成立，求m的取值范围。
答案 （1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
解析 解析 当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解析 ，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极小值
极大值
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解析 由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。
30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）
在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.
如果函数在处有极什,试确定b、c的值；
求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。
解 当得对称轴x=b位于区间之外
此时
由
①若
于是
①若，则，
于是
综上，对任意的b、c都有
而当，时，在区间上的最大值
故对任意的b，c恒成立的k的最大值为
31.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①
又，由已知得……②
联立①②，解得.
所以函数的解析式为 …………………………………4分
（II）因为
令
当函数有极值时，则，方程有实数解，
由，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值
②当时，有两个实数根
情况如下表：
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
…………………………………12分
32.（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)
设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；
（II）证明：
解: （I）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得
⑴当时，在内为增函数；
⑵当时，在内为减函数；
⑶当时，在内为增函数；
（II）由（I），
设，
则
⑴当时，在单调递增；
⑵当时，，在单调递减。
故．
333.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。
解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，
所以，于是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.
（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。
（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.
当x＜时，， 在区间内为增函数；
当＜x＜时，，在区间内为减函数;
当时，，在区间内为增函数.
所以在处取极大值，在处取极小值.
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.
于是的定义域为.由 得.
于是 .
当时，所以函数
在区间内是减函数，故的值域为
35.（2009福建卷理）（本小题满分14分）
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；
(1)证明：当
解析 （Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分 于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分
37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解析 (1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分
38.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知函数
（1）如，求的单调区间；
（1）若在单调增加，在单调减少，证明
＜6.
（21）解析
（Ⅰ）当时，，故
当
当
从而单调减少.
(Ⅱ)
由条件得：从而
因为所以
将右边展开，与左边比较系数得，故
又由此可得
于是
39.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解析 （1）
当时，对，有
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
（2）因为在处取得极大值，
所以
所以
由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值。
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是。
40.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）
已知函数，其中
若在x=1处取得极值，求a的值；
求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。
解（Ⅰ）
∵在x=1处取得极值，∴解得
（Ⅱ）
∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，
由
∴
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，
当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是
41.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①
又，由已知得……②
联立①②，解得.
所以函数的解析式为 …………………………………4分
（II）因为
令
当函数有极值时，则，方程有实数解，
由，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值
②当时，有两个实数根情况如下表：
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
…………………………………12分
42.（2009湖北卷文）（本小题满分14分）
已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x) ∣,
记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：
（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理
论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I）解析 ，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：
1
0
+
0
极小值
极大值
当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则
将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时
，即
下同解法1
43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（21）解析
（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得
令
列表讨论的变化情况：
（-1，3）
3
+
0
—
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
44.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
（I）解析
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）
已知函数。
（I）求函数的定义域，并判断的单调性；
（II）若
（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解析 （Ⅰ）由题意知
当
当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.
所以
（Ⅲ）
令
① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值
② 当时，有两个实根
当x变化时，、的变化情况如下表所示：
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
的极大值为，的极小值为
③ 当时，在定义域内有一个实根，
同上可得的极大值为
综上所述，时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为
当时，的极大值为
46.（2009福建卷文）（本小题满分12分）
已知函数且
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
解法一：
（I）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（I）得（
故
令，则或
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：
+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点
47.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
48.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
（1） ．．．．．．16分
49.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
50.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知为偶函数，曲线过点，．
（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
解: （Ⅰ）为偶函数,故即有
解得
又曲线过点,得有
从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得
所以实数的取值范围:
（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得
又 令,得
当时, ,故在上为增函数
当时, ,故在上为减函数
当时, ,故在上为增函数
B组 • 2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，
则 （ ）
A．2 B． C． D．
答案 D
2.（2008年 湖北卷7）若上是减函数，则的取值
范围是 （ ）
A. B.
C. D.
答案 C
3.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象
可能是 （ ）
答案 D
4.（2008年辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾
斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
5.（2007年福建理11文）已知对任意实数，有，且
时，，则时 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B
6.（2007年海南理10）曲线在点处的切线与坐标
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