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数学建模课程内容数学建模课程内容1数学模型概述数学模型概述2初等模型初等模型3简单优化模型简单优化模型4数学规划模型数学规划模型5微分方程模型微分方程模型6稳定性模型稳定性模型7差分方程模型差分方程模型8离散模型离散模型9概率模型概率模型十、十、统计模型统计模型数学软件数学软件 MATLAB 最优化软件最优化软件 LINGO第1页第八章第八章 离散离散模型模型8.1 层次分析模型层次分析模型8.2 循环比赛名次循环比赛名次8.3 社会经济系统冲量过程社会经济系统冲量过程8.4 效益合理分配效益合理分配y（合作对策）(冲量过程模型)（排序问题）第2页离散模型离散模型 离散模型：离散模型：差分方程（第差分方程（第7 7章）、整数规划（第章）、整数规划（第4 4章）、章）、图论、对策论、网络流、图论、对策论、网络流、分析社会经济系统有力工具分析社会经济系统有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）知识只用到代数、集合及图论（少许）知识第3页8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中决议问题日常工作、生活中决议问题 包括经济、社会等方面原因包括经济、社会等方面原因 作比较作比较、判断判断、评价、决议、评价、决议时时，人人主观选择主观选择 起相当大起相当大作用，作用，各原因主要性难以量化各原因主要性难以量化 T.L.Saaty于于1970年代提出年代提出层次分析法层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一个一个定性与定量相结定性与定量相结合、系统化、合、系统化、层次化层次化分析方法分析方法第4页一、一、层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将相关原因自上而下分层（目标深入分析实际问题，将相关原因自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各原因基本上相对独立。各原因基本上相对独立。2）结构成对比较阵）结构成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，结构各层对上一层每一原因成尺度，结构各层对上一层每一原因成对比较阵。对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若经过，则特征向量为权向量。检验，若经过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验）组合权向量可作为决议定量依据。组合权向量可作为决议定量依据。第5页目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地怎样在怎样在3 3个目标地中按照景色、个目标地中按照景色、费用、居住条件等原因选择费用、居住条件等原因选择.第6页“选择旅游地选择旅游地”思维过程归纳思维过程归纳 将决议问题分为将决议问题分为3个层次：个层次：目标层目标层O，准则层，准则层C，方案层，方案层P；每层有若干；每层有若干元素，元素，各层元素间关系用相连直线表示。各层元素间关系用相连直线表示。经过经过相互比较相互比较确定各准则对目标权重，及各方案确定各准则对目标权重，及各方案对每一准则权重。对每一准则权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标权将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标权重。重。层次分析法层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决议问题定量结果。给出决议问题定量结果。第7页层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间元素之间两两对比两两对比，对比采取，对比采取相对尺度相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O主要性主要性A成对比较成对比较矩阵矩阵 （判断矩阵判断矩阵判断矩阵判断矩阵）A是正互反是正互反矩阵矩阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O权向量权向量选选择择旅旅游游地地景色 费用 居住 饮食 旅途景色 费用 居住 饮食 旅途第8页成对比较不一致情况成对比较不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致允许范围允许不一致，但要确定不一致允许范围考查完全一致情况考查完全一致情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第9页成对比较完全一致情况成对比较完全一致情况满足满足正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A秩为秩为1，A唯一非零特征根为唯一非零特征根为n A任一列向量是对应于任一列向量是对应于n 特征向量特征向量 A归一化特征向量可作为权向量归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)成对比成对比较阵较阵A，提议用对应于最大特征根，提议用对应于最大特征根 特特征向量作为权向量征向量作为权向量w，即，即：一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第10页2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 显著强显著强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9主要性与上面相反主要性与上面相反 心理学家认为成对比较原因不宜超出心理学家认为成对比较原因不宜超出9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实种比较尺度对若干实例结构成对比较阵，算出权向量，与实际对比发觉，例结构成对比较阵，算出权向量，与实际对比发觉，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量转化：便于定性到定量转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第11页一致性检验一致性检验对对A确定不一致允许范围确定不一致允许范围已知：已知：n 阶一致阵唯一非零特征根为阶一致阵唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 大小，引入大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模拟随机模拟得到得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时，经过一致性检验时，经过一致性检验Saaty结果以下结果以下第12页“选择旅游地选择旅游地”中准中准则层对目标权向量及则层对目标权向量及一致性检验一致性检验准则层对目标准则层对目标成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点双向连通竞赛图，存在正个顶点双向连通竞赛图，存在正整数整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称称素阵素阵 素阵素阵A最大特征根为正单根最大特征根为正单根，对应正特征向量，对应正特征向量s，且且排名为排名为1，2，4，3用用s排名排名1234(4)1,2,3,4?第44页1234566支球队比赛结果支球队比赛结果排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6第45页v1能源利用量；能源利用量；v2能源价格；能源价格；v3能源生产率；能源生产率；v4环境质量；环境质量；v5工业产值；工业产值；v6就业机会；就业机会；v7人口总数。人口总数。8.3 社会经济系统冲量过程社会经济系统冲量过程系统元素系统元素图顶点图顶点元素间影响元素间影响带方向弧带方向弧影响正反面影响正反面弧旁弧旁+、号号带符号有向图带符号有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律；方针政策客观规律；方针政策例例 能源利用系统预测能源利用系统预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第46页带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)邻接矩阵邻接矩阵AV顶点集顶点集 E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi 增加造成增加造成下时段下时段vj 增加增加降低降低带符号有向图带符号有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第47页加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi 增加增加1单位造成单位造成下时段下时段vj 增加增加wij单位单位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2第48页冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi改变引发系统演变过程改变引发系统演变过程 vi(t)vi在时段在时段t 值值；pi(t)vi在时段在时段t 改变量改变量(冲量冲量)冲量过程模型冲量过程模型或或第49页231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统预测能源利用系统预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0冲量过程冲量过程若开始时能源利用量有突然增加，预测系统演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统演变设设能源利用系统能源利用系统 p(t)和和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000第50页简单冲量过程简单冲量过程S稳定性稳定性 任意时段任意时段S各元素值和冲量是否为有限各元素值和冲量是否为有限(稳定稳定)S不稳定时怎样改变能够控制关系使之变为稳定不稳定时怎样改变能够控制关系使之变为稳定 S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t,|pi(t)|有有界界 S值稳定值稳定对任意对任意 i,t,|vi(t)|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定S稳定性取决于稳定性取决于W特征根特征根记记W非零特征根为非零特征根为 第51页 S冲量稳定冲量稳定|1 S冲量稳定冲量稳定|1且均为单且均为单根根 S值稳定值稳定 S冲量稳定冲量稳定且且 不等于不等于1对于能源利用系统邻接矩阵对于能源利用系统邻接矩阵A特征多项式特征多项式能源利用系统存在能源利用系统存在冲量冲量不稳定不稳定简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S稳定性稳定性 第52页简单冲量过程稳定性简单冲量过程稳定性 改进玫瑰形图改进玫瑰形图S*带符号有向带符号有向图双向连通，且存在一个位于图双向连通，且存在一个位于全部回路上中心顶点。全部回路上中心顶点。回路长度回路长度 组成回路边数组成回路边数回路符号回路符号 组成回路各有向边符号组成回路各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k回路符号和回路符号和r使使ak不等于不等于0最大整数最大整数 S*冲量稳定冲量稳定 若若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 +-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第53页简单冲量过程简单冲量过程S*稳定性稳定性 a1=0,a2=(-1)v1v2 (-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5 S*冲量稳定冲量稳定 (-1)v1v2(+1)v1v2(由勉励利用变为限制利用由勉励利用变为限制利用)a2=-1+S*冲量不稳定冲量不稳定A特征多项式特征多项式S*冲量稳定冲量稳定 S*冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根v1利用量利用量,v2价价格格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5第54页 若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 S*冲量稳定冲量稳定 v3能源生产率能源生产率 v5工业产值工业产值(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系统值不应稳定？能源利用系统值不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+第55页8.4 效益合理分配效益合理分配例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利7元，元，甲丙合作赢利甲丙合作赢利5元，乙丙合作赢利元，乙丙合作赢利4元，元，三人合作赢利三人合作赢利11元。又知每人单干赢利元。又知每人单干赢利1元。元。问三人合作时怎样分配赢利？问三人合作时怎样分配赢利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)第56页(1)Shapley合作对策合作对策 I,v n人合作对策，人合作对策，v特征函数特征函数n人从人从v(I)得到分配，满足得到分配，满足v(s)子集子集s赢利赢利第57页公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中元素数目，中元素数目，Si 包含包含i全部子集全部子集由由 s 决定决定“贡献贡献”权重权重 Shapley值值 i 对合作对合作s“贡献贡献”Shapley合作对策合作对策第58页三人三人(I=1,2,3)经商中甲分配经商中甲分配x1计算计算 1/3 1/6 1/6 1/31 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得类似可得 x2=23/6,x3=17/61 2 2 3第59页合作对策应用合作对策应用 例例1 污水处理费用合理分担污水处理费用合理分担20km38km河流河流三城镇地理位置示意图三城镇地理位置示意图123 污水处理，排入河流污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，三城镇可单独建处理厂，或联合建厂或联合建厂(用管道将污水用管道将污水由上游城镇送往下游城镇由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道长度管道长度建厂费用建厂费用P1=73Q0.712管道费用管道费用P2=0.66Q0.51L第60页污水处理污水处理5 种方案种方案1）单独建厂）单独建厂总投资总投资2）1,2合作合作3）2,3合作合作4）1,3合作合作总总投资投资总投资总投资合作不会实现合作不会实现第61页5）三城合）三城合作总投资作总投资D5最小最小,应联合建厂应联合建厂 建厂费：建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3提议：提议：d1 按按 5:3:5分担分担,d2,d3由城由城1,2担负担负城城2提议：提议：d3由城由城1,2按按 5:3分担分担,d2由城由城1担负担负城城1计算：计算：城城3分担分担d1 5/13=174C(3),城城2分担分担d1 3/13+d3 3/8=132C(1)不不一一样样意意D5怎样分担？怎样分担？第62页特征函数特征函数v(s)联合联合(集集s)建厂比单独建厂节约投资建厂比单独建厂节约投资三三城从城从节约投资节约投资v(I)中得到分配中得到分配 Shapley合作对策合作对策第63页计算计算城城1从从节约投资中得到分配节约投资中得到分配x11 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1=19.7,城城1 C(1)-x1=210.4,城城2 C(2)-x2=127.8,城城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资三城在总投资556中分担中分担x2=32.1,x3=12.2x2最大，怎样解释？最大，怎样解释？第64页合作对策应用合作对策应用 例例2 派别在团体中权重派别在团体中权重 90人团体由人团体由3个派别组成，人数分别为个派别组成，人数分别为40,30,20人。团人。团体表决时需过半数赞成票方可经过。体表决时需过半数赞成票方可经过。即使即使3派人数相差很大派人数相差很大若每个派别组员同时投赞成票或反对票，用若每个派别组员同时投赞成票或反对票，用Shapley合合作对策作对策计算计算各派别在团体中权重。各派别在团体中权重。团体团体 I=1,2,3，依次代表，依次代表3个派别个派别=不然不然，组员超出组员超出定义定义特征函数特征函数045,1)(ssv第65页优点：优点：公正、合理，有公理化基础。公正、合理，有公理化基础。如如n个单位治理污染个单位治理污染,通常知道第通常知道第i方单独治理投资方单独治理投资yi 和和n方共同方共同治理投资治理投资Y,及第及第i方不参加时其余方不参加时其余n-1方投资方投资zi(i=1,2,n).确确定共同治理时各方分担费用。定共同治理时各方分担费用。其它其它v(s)均不知道均不知道,无法用无法用Shapley合作对策合作对策求解求解Shapley合作对策小结合作对策小结若定义特征函数为合作赢利若定义特征函数为合作赢利(节约投资节约投资)，则有，则有缺点：缺点：需要知道全部合作赢利，即要定义需要知道全部合作赢利，即要定义I=1,2,n全部子集全部子集(共共2n-1个个)特征函数，实际上常做不到。特征函数，实际上常做不到。第66页设只知道设只知道无无 i 参加时参加时n-1方合作赢利方合作赢利全体合作赢利全体合作赢利求解合作对策其它方法求解合作对策其它方法例例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利7元，元，甲丙合作赢利甲丙合作赢利5元，乙丙合作赢利元，乙丙合作赢利4元，三人元，三人合作赢利合作赢利11元。问三人合作时怎样分配赢利？元。问三人合作时怎样分配赢利？第67页（2）协商解）协商解11将剩下赢利将剩下赢利 平均分配平均分配 模模型型以以n-1方合作赢利为下限方合作赢利为下限求解求解 xi 下限下限第68页（3）Nash解解 为现实状况点（谈判时威慑点）为现实状况点（谈判时威慑点）在此基础上在此基础上“均匀地均匀地”分配全体合作赢利分配全体合作赢利B模模型型平均分配赢利平均分配赢利B3）Nash解解 2）协商解）协商解第69页（4）最小距离解）最小距离解模模型型 第第i 方边际效益方边际效益若令若令4）最小距离解）最小距离解 2）协商解）协商解第70页（5）满意解）满意解di现实状况点现实状况点(最最低点低点)ei理想点理想点(最高点最高点)模模型型5）基于满意度解）基于满意度解 2）协商解）协商解第71页（6）Raiffi 解解与协商解与协商解x=(5,4,2)比较比较第72页求解合作对策求解合作对策6种方法（可分为三类）种方法（可分为三类）Shapley合作对策合作对策A类类B类类协商解协商解Nash解解 最小距离解最小距离解满意解满意解di现实状况现实状况,ei理想理想B类类4种方法相同种方法相同第73页例：有一资方例：有一资方(甲甲)和二劳方和二劳方(乙乙,丙丙),仅当资方与最仅当资方与最少一劳方合作时才赢利少一劳方合作时才赢利10元，应怎样分配该赢利？元，应怎样分配该赢利？Raiffi解解C类类第74页B类：计算简单，便于了解，可用于各方实力类：计算简单，便于了解，可用于各方实力 相差不大情况；普通来说它偏袒强者。相差不大情况；普通来说它偏袒强者。C类：考虑了分配上下限，又吸收了类：考虑了分配上下限，又吸收了Shapley 思想，在一定程度上保护弱者。思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策三类方法小结求解合作对策三类方法小结第75页