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高中数学基础知识完全手册 (一)(集合与简易逻辑)
一、内容提要
1.本章主要内容是集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础，在学习函数及其它后续内容时，将得到充分的运用.
2. 集合的初步知识包括集合的有关概念、简章集合的表示及集合同集合之间的关系.
（1）集合的基本概念
①集合的元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A.
不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．
②按集合所含元素的个数分类，集合可分为 .
③集合的元素具有 性、 性、 性.
④集合常用的表示方法： 、 、 .
⑤常见数集：R表示 ；N表示 ；Q表示 ；Z表示 .
（2）集合与集合的关系
①对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作 ，这时也说是集合A是集合B的子集．
对于两个集合A与B，如果A B，且B A，那么A B．
②补集：如果AS，那么A在S中的补集CsA= .
全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示．
③交集：AB = .并集：AB = .
（3）不等式的解法
①含绝对值的不等式
的解集是 . 的解集是 .
②一元二次不等式
一元二次不等式的解集如下表．

判别式
△=b2-4ac
△ > O
△ = O
△ < 0
二次函数

()的图象
X
Y
O

X
Y
O

X
Y
O

判别式
△=b2-4ac
△ > O
△ = O
△ < 0
一元二次方程
()的根

有两相异实根

有两相等实根

没有实根

()的解集

()的解集

3.简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命
题及充要条件．
(1)逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．
简单命题：不含逻辑联结词的命题．
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．
(2)一个命题与它的 命题是等价的．
(3)如果已知，那么我们说，是的 条件，是的 条件． 如果已知 ，那么我们说，是的充要条件．
二、学习过程中需要注意的问题
(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似．但是，应该清楚，集合中的元素具有确定性、互异性．确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，像美丽的花，比较小的数等，都不能组成一个集合．互异性是指在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素．此外，集合中的元素还具有无序性，例如：
｛1，2，3｝=｛3，2，1｝．
(2)容易混淆的符号
①∈与的区别：∈符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1∈N，-1 N等；符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有NR,ZR等．
②a与｛a｝的区别：一般地，a表示一个元素，而｛a｝表示只有一个元素的集合，例如，有l∈{1，2，3}，0∈{0}，{1}{1，2，3}等，不能写成0 ={0}，{1}∈{1，2，3}，l{l，2，3}．
(3)认真读懂本章复习小结中的参考例题.

高中数学基础知识完全手册(二)(函数)
一、内容提要
这一章主要内容是函数、指数与指数函数、对数与对数函数.
1．以为自变量的函数是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的数集，对于A中的每一个，B中都有唯一确定的y和它对应.自变量取值的集合A就是函数的定义域，和对应的y的值就是函数值，函数值的集合C就是函数的值域(C B).
给定两个集合，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应就是集合A到集合B的 ，表示为：AB．函数是非空数集到非空数集的 ．
2.设函数(∈A)的值域为C，根据函数中、y的关系，用y表示出，得到，如果对于在C中的任何一个值y，通过，在A中都有唯一确定的值和它对应，那么表示y是自变量，是自变量y的函数，记作.把字母，y对调以后得到函数，就是函数的反函数．
若有反函数，则是 的反函数．
反函数的定义域、值域分别是函数的 、 .
函数和它的反函数的图象 对称．
3.在定义域I内某个区间，如果对于自变量的任意两个值，都有，那么函数在这个区间是 ；如果对于任意的两个值且，都有 ，那么函数在这个区间是减函数；如果函数在这个区间是增函数(或减函数)，就说函数在这个区间具有(严格的) ．
4．如果 ，那么叫做的次方根.在此基础上，我们规定了分数指数幂的意义：
若 则：
； .
如果,那么叫做以为底的对数,记作 .
指数式与对数式的关系是
,
两个式子表示的三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．

指数运算性质和对数运算性质
指数运算性质
对数运算性质
.
.
.

.
.
.
. .

5．指数函数和对数函数
指数函数
对数函数

图

象

X
Y
O

Y

X
O

性

质

(1)定义域： .
(2)值 域： .
(3)过定点： .
即当 时,.
(4)当a>l时，
在R上是 ；
当O<a<l时，
在R上是 ．
((4)小问题填增函数或减函数)
(1)定义域： .
(2)值 域： .
(3)过定点： .
即当1时，0
(4)当a>1时，
在(0，+∞)上是 ；
当O<a<l时，
在(O，+∞)上是 ．
((4)小问题填增函数或减函数)

二、学习过程中需要注意的问题
(1)在构成函数的“定义域”、“值域”以及“定义域到值域的对应关系”这三者中，最重要的是对应关系；函数符号中，即表示对应关系．这个符号不表示“y等于与的乘积”，也不一定是解析式．
(2)映射的定义涉及两个集合A，B，它们可以是数集，也可以是点集或其它的集合；这两个集合有先后次序，从A到B的影射与从B到A的映射是不同的；在映射之下，集合A中的任何一个元素在B中都有象，并且象是唯一的，否则，不能构成映射．例如，设A={0，1，2}，B={0，1，1/2}，对应关系“”是“取倒数”，这时由于集合A中的元素0，在集合B中无象，所以集合A、B与对应关系不能构成映射．
(3)函数的单调性反映函数值变化趋势．有些函数它在整个定义域内是增函数或减函数，例如函数，当 时,它在定义域内是增函数；当 时,它在定义域内是减函数.有些函数在定义域内某个区间上是减函数，而在另一些区间上是增函数．例如函数在[O，+∞)上是　　　　，在(一∞，0]上是　　　　．
(4)对于任意一个函数来说，不一定有反函数．如果函数有反函数，那么原来函数也是其反函数的反函数，即它们互为反函数．
一般地，求函数的反函数时，要分两个步骤进行．第一步根据关系，用表示出，即把函数的解析式看作方程解出，得到关系式；第二步将，互换，得到.函数与它的反函数在同一直角坐标系中的图象关于直线　　　　对称．
(5)指数幂当指数扩大到有理数时,要注意底数口的变化范围.如当0时,底数；当为负整数指数时，底数≠0；当为分数时，底数>0．
在掌握指数函数的图象和性质时，要对底数分两种情况讨论，即分为 与 两种情况．
(6)在对数式中要注意底数>0，且≠1，真数N >O等条件，这些条件在解题或变形中常常用到．
对数函数与指数函数互为反函数，所以它们的定义域和值域正好互换，它们的对应关系是互逆的．掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，要结合它们的图象理解和记忆．
(7)认真读懂本章复习小结中的参考例题.

高中数学基础知识完全手册(三)(数列)
一、内容提要
1．本章的主要内容是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前项和的公式．
2．按照一定的次序排列的一列数叫做数列．实际上，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，})的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．
3．等差数列与等比数列是两种简单、常用的数列．等差数列的特点是从第二项起任一项与其前一项的差相等，等比数列的特点是从 项起任一项与其 项的 相等．
4． 与 是给出一个数列的两种重要方法．
5．等差数列{}的通项公式是 .推倒思想是 .
等差数列{}的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)
6.等比数列{}的通项公式是 .推倒思想是 .
等比数列{}的通项公式的一般式是 .(即广义的通项公式)
7. 等差数列{}中,若,则满足的关系式是:
.
等比数列{}中,若,则满足的关系式是:
.
8．等差数列{}的前项和公式是 .或 .
求和思想方法是 .

等比数列{}的前项和公式是= 或=
.
求和思想方法是 .

9．数列{}中,第项与前项的和之间的关系式是=
.
10．常用的求和方法有:①倒序相加求和、②错位相减求和、③分组求和、④裂项求和.
写出下列数列对应的求和方法：（填序号）
（I）等差数列 .（II）等比数列 .(III) 数列{} .（其中{}是等差数列，{}等比数列，）.（IV）数列{} .（其中{}是等差数列）
二、学习过程中需要注意的问题
(1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地去认识数列的性质．
(2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系.
(3)等比数列{}的前项和公式是一个分段函数,公比为字母时要讨论公比等于1和不等于1两种情况.
高中数学基础知识完全手册(四)(三角函数)
一、内容提要
1．本章的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角等．内容结构如下图所示：

弧长与扇形
面积公式
角度制与
弧度制
面积公式
任意角
的概念
面积公式
任意角的
三角函数
面积公式
三角函数的图象与性质
面积公式
已知三角函数值求角
面积公式
同角三角函数的关系式
面积公式
诱导公式
计算、化简证明恒等式扇形
面积公式
和角公式
差角公式
倍角公式

2．根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意角的概念，并学习了角的另一种单位制——弧度制．在角的概念推广后，无论采用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立起一种一 一对应的关系．采用弧度制时，弧长公式十分简单，成为:

这样的形式(其中为弧长，r为半径，为圆弧所对圆心角的弧度数)，这就使一些与弧长有关的公式(如扇形面积公式等)也得到了简化． 度.
3．在角的概念推广后，我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数．它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．由于角的集合与实数集之间可以建立一 一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数．
在六种三角函数中，正弦、余弦、正切函数尤为重要，我们还学了同一个角的正弦、余弦、正切、余切四种函数的三个基本关系式：
； ； .
它们是进行三角恒等变换的重要基础，在求值、化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到，必须熟记，并能正确运用．
有了正弦、余弦的各组诱导公式，就可以把任意角的三角函数化为锐角三角函数．在各组诱导公式中，公式二（）: ； .
和公式三(-） ； 以及初中学过的一组诱导公式(-): , 是基本的，由它们可以推出其他各组公式．
各组诱导公式如下：
； ； ；
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； ；
； ； ；
； ； ；
； ； ；
； ； ；
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 变是指 .看符号时要将视为锐角.
4．和角公式、差角公式、倍角公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，要熟练掌握．主要公式如下．
和(差)角公式：
. .
.
倍角公式：
. .
= = .
它们的内在联系及其推导线索如下：

可以认为，和角公式、是这些公式的基础．
5．利用正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象；利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象．可以看出，在长度为一个周期的闭区间上，有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为O的点)在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度要求不太高时，可找出这五个点: ,　　　,　　　,　　　, .
来画出正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数(特别是函数)的简图．
正弦、余弦、正切函数的主要性质可以列表归纳如下：
函 数
正弦函数
余弦函数
正切函数
图

象
X
Y
O

X
Y
O

X
Y
o

·
·

定义域

值 域

最 值

周期性

奇偶性

单调性

在 ( )上都是增函数
在 ( )上都是减函数
在 ( )上都是增函数
在 ( )上都是减函数

在
上都是 .
6．函数的简图还可以通过下列两种途径由的图象变化而得到：
(1)将图象上的点沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到的简图.
(2)将图象上点的横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 的图象，再沿轴向 或向 平移 个单位，得到函数 的图象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到的简图.
二、学习过程中需要注意的问题
(1)正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，其中正弦、余弦函数的周期是2，正切、余切函数的周期是.我们画正弦、正切函数的图象时，就利用了它们的周期性．在几何画图中，运用了将图形平行移动的方法，例如由诱导公式和正弦函数的图象，可以通过平行移动的方法，得出余弦函数的简图．
在本章中，还根据画图的需要，将已知图形上点的横、纵坐标进行伸长或缩短，例如，由正弦函数的图象，可以通过平行移动，将图象上点的横、纵坐标进行伸长或缩短等方法，得出函数的简图．
(2)在本章中，我们大量运用了化归思想，这是一种重要的数学思想．我们用过的化归包括以下几个方面：
一一把未知化归为已知．例如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角三角函数值．
——把特殊化归为一般．例如把正弦函数的图象逐步化归为函数简图，把已知三角函数值求角化归为求[0，2]上适合条件的角的集合等．
——等价化归．例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．
高中数学基础知识完全手册(五)(平面向量)
一、内容提要
1.本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用．
2．向量运算
(1)加法运算
加法法则 如图：

三角形法则 平行四边形法则

运算性质：
= . ( )+ = . + 0 = 0 + = .

坐标运算：
设 =()， =(,),则 = .

(2)减法运算
减法法则(如图)：

坐标运算：
设， =()， =(,)，则

= .

设A、B两点的坐标分别为(，)，(，)，则AB = .
(3)实数与向量的积
定义：，其中>0时，与 ， ||= .
当中<0时，与 ， ||= .
0= 0．

运算律
()= ,( +)= , ( )= .
坐标运算：
设 =(),则: =()= .
(4)平面向量的数量积
定义：·=||||cos且(≠O，≠0，0≤)．O·= .

cos<, >= .
运算律：
·= .()·= = .( )·= .
坐标运算：
设， =()，=(,)，则·= .
3．重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使= .
(2)两个向量平行的充要条件： 当≠0时，∥ ．
设 =()，=(,)，则∥ ．
(3)两个非零向量垂直的充要条件： ．
设 =()，=(,)，则 ．
(4)线段的定比分点坐标公式
设，，，且，则
.

中点坐标公式
.
(5)平移公式
如果点，按向量，平移至，则
.

(6)正弦定理、余弦定理
正弦定理 =2R.
余弦定理 . . .
二、学习过程中需要注意的问题
(1)这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．
(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础．
(3)向量的数量积是一个 ．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积 O；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积 0；当两个向量的夹角是90度时，它们的数量积等于 ．零向量与任何向量的数量积等于 ．
(4)通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．
(5)数量积不满足结合律，这是因为·与·的结果都是数量，所以(·)·与·(·)都没有意义，当然就不可能相等.
请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的复习巩固与整理！将各章知识条理化、系统化，建构自己的知识网络！

高中数学基础知识完全手册(六)(不等式)
一、内容提要
1．本章的主要内容是不等式的性质和不等式的证明.
2．不等式的主要性质有：
(1)a>b .
(2)a>b，b>c ．
(3)a>ba+c b+c．
(4)a>b，c>O ；a>b，c<O .
a>b>0，c>d>O． .
(5)a>b>O (n∈N，且n>1)．
(6)|a|—|b| |a+b| |a|+|b|.
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据.
3．证明不等式的主要依据有：
(1)a一b>O .
a一b<0 ．
(2)不等式的性质．
(3)几个重要的不等式：
a2≥O(a∈R)．
a2+b2≥ . (a，b∈R)．
两个正数的算术平均数 它的几何平均数．符号语言表术为 .
其中等号成立的条件是 .
(4)证明不等式的方法有多种，本章只要求掌握用比较法、分析法和综合法证明简单的不等式．
4．本章还介绍了一些简单的不等式的解法．
(1)二次不等式、高次不等式常用的求解方法是 .
(2)分式不等式、指对不等式求解方法都是根据 原理,将其化为一次和二次不等式(或不等式组)来求解.
(3)含绝对值的不等式的求解方法是 或 .
二、学习要求和需要注意的问题
2．学习过程中需要注意的问题
(1)学习本章内容时，应注意联系以前学过的一元一次不等式、一元二次不等式、方程、函数等内容，以便对不等式知识有较完整的认识．
(2)本章对于证明不等式讲了三种方法，即比较法、综合法和分析法．
在证明不等式的各种方法中，比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．
分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的充分条件，直至得出一个真命题为止．
综合法是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立．
我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程．这是解决数学问题的一种重要思想方法．
(3)对于公式a2+b2≥2ab和≥，应注意以下两点．
一是它们成立的条件不同．前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．
二是它们都带有等号，因此，对两个定理中“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚．
当a=b时，a2+b2≥2ab取等号，其含义是:
a=b=> a2+b2=2ab；
仅当a=b时，a2+b2≥2ab取等号，其含义是:
a2+b2=2ab =>a=b ．
综合起来，其含义就是:
a=b <=> a2+b2=2ab，
即a=b是a2+b2=2ab的充要条件．

请同学们务必要重视基础知识和基本思想方法的复习巩固与整理！将各章知识条理化、系统化，建构自己的知识网络！

高中数学基础知识完全手册(七)( 直线和圆的方程)
一、内容提要
本章主要内容包括直线和圆的方程、曲线与方程的概念、用二元一次不等式表示平面区域以及简单的线性规划问题．
1．直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在 、 、 和确定 等问题中起着关键作用．
斜率的定义式是 . 斜率的坐标计算公式是 .
若两直线的斜率存在，则//的充要条件是 .
^的充要条件是 .
直线的斜率存在为、,则的夹角的正切为 .
2．本章介绍了直线方程的 、 、 、 四种特殊形式；也研究了直线方程的一般式，这就是二元一次方程．在平面直角坐标系中，每一个二元一次方程都表示一条直线；反过来，表示一条直线的方程都可以写成二元一次方程．在直线方程的五种形式中， 和 是结论中常用的两种形式.
直线方程的五种形式用数学符号语言表述为：
、 、 、 、 .
若直线与直线Ax+By+C=0平行，则直线的方程可表示为 .
若直线与直线Ax+By+C=0垂直，则直线的方程可表示为 .
点P(x0,y0)到Ax+By+C=0的距离d= .
3．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域．常用的判断方法是将 的坐标代入不等式Ax+By+C>0，若Ax+By+C>0成立则表示该点所在一侧的平面区域；若Ax+By+C>0不成立，则表示该点所在区域另一侧的平面区域.
简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值的问题．一些实际问题可以借助这种方法加以解决．
求解简单的线性规划问题的基本步骤是：
① ，② ，③ ，并下结论
4．曲线和方程的关系，反映了现实世界空间形式和数量关系之间的某种联系．我们把曲线看作适合某种条件P的点M的集合:
P={M|P(M)}．
在建立坐标系后，点集P中任一个元素M都有一个有序实数对(x，y)和它对应，(x，y)是某个二元方程f(z，y)=0的解，也就是说，它是解集:
Q={(x，y)|f(x，y)=0)
中的一个元素．反过来，对于解集Q中任一元素(x，y)，都有一点M与它对应，且点M是点集P中的一个元素．P和Q的这种对应关系就是曲线和方程的关系．
5．本章介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程．圆心为(a，b)、半径为r的圆的标准方程为:
.

参数方程为: ( )
.
圆的一般方程为： (其中 )
圆的一般方程是关于x、y的二元二次方程，但并非所有的二元二次方程都表示圆，一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+f=0表示圆的出充要条件是：

.
.
.
圆的标准方程明确地指出了圆心和半径；圆的一般方程突出了方程形式上的特点，它没有xy项，并且x2、y2项的系数相等；
圆的参数方程则直接指出了圆上点的横、纵坐标x、y的特点．
6.直线与圆的位置关系分有 、