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等差数列的前n项和教学案例
高平二中 公素玲
【案例背景】
数列是高中数学的主干知识，尤其等差数列与等比数列是数列是的两个最基本模型，是高考的内容之一。本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．学生已掌握等差数列的定义、性质及通项公式，在此基础上研究其求和公式，并利用它解决数列求和问题。等差数列求和公式的推导，是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法通过对等差数列求和的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．
【案例描述】
本节内容共二课时，本节案例是第一课时，在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过学生讨论交流和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．
（一）三维目标
1. 掌握等差数列前n项和公式的推导过程及应用，会利用前n项和公式和通项公式研究Sn的最值；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想；
3．培养学生观察、归纳、反思的能力，再次感受数学来源于生活。
（二）教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题；难点是对等差数列前n项和公式的理解及灵活应用．
（三）教学方式
提出问题，引导学生展开自主、合作、探究学习。
（四）教学手段
采用计算机多媒体技术，增大教学容量与直观性。
（五）教学过程设计
（1）创设情景
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
（多媒体展示三角形图案）
[设计意图]从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．
（2）由易到难，在自主探究与合作中学习
问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并派代表将小组方法一一呈现．
[学情预设] 学生可能出现以下求法
方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51
方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51
[设计意图] 这是求奇数个项和的问题，方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．借此渗透化归思想．
问题2：求图案中从第1层到第n层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？
启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．
[设计意图] 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 　2 + 　3 +…（n－1） + n
n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)
∴1+2+3+…+n=
问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n－1)d]
Sn=an + (an－d) +（an－2d）+…+[an－(n－1)d]
∴
(公式1)
组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式?
即：（公式2）
（3）通过典例，促进学生对公式的应用
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．
例1 为了参加冬季运动会的3000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图] 该例题可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．
例2 已知等差数列5，4 ，3 ，…
求(1)数列｛an｝的通项公式；
(2)数列｛an｝的前n项和为？
(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
[设计意图] 通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．
[知识链接]（1）由若令可知当时，点是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决的最值问题；
（2）若数列的前n项和（），则数列一定是等差数列；
（3）在等差数列中，当时，最大，当时，最小。
（4）巩固练习，及时反馈
练习1 已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2 等差数列｛an｝中，a1= － 4， a8= －18， n=8，求公差d及前n项和Sn.
[设计意图] 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到实践，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦．
（5）回顾反思，深化知识
1.从特殊到一般的研究方法；
2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
3. 前n项和公式的函数意义
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；
（6）布置作业
[板书设计]
等差数列前N项和
1、公式的推导
倒序相加法
2、前N项和公式
，
3、公式的应用
例1、例2
4、巩固练习
1和2

【案例反思】
1、 从三维目标看：
按照课程目标制定，制定的合理准确，符合学生的实际。在整个教学中，重、难点设计准确、本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．
 2、知识的呈现方式上：
   为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，创设良好学习情境，搭设合理认知台阶，运用多媒体展示，通过师生互动、学生互动，最后得出结论，体现了以学生发展为本的教学理念，凸显了学生的主体位置。
 3、教学方式的转化：
    有效的运用了多媒体与数学教学的整合，使问题具有直观性，教师角色定位准确，体现了双主方针。例如：课上学生能说明的，学生能做的，都由学生完成，教师不包办代替。 调动了学生学习积极性，注重了数学思维的严谨性，能够很好的倾听学生的发言，充分体现课堂民主、和谐的关系。
 4、不足：
    应该领会好教材中各部分内容的处理意图，详略得当，高中阶段要了解的而不需深入学习的内容不要挖得过多，否则会适得其反。教学模式的落实上存在不足，把教学的环节过程作为模式；课堂上的提问存在不足，部分缺乏目的性，不能很好的给学生思维得空间.

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