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等差数列的前n项和教学案例高平二中 公素玲【案例背景】数列是高中数学的主干知识，尤其等差数列与等比数列是数列是的两个最基本模型，是高考的内容之一。本节课教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学（5）（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）学生已掌握等差数列的定义、性质及通项公式，在此基础上研究其求和公式，并利用它解决数列求和问题。等差数列求和公式的推导，是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法通过对等差数列求和的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法【案例描述】本节内容共二课时，本节案例是第一课时，在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过学生讨论交流和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习（一）三维目标1. 掌握等差数列前n项和公式的推导过程及应用，会利用前n项和公式和通项公式研究Sn的最值；2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想；3培养学生观察、归纳、反思的能力，再次感受数学来源于生活。（二）教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题；难点是对等差数列前n项和公式的理解及灵活应用（三）教学方式提出问题，引导学生展开自主、合作、探究学习。（四）教学手段采用计算机多媒体技术，增大教学容量与直观性。（五）教学过程设计（1）创设情景世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？（多媒体展示三角形图案） 设计意图从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫（2）由易到难，在自主探究与合作中学习问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并派代表将小组方法一一呈现学情预设 学生可能出现以下求法方法1：原式（12350）51方法2：原式0125051设计意图 这是求奇数个项和的问题，方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬借此渗透化归思想问题2：求图案中从第1层到第n层（1n 100，nN*）共有多少颗宝石？启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形设计意图 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2 + 3 +（n1） + n n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)1+2+3+n=问题3： 在公差为d的等差数列an中，定义前n项和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d (公式1)组织学生讨论：在公式1中若将an=a1+（n1）d代入又可得出哪个表达式?即：（公式2）（3）通过典例，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式例1 为了参加冬季运动会的3000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：3000350040004500500055006000问这个同学7天一共将跑多长的距离？设计意图 该例题可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算例2 已知等差数列5，4 ，3 ，求(1)数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为？(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。设计意图 通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础知识链接（1）由若令可知当时，点是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决的最值问题；（2）若数列的前n项和（），则数列一定是等差数列；（3）在等差数列中，当时，最大，当时，最小。（4）巩固练习，及时反馈练习1 已知等差数列an的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.练习2 等差数列an中，a1= 4， a8= 18， n=8，求公差d及前n项和Sn.设计意图 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到实践，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦（5）回顾反思，深化知识1.从特殊到一般的研究方法；2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；3. 前n项和公式的函数意义4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；（6）布置作业板书设计等差数列前N项和1、公式的推导倒序相加法2、前N项和公式，3、公式的应用例1、例24、巩固练习1和2【案例反思】1、从三维目标看： 按照课程目标制定，制定的合理准确，符合学生的实际。在整个教学中，重、难点设计准确、本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路2、知识的呈现方式上：为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，创设良好学习情境，搭设合理认知台阶，运用多媒体展示，通过师生互动、学生互动，最后得出结论，体现了以学生发展为本的教学理念，凸显了学生的主体位置。 3、教学方式的转化： 有效的运用了多媒体与数学教学的整合，使问题具有直观性，教师角色定位准确，体现了双主方针。例如：课上学生能说明的，学生能做的，都由学生完成，教师不包办代替。调动了学生学习积极性，注重了数学思维的严谨性，能够很好的倾听学生的发言，充分体现课堂民主、和谐的关系。4、不足： 应该领会好教材中各部分内容的处理意图，详略得当，高中阶段要了解的而不需深入学习的内容不要挖得过多，否则会适得其反。教学模式的落实上存在不足，把教学的环节过程作为模式；课堂上的提问存在不足，部分缺乏目的性，不能很好的给学生思维得空间.4