1、第六章 一元微积分应用本章学习要求：熟练掌握求函数极值、最大最小值、判断函数单调性、判断函数凸凹性以及求函数拐点方法。能利用函数单调性、凸凹性证实不等式。掌握建立与导数和微分相关数学模型方法。能熟练求解相关改变率和最大、最小值应用问题。知道平面曲线弧微分、曲率和曲率半径概念，并能计算平面曲线弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分相关数学模型方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练利用定积分表示和计算一些几何量与物理量：平面图形面积、旋转曲面侧面积、平行截面面积为已知几何体体积、平面曲线弧长、变力作功、液体压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第1页一、幂级数解析运算三、函数展开为幂级
2、数第六章 一元微积分应用第四节 函数展开为幂级数二、泰勒级数请点击请点击第2页一、一、幂级数解析运算幂级数解析运算124请点击请点击3第3页 幂级数解析运算幂级数解析运算1幂级数在其收敛区间内含有内闭一致收敛性.该性质证实与阿贝尔定理证实类似.将函数项级数与结构一个常数项级数进行比较即可.该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯.请点击第4页 幂级数解析运算幂级数解析运算2幂级数和函数在其收敛区间内是连续在收敛区间端点处是指和函数左、右连续性.第9页 幂级数解析运算幂级数解析运算3幂级数在其收敛区间内含有逐项可积性在幂级数收敛区间内,其和函数连续,故幂级数和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数
3、也在其收敛区间内可积.逐项积分得到新幂级数与原幂级数含有相同收敛半径,但端点处敛散性可能改变.第10页首项为 x,公比为 x.例1解第11页 符合积分要求了分析例2第12页 等比级数例2解第13页 幂级数解析运算幂级数解析运算4幂级数在其收敛区间内含有逐项可导性逐项求导得到新幂级数与原幂级数含有相同收敛半径,但要注意：因为常数导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标起始值.第14页例3解由幂级数在其收敛区间内逐项可导性,得第15页第16页 请自己完成例4分析第17页在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新幂级数,且它与原幂级数含有相同收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项
4、积分.就是说,在收敛区间内幂级数和函数具有任意阶导数及任意次可积性.幂级数性质多好啊！第18页 怎样将函数表示为幂级数?怎么做怎么做？第19页二、泰勒二、泰勒级数级数第20页 将函数展开为幂级数得问题是否就是将函数展开为泰勒级数问题?第21页一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它和函数:任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数形式呢?即是否有工程需要泰勒公式问题第22页回想泰勒中值定理构建过程第23页按照上面方法不停地做下去,是否有下面结论:等号成立吗？该级数收敛吗？即算级数收敛,其和函数等于 f(x)吗？第24页定理第25页证证由定理条件可知,且其和函数于是有第26页由数学归纳法
5、,得该定理说明,幂级数和函数,则该幂级数一定是以下形式:第27页 定理和定义给我们提供了什么信息?定义定义定义定义第28页定理和定义告诉我们：处有任意阶导数,则它就有一个对应泰勒级数存在.但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于就是说,函数与它泰勒级数间划等号是条件.内可表示为幂级数形式,则该幂级数一定是函数 f(x)泰勒级数.第29页问问问问 题题题题第30页回想泰勒中值定理构建过程由级数部分和及收敛性质看出一点什么没有?第31页定理定理第32页证 余下工作由学生自己完成.第33页第34页推推 论论第35页证（提醒）自己做!第36页马克劳林级数第37页就可写出它泰勒级数.但它泰
6、勒级数不一定收敛,只有当拉格朗日余项时,泰勒级数才收敛于一个函数假如能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它泰勒级数,且这种展开是唯一.即使收敛,其和函数第38页三、函数展开为三、函数展开为幂级数幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法第39页该方法是先求出函数写出它泰勒级数,然后,判断泰勒公式中拉格朗日余项是否满足确定级数收敛区间.直接展开法直接展开法第40页例4解解第41页第42页例5解解第43页第44页从一些已知函数泰勒展开式出发,利用幂级数四则运算和解析运算性质,以及进行适当变量代换来求出另外一些函数泰勒公式方法,称为间接展开法.间接展开法间接展开法第45页例6解解第46页第47页利用变量代换例7解解第48页等比级数和例8解解第49页
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