瞬时速与导数李红云分解学习教案.ppt

会计学1瞬时速与导数瞬时速与导数(do sh)李红云分解李红云分解第一页，共53页。复习复习(fx)：当当x0时，时，称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x的平均的平均变化率。变化率。当当x0时，怎样时，怎样(znyng)求函数求函数y=f(x)在区在区间间x0，x0+x的平均变化率。的平均变化率。第1页/共52页第二页，共53页。上图是一张运动员高台跳水的图片，运动员起跳后相对于水面的高度(god)h与时间t的函数关系为 ，由这个函数关系，我们就能求出在任何一段时间内的平均速度，回忆求平均速度的计算公式。第2页/共52页第三页，共53页。平均速度公式：平均速度公式：由上面的公式，我们可以计算由上面的公式，我们可以计算(j sun)任何时间段内的平均任何时间段内的平均速度。速度。第3页/共52页第四页，共53页。hto 探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像的图像(t xin)，结合图形可知，经过计算，结合图形可知，经过计算 ，所以，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员的运动状态的运动状态第4页/共52页第五页，共53页。回顾所学物理知识：既然平均速度不能回顾所学物理知识：既然平均速度不能精确的描述运动员的运动状态，为了更精确的描述运动员的运动状态，为了更加加(gnji)精确的刻画运动员在某一时精确的刻画运动员在某一时刻的运动状态，我们可以考察什么物理刻的运动状态，我们可以考察什么物理量？量？思考思考(sko)运动员在某一时刻的速度运动员在某一时刻的速度(sd)，即物理，即物理中的瞬时速度中的瞬时速度(sd)。第5页/共52页第六页，共53页。3.1.2瞬时速度(shn sh s d)与导数第6页/共52页第七页，共53页。二新课讲授二新课讲授(jingshu)1瞬时速度瞬时速度 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为速度称为(chn wi)瞬时速度。运动员的瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度。的瞬时速度。第7页/共52页第八页，共53页。1.9，21.99，21.999，21.9999，21.99999，21.999999，22，2.12，2.012，2.0012，2.00012，2.000012，2.000001第8页/共52页第九页，共53页。第9页/共52页第十页，共53页。第10页/共52页第十一页，共53页。1.9，21.99，21.999，21.9999，21.99999，21.999999，2-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001-0.0000012，2.12，2.012，2.0012，2.00012，2.000012，2.0000010.10.010.0010.00010.000010.000001?通过表格中的数据通过表格中的数据(shj)观察，当观察，当t趋于趋于0时，平均速度有什么样的变化趋势？时，平均速度有什么样的变化趋势？第11页/共52页第十二页，共53页。那么在那么在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度时的瞬时速度(shn sh(shn sh s d)s d)怎么求？怎么求？第12页/共52页第十三页，共53页。那么在那么在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度时的瞬时速度(shn sh s(shn sh s d)d)怎么求？怎么求？第13页/共52页第十四页，共53页。第14页/共52页第十五页，共53页。逼近逼近(bjn)思思想想或或瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)的两种记法：的两种记法：思想思想(sxing)方方法：逼近思法：逼近思想想(sxing)第15页/共52页第十六页，共53页。推广到一般的函数推广到一般的函数(hnsh)关系：关系：瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)的两种记的两种记法：法：第16页/共52页第十七页，共53页。第17页/共52页第十八页，共53页。二、导数二、导数(do sh)的概念的概念通常称为函数在处的导数，记作函数函数 在在 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 或 即即第18页/共52页第十九页，共53页。第19页/共52页第二十页，共53页。精讲点拨精讲点拨(din bo)第20页/共52页第二十一页，共53页。第21页/共52页第二十二页，共53页。求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处的导数处的导数(do sh)(do sh)的基本步骤是的基本步骤是:注意注意:这里的增量不是这里的增量不是(b shi)(b shi)一般意义上的增量一般意义上的增量,它可正也它可正也可负可负.自变量的增量自变量的增量xx的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论xx选择哪种选择哪种形式形式,y,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.方法方法(fngf)总结：总结：第22页/共52页第二十三页，共53页。例例2火箭竖直向上发射火箭竖直向上发射(fsh)，熄火时向上的，熄火时向上的速度达到速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为的速度为0？(g=9.8)解：火箭的运动解：火箭的运动(yndng)方程为方程为h(t)=100t gt2，在在t附近附近(fjn)的平均变化率为的平均变化率为=100gt gt 试用数学和物理两种方法来解试用数学和物理两种方法来解第23页/共52页第二十四页，共53页。当当t0时，上式趋近于时，上式趋近于100gt。可见可见(kjin)t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度h(t)=100gt。令令h(t)=100gt=0，解得，解得 所以所以(suy)火箭熄火后约火箭熄火后约10.2s向上的速度向上的速度变为变为0.第24页/共52页第二十五页，共53页。例例2.2.求求y=x2y=x2在点在点x=1x=1处的导数处的导数(do(do sh)sh)解：解：试一试：试一试：第25页/共52页第二十六页，共53页。求函数求函数y=x2+2在点在点x=3处的导数处的导数(do sh)。解：因为解：因为(yn wi)y=(3+x)232=6x+(x)2.所以所以(suy)=6+x，所以函数所以函数y=x2在点在点x=3处的导数为处的导数为6.跟踪练习跟踪练习2.第26页/共52页第二十七页，共53页。如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内每一点内每一点x都是都是可导的，则称可导的，则称f(x)在区间在区间(a，b)可导。这样可导。这样(zhyng)，对开区间，对开区间(a，b)内每个值内每个值x，都对，都对应一个确定的导数应一个确定的导数f(x)。于是，在区间。于是，在区间(a，b)内，内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数称为函数y=f(x)的导函数，记为的导函数，记为f(x)或或y(或或 )。三：导函数(hnsh)的概念第27页/共52页第二十八页，共53页。(1)求函数求函数y=x2+2在点在点x=3处的导数处的导数(do sh)。解：因为解：因为(yn wi)y=(3+x)232=6x+(x)2.所以所以(suy)=6+x，所以函数所以函数y=x2在点在点x=3处的导数为处的导数为6.思考：导函数和导数的区别是什么？导函数是一个函数，导数是一个数值(2)求函数求函数y=x2+2的导数。的导数。导函数通常简称为导数讨论第28页/共52页第二十九页，共53页。回顾总结回顾总结2.导数(do sh)的概念及其内涵 1.瞬时(shn sh)变化率的求法5.思想(sxing)方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从 特殊到一般。3.导数的计算公式：=4.求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”第29页/共52页第三十页，共53页。当堂检测：当堂检测：1.已知函数已知函数，下列说法错误的是下列说法错误的是（）A.叫函数增量叫函数增量B.叫函数在叫函数在 上的平均变化率上的平均变化率C.在点在点处的导数记为处的导数记为D.在点在点处的导数记为处的导数记为3.若质点(zhdin)A按规律 运动运动(yndng)(yndng)，则在，则在秒的瞬时速度秒的瞬时速度(shn sh(shn sh s d)s d)为（为（）A.6 B.12 C.54 D.81CB2.设函数设函数可导可导，则则=（）A.B.C.不存在 D.以上都不对B第30页/共52页第三十一页，共53页。课后作业课后作业(zuy)(zuy)请同学请同学(tng xu)们们课后复习巩固本节课后复习巩固本节所学内容并完成本所学内容并完成本节的课后案。节的课后案。第31页/共52页第三十二页，共53页。1.求求在点在点x=1处的导数处的导数.2.2.求函数求函数在在附近的平均变化率，附近的平均变化率，并求出在该点处的导数并求出在该点处的导数答案答案(d n)：（：（1）2 （2）3第32页/共52页第三十三页，共53页。注意注意(zh y)（2）由导数）由导数(do sh)的定义可知的定义可知,求函数求函数 y=f(x)在在x=x0的导数的导数(do sh)的的 一般方法一般方法:1.求平均求平均(pngjn)变变化率化率 2.求极限值求极限值第33页/共52页第三十四页，共53页。上图是一张运动员高台跳水的图片，运动员起跳后相对于水面的高度h与时间t的函数关系为 ，由这个函数关系，我们就能求出在任何(rnh)一段时间内的平均速度，回忆求平均速度的计算公式。一一第34页/共52页第三十五页，共53页。hto 探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图的图像，结合图形可知，经过形可知，经过(jnggu)计算计算 ，所以，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员非静止，因此用平均速度不能精确描述运动员的运动状态的运动状态第35页/共52页第三十六页，共53页。回顾所学物理回顾所学物理(wl)知识：既然平均速知识：既然平均速度不能精确的描述运动员的运动状态，度不能精确的描述运动员的运动状态，为了更加精确的刻画运动员在某一时刻为了更加精确的刻画运动员在某一时刻的运动状态，我们可以考察什么物理的运动状态，我们可以考察什么物理(wl)量？量？思考思考(sko)运动员在某一时刻运动员在某一时刻(shk)的速度，即物理中的的速度，即物理中的瞬时速度。瞬时速度。第36页/共52页第三十七页，共53页。二新课讲授二新课讲授(jingshu)1瞬时速度瞬时速度 在高台跳水运动中，运动员在不同在高台跳水运动中，运动员在不同(b tn)时刻的速度是不同时刻的速度是不同(b tn)的。我们把物体在某的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度。一定能反映他（她）在某一时刻的瞬时速度。第37页/共52页第三十八页，共53页。那么那么(n me)(n me)在在t=1t=1或或t=3t=3时的瞬时速度怎么求时的瞬时速度怎么求？第38页/共52页第三十九页，共53页。小结小结(xioji)(xioji)：由定义知，：由定义知，求求f(x)f(x)在在x0 x0处的导数步骤为：处的导数步骤为：第39页/共52页第四十页，共53页。第40页/共52页第四十一页，共53页。例例2.物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其其中位移单位是中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.分析分析:第41页/共52页第四十二页，共53页。解解:(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:(2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:第42页/共52页第四十三页，共53页。跟踪练习跟踪练习:(1)火箭竖直向上发射熄火火箭竖直向上发射熄火(x hu)时向上速度达到时向上速度达到100m/s，试问熄火，试问熄火(x hu)后多长时间火箭向上速度为后多长时间火箭向上速度为0？(2)质量为质量为10kg的物体，按照的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做的规律做直线运动直线运动(yndng)，求运动，求运动(yndng)开始后开始后s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；第43页/共52页第四十四页，共53页。课后思考课后思考(sko)从函数的图象上看，平均变化率：表示(biosh)曲线y=f(x)的一条割线的斜率。那么导数即瞬时变化率那么导数即瞬时变化率 表示什么呢？请课后思考表示什么呢？请课后思考.y=f(x)f(x0+)-f(x0)x0 x0+xyf(x0+)f(x0)o第44页/共52页第四十五页，共53页。一、如何求运动物体一、如何求运动物体(wt)在某时刻的瞬时速度在某时刻的瞬时速度？第45页/共52页第四十六页，共53页。推广到一般的函数推广到一般的函数(hnsh)关系：关系：函数函数 在在 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 通常称为函数在处的导数，记作或 或或第46页/共52页第四十七页，共53页。早在十七世纪，欧洲资本主义早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速力，促进了科学技术的快速(kui s)(kui s)发展，其中突出的成发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕就就是数学研究中取得了丰硕的成果的成果微积分的产生。微积分的产生。新课引入新课引入新课引入新课引入微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何(ji x jh)的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。第47页/共52页第四十八页，共53页。来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常(chngchng)(chngchng)遇遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。学习微分是解决上述学习微分是解决上述(shngsh)问题的有问题的有力工具。力工具。问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积柱形罐的容积V V一定时，如何选取一定时，如何选取(xunq)(xunq)圆柱的圆柱的底半径，能使所用材料最省？底半径，能使所用材料最省？食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等，不食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等，不少都使用圆柱形金属罐。当圆柱形罐的容少都使用圆柱形金属罐。当圆柱形罐的容积相同时，由于形状不同，它们的表面积积相同时，由于形状不同，它们的表面积就不同，所用材料的数量也就不同。就不同，所用材料的数量也就不同。新课引入新课引入新课引入新课引入名词解释：名词解释：微分学，包括求导数的运算微分学，包括求导数的运算,是一套关于变化率是一套关于变化率的理论的理论.它使得函数它使得函数,速度速度,加速度和曲线的斜率等均可加速度和曲线的斜率等均可在一个在一个通用的符号化基础上进行讨论通用的符号化基础上进行讨论.第48页/共52页第四十九页，共53页。由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处的导数的基本处的导数的基本(jbn)(jbn)方法是方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量自变量的增量的增量xx的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论xx选择哪种形式选择哪种形式,y,y也必须也必须(bx)(bx)选择与之相对应的形式选择与之相对应的形式.新课教学新课教学新课教学新课教学(jio xu)(jio xu)第49页/共52页第五十页，共53页。由导数的意义由导数的意义(yy)(yy)可知可知,求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处的导数的基处的导数的基本方法是本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增自变量的增量量xx的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论xx选择选择(xunz)(xunz)哪种形式哪种形式,y,y也必须也必须选择选择(xunz)(xunz)与之相对应的形式与之相对应的形式.新课教学新课教学新课教学新课教学(jio(jio xu)xu)第50页/共52页第五十一页，共53页。当堂检测：当堂检测：1.已知函数已知函数，下列说法错误的是下列说法错误的是（）A.叫函数增量叫函数增量B.叫函数在叫函数在 上的平均变化率上的平均变化率C.在点在点处的导数记为处的导数记为D.在点在点处的导数记为处的导数记为2.若质点(zhdin)A按规律运动运动(yndng)(yndng)，则在，则在秒的瞬时速度秒的瞬时速度(shn sh(shn sh s d)s d)为（为（）A.6 B.12 C.54 D.813.设函数设函数可导可导，则则=（）A.B.C.不存在 D.以上都不对4.已知已知y=x3-2-2，当，当x=2x=2时时，=，.CBB12第51页/共52页第五十二页，共53页。内容(nirng)总结会计学。思想方法：逼近思想。可见(kjin)t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。例2.求y=x2在点x=1处的导数。所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.。(1)求函数y=x2+2在点x=3处的导数。(2)求函数y=x2+2的导数。(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度。跟踪练习:(1)火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到。食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等，不少都使用圆柱形金属罐。12第五十三页，共53页。