2.5等比数列前n项和公式的推导省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

2.52.5等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式 细节决定成败细节决定成败 态度决定一切态度决定一切第1页复习等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项公式公式性质性质Sn第2页预备知识：预备知识：v Sn=a1+a2+anv Sn-1=a1+a2+an-1(n 2)v an=Sn Sn-1(n 2)你能得出吗你能得出吗?第3页第4页问题：怎样来求麦子总量？问题：怎样来求麦子总量？得得:2S:2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+2+26363+2+26464错位相减得：错位相减得：S S6464=2=264 64 1 1.8 10 1 1.8 101919即求：即求：1 1，2 2，2 22 2，2 26363和；和；令：令：S S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+26262+2+26363，以小麦千粒重为以小麦千粒重为4040麦子质量超出麦子质量超出70007000亿吨！亿吨！麦粒总质量达麦粒总质量达70007000亿吨亿吨国王是拿不出。国王是拿不出。第5页q,得，得由此得q1时，等比数列前n项和设等比数列它前n项和是即说明：这种求和方法称为错位相减法第6页当q1时，显然，当q=1时，第7页(q=1).(q1).等比数列前n项和表述为：第8页已知a1、n、q时已知a1、an、q时等比数列前n项和公式第9页(1)(1)等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式项和公式你了解多少？你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)Sn=1-q(q=1)(q=1)(2)(2)等比数列前等比数列前n n项和公式应用：项和公式应用：1.1.在使用公式时在使用公式时.注意注意q q取值取值是利用公式前提；是利用公式前提；.在使用公式时，要依据题意，适当选择公式。在使用公式时，要依据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导第10页例1、求以下等比数列前8项和第11页说明：.第12页1数列2n1前99项和为()A21001 B12100C2991 D1299答案：C第13页2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n值为()A4 B5C6 D7答案：C第14页3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5值为_答案：31第15页4求Snx2x23x3nxn(x0)第16页第17页(一)用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为所以所以 合比定理：合比定理：第18页Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)Sn=a1(1 q n)1 q 递推公式：递推公式：第19页答案：B第20页2在等比数列an中，公比q2，S544，则a1值为()A4 B4C2 D2答案：A第21页3在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_第22页4设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q值第23页分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)第n年产量为则n年内总产量为：第24页解：第25页第26页第27页第28页第29页第30页分析由题目可获取以下主要信息：已知等比数列前3项和前6项和，求其通项解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解第31页第32页点评在等比数列an五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本元素，在条件与结论间联络不显著时，均能够用a1与q列方程组求解第33页迁移变式2设等比数列an前n项和为Sn，若S3S62S9，求公比q值第34页第35页第36页第37页点评在求含有参数等比数列前n项和时，轻易忽略对a1和q1讨论，从而丢掉一个情况第38页第39页第40页第41页如图1，一个热气球在第一分钟上升了25 m高度，在以后每一分钟里，它上升高度都是它在前一分钟里上升高度80%.这个热气球上升高度能超出125 m吗？第42页分析经过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升高度都是它在前一分钟里上升高度80%”这一“题眼”，从而结构出等比数列模型热气球在每分钟里上升高度组成一个等比数列，于是热气球上升总高度便是该等比数列前n项和，利用公式即可第43页第44页第45页迁移变式4假如某人在听到喜讯后1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以一样速度各传给未听到喜讯另2个人，假如每人只传2人，这么继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包含第一个人)小镇，所需时间为()A8 h B9 hC10 h D11 h第46页解析：设第n个小时后知道喜讯总人数为Sn，Sn12222n2n112047，n10，故选C.答案：C第47页第48页2因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不一样公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论这也是由公式适用范围引发分类讨论经典例子之一第49页第50页第51页第52页第53页第54页第55页题后感悟在等比数列an五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本元素，在条件与结论间联络不显著时，均能够用a1与q列方程组求解,第56页1.在等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.第57页第58页第59页第60页已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.第61页第62页第63页题后感悟等比数列前n项和惯用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，组成公比为qm等比数列，即等比数列前m项和与以后依次m项和组成等比数列第64页3.各项均为正数等比数列an前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16第65页解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.答案：B第66页已知等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，求这个数列公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列奇数项与偶数项分别依次组成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.解答本题关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解第67页，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.第68页第69页4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项和比偶数项和大80，求该数列公比q.第70页 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1前n项和(a0)由题目可获取以下主要信息：数列通项公式an(2n1)an1.每一项可分成两个因式，由前一个因式可组成等差数列，后一因式可组成等比数列解答本题可选取错位相减法求数列和第71页第72页题后感悟错位相减法普通来说，假如数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn前n项和就能够利用错位相减法第73页在利用错位相减法求数列和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q讨论，在前面讨论中，我们已知q是等比数列bn公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消规律(3)注意相消后式子(1q)Sn组成，以及其中成等比数列一部分和项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件假如不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查第74页第75页第76页1在利用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量第77页(3)在公比为字母参数等比数列求和时，应分q1与q1两种情况进行讨论第78页第79页第80页第81页第82页第83页第84页第85页第86页练考题、验能力、轻巧夺冠第87页