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函数模型及其函数模型及其应用用几种不同增长的函数模型第1页你知道孙子是怎样解答这个你知道孙子是怎样解答这个“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题吗？问题吗？大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这么一道题：算经中记载了这么一道题：“今有雏兔同笼，上今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句意思就是：这四句意思就是：有若干只鸡和兔，共有有若干只鸡和兔，共有35个个头，头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？只脚，那么鸡和兔各有多少只？引入引入第2页 大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这么一道题：算经中记载了这么一道题：“今有雏兔同笼，上今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”他假设砍去每只鸡和兔二分之一脚，则每只鸡他假设砍去每只鸡和兔二分之一脚，则每只鸡和兔就变成了和兔就变成了“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”.孙子大胆解法：孙子大胆解法：这么，这么，“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”脚数量与它脚数量与它们头数量之差，就是兔子数们头数量之差，就是兔子数.鸡数就是：鸡数就是：351223.即兔子数是：即兔子数是：473512；引入引入第3页 有一大群喝有一大群喝水、嬉戏兔子，水、嬉戏兔子，不过这群兔子不过这群兔子曾使澳大利亚曾使澳大利亚伤透了脑筋伤透了脑筋 1859年，有些人从欧洲带进澳洲几只兔子，因为年，有些人从欧洲带进澳洲几只兔子，因为澳洲有茂盛牧草，而且没有兔子天敌，兔子数量不停澳洲有茂盛牧草，而且没有兔子天敌，兔子数量不停增加，不到增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量到达到达75亿只亿只教科书第三章章头图：（澳大利亚兔子数教科书第三章章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”）第4页 可爱兔子变得可恶可爱兔子变得可恶起来，起来，75亿只兔子吃掉亿只兔子吃掉了相当于了相当于75亿只羊所吃亿只羊所吃牧草，草原载畜率大大牧草，草原载畜率大大降低，而牛羊是澳大利降低，而牛羊是澳大利亚主要牲畜亚主要牲畜 这使澳大利亚头痛不已，他们采取各种方法毁这使澳大利亚头痛不已，他们采取各种方法毁灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采取灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采取载载液瘤病毒液瘤病毒杀死了百分之九十野兔，澳大利亚人才算松杀死了百分之九十野兔，澳大利亚人才算松了一口气了一口气教科书第三章章头图：（澳大利亚兔子数教科书第三章章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”）第5页1.数学模型：数学模型：就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反应或近似地反应实际问题时，所得数学角度来反应或近似地反应实际问题时，所得出关于实际问题数学描述出关于实际问题数学描述.2.数学模型方法：数学模型方法：是把实际问题加以抽象概括，建立对应数学模型，是把实际问题加以抽象概括，建立对应数学模型，利用这些模型来研究实际问题普通数学方法利用这些模型来研究实际问题普通数学方法.基本概念基本概念第6页例题：例题：例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报以下：投资方案供你选择，这三种方案回报以下：方案一方案一：天天回报：天天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后天天比前一天多元，以后天天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后天天回报比前元，以后天天回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？第7页投资方案选择标准：投资方案选择标准：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1)(1)比较三种方案天天回报量比较三种方案天天回报量(2)(2)(2)(2)比较三种方案一段时间内总回报量比较三种方案一段时间内总回报量 哪个方案在某段时间内总回报量哪个方案在某段时间内总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。最多，我们就在那段时间选择该方案。第8页分析 我们能够先建立三种投资方案所对应函数模我们能够先建立三种投资方案所对应函数模型，再经过比较它们增加情况，为选择投资方案提型，再经过比较它们增加情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一方案一：天天回报：天天回报40元；元；y=40 (xN*)方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后天天比前一天多回元，以后天天比前一天多回 报报10元；元；y=10 x(xN*)方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后天天回报比前一元，以后天天回报比前一天翻一番。天翻一番。y=0.42x-1 (xN*)第9页x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增加量/元y/元元增加量/元y/元元增加量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4第10页图112-1从天天回报量来看：从天天回报量来看：第第14天，方案一最多；天，方案一最多；第第58天，方案二最多；天，方案二最多；第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有些人认为投资有些人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？画画图图第11页累积回报表累积回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论结论 投资投资16天，应选择第一个投资方案；天，应选择第一个投资方案；投资投资7天，应选择第一或二种投资方案；天，应选择第一或二种投资方案；投资投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选择第三天）以上，应选择第三种投资方案。种投资方案。第12页例题的启示处理实际问题步骤：处理实际问题步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题解数学问题解还还原原说说明明实际问题解实际问题解第13页 例例 2、某企业为了实现某企业为了实现1000万元利润目标，万元利润目标，准备制订一个激励销售部门奖励方案：在销售准备制订一个激励销售部门奖励方案：在销售利润到达利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金金 y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润 （单位：万元）（单位：万元）增加而增加，但资金总数不超出增加而增加，但资金总数不超出5万元，同时奖金万元，同时奖金总数不超出利润总数不超出利润25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：其中其中哪个模型能符合企业要求？哪个模型能符合企业要求？第14页例例 2、某企业为了实现、某企业为了实现1000万元利润目标，准备制订一个万元利润目标，准备制订一个激励销售部门奖励方案：在销售利润到达激励销售部门奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销万元时，按销售利润进行奖励，且奖金售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润（单位：万元）增加而增加，但资金总数不超出（单位：万元）增加而增加，但资金总数不超出5万元，万元，同时奖金总数不超出利润同时奖金总数不超出利润25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合企业要求？其中哪个模型能符合企业要求？分析：某个奖励模型符合企业要求，就是依据这个模型进行奖励时，分析：某个奖励模型符合企业要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超出奖金总数不超出5万元，万元，因为企业总因为企业总利润目标为利润目标为1000万元，所以部门销售利润普通不会超出企业总利润。万元，所以部门销售利润普通不会超出企业总利润。同时奖金不超出利润同时奖金不超出利润25%，于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合上，检验三个模型是否符合企业要求即可。企业要求即可。不妨先作出函数图象，经过观察函数图象，得到初步结论再经不妨先作出函数图象，经过观察函数图象，得到初步结论再经过详细计算，确认结果。过详细计算，确认结果。(图略）图略）第15页第16页例例3.探究函数探究函数 增加情况并分析差异增加情况并分析差异第17页1.列表：列表：第18页几何画板演示几何画板演示2.作图：作图：第19页总而言之：总而言之：(1)、在区间、在区间(0,+)上，上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和和y=xn(n0)都是增函数。都是增函数。(2)、伴随、伴随x增大，增大，y=ax(a1)增加速度越来越快，增加速度越来越快，会远远大于会远远大于y=xn(n0)增加速度。增加速度。(3)、伴随、伴随x增大，增大，y=logax(a1)增加速度越来越慢，增加速度越来越慢，会远远小于会远远小于y=xn(n0)增加速度。增加速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有logaxxnax第20页练习：练习：P98 1、2第21页小结实际实际问题问题读懂问题读懂问题将问题将问题抽象化抽象化数学数学模型模型处理处理问题问题基础基础过程过程关键关键目标目标几个常见函数增加情况：几个常见函数增加情况：常数函数常数函数一次函数一次函数指数函数指数函数没有增加直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸第22页作业作业:P107 T1、2第23页
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