“图形的变化”关键教学点教学实践与思考.pdf

I教学jiao xue“图形的变化”关关键教学点教学实践与思考文陈惠增张弘【摘要文章以“图形的变化”为主题，从教学阶段分析、关键教学点分析、突破关键教学点三个方面说明关键教学点的实施，从单元教学的视角，用认识元素、体会要素、理解路径三个策略说明如何突破关键教学点，促进学生对“图形的变化”的理解与运用。【关键词图形的变化；关键教学点；单元教学；整体性【作者简介陈惠增，福清市高山育才中学，正高级教师；张弘，福建省普通教育教学研究室教研员，高级教师“图形的变化”是初中阶段“图形与几何”领域三个主题之一，是初中几何学教学的一个重要教学点。教学中，教师要培养学生用运动变化的观点来探究图形性质的习惯，深刻剖析图形变化过程中的“变与不变”（“变”的是规律，“不变”的是性质与关系）。引导学生充分认识图形的变化，有助于学生发展空间观念与几何直观等核心素养，提升抽象能力和推理能力。本文从单元教学的视角分析“图形的变化”中的关键教学点，分享实施过程及实践思考。一、“图形的变化”的内涵传统平面几何课程局限于欧几里得几何原本公理化体系，引导学生通过观察几何图形，对几何图形形成直观感知，并借助概念分析研究几何图形，抽象出几何图形的性质。这种用逻辑推理学习并建构几何知识体系的方式，因对学生的思维能力有较高的要求，导致了以往“几何难教难学”的教学困局。2 1 世纪初的课程改革，把“图形的变化”作为平面几何课程的重要专题提出，其主要内容有全等变换（轴对称、旋转、平移）、图形的相似、图形的投影等内容。教学中，师生主要从变换的角度观察图形的形成，以变换思想分析图形内部各要素之间的相互关系、图形与图形之间的相互关系，从定性与定量角度来研究几何图形的结构与性质。“图形的变化”的核心是变化。关于“变化”一词，现代汉语词典中的解释是：事物在形态上或本质上产生新的状况。这样的解释是笼统的、表象的。要真正深入研究“图形的变化”，师生应参考德国数学家F克莱因说的话：“平面几何研究是平面图形在运动、变化过程中的不变性和不变量的科学。”其中提及的几何图形的不变性和不变量，是我们研究几何图形性质的根本出发点。“图形的变化”的研究内容广泛应用于计算机图像处理、游戏开发等应用领域，其研究策略与方法具有重要的价值。二、“图形的变化”的关键教学点实施1.“图形的变化”教学阶段分析。基于单元整体教学的理念，根据“图形的变化”的教材（人教版，下同）内容安排，我们考虑分三个阶段开展“图形的变化”教学。第一阶段，要求学生整体把握全等变换。这一阶段主要包括“图形的平移、轴对称、旋转”等内容的教学，分属于第四学段的七、八、九三个年级。教学中，学生通过观察生活实例认识并判别这三种全等变换，得到其概念，接着探究其基本性52_2023.8I教学iao xue质，最后应用于现实生活。有别于平移，轴对称与旋转增加了“对称图形（轴对称图形与中心对称图形）的概念、探索图形的基本性质、能画简单的对称图形”等内容。值得一提的是，平移、轴对称、旋转都是“刚体运动”下的全等变换（即“保距保角变换）。第二阶段，引导学生类比学习相似变换。“图形的相似”与“图形的全等”相比较，不改变图形形状，只改变图形的大小，因而也被称为“保角变换”。学生可以类比探究三角形全等的思路与方法来探究三角形相似，类比探究三角形相似来探究多边形的相似。通过学习相似变换，学生知道用位似可以将图形放大或缩小；知道可利用相似直角三角形探索并认识锐角三角函数；知道初中阶段不从函数的角度去研究三角函数，而从直角三角形的边角关系角度来研究三角函数。第三阶段，启发学生感受投影变换。“图形的投影”通过丰富的生活实例，引导学生直观感知图形，了解投影的概念；会画简单几何体的三视图，能根据视图描述简单的几何体；能根据展开图制作实物模型，了解视图与展开图在现实生活中的应用。2.“图形的变化”关键教学点分析。根据对“图形的变化”的三个阶段教学的分析及对关键教学点内涵的理解，我们选择了7 节课作为关键教学点，分别是：七年级下册的“平移”（第1 课时），八年级上册的“全等三角形”、“等腰三角形”（第1 课时）、“画轴对称图形”（第1课时），九年级上册的“中心对称”，九年级下册的“相似三角形的判定”（第2 课时)、“三视图”（第1 课时）。我们将这些课共有的特性归纳如下：（1）具有关联性。“平移”“轴对称”“旋转”等课题，无论是知识的学习策略，还是图形的组成的元素（点、边、角、图形）与要素（平移的方向与距离，轴对称的对称轴，旋转的中心、角度与方向，三视图的角度与方向）之间，抑或是所学的数学知识与生活实际之间都具有紧密的关联。开展相关内容教学时，教师均通过介绍具体生活实例，引导学生经历“观察与猜想一试验与探究一归纳与论证”的数学活动，先直观感受图形整体结构特征，再从运动变化的角度归纳并探索几何图形的“变”与“不变”的规律及关系，从而得出图形的性质。所以，我们选择“平移”（第1 课时）作为图形全等变换的关键教学点。例如，“平移”（第1 课时）教学中，教师先将实际生活中图案（或几何图形）沿着一条直线（不限方向）移动（距离适合)得到一个新的图形，再探究其图形的元素（对应点、对应线段、对应角）的位置与数量的关系，最后归纳证明得到平移的性质。这种研究图形变化前后的元素与要素的关联性的方法可迁移到“轴对称”与“旋转”的学习中（见后续突破关键教学点的策略分析“其一”“其二”的描述)。又如，“画轴对称图形”（第1 课时）教学中，教师先复习“由轴对称图形画出对称轴”的方法，再引出“已知一个图形和一条直线，如何画出关于这条直线成轴对称的图形”的问题，让学生更深入体会轴对称图形的要素（对称轴）与变化前后图形的组成元素的关系，也为后续研究其他轴对称图形、中心对称图形的元素与要素的关联性提供范式。（2）具有示范性。“平移”“等腰三角形”“中心对称”“相似三角形的判定”等作为关键教学点的课题，均体现了通过图形变化探究图形性质（路径或方法）的示范性、迁移性。例如，“等腰三角形”（第1 课时）教学中，在教师的引导下，学生动手折叠等腰三角形，直观感受轴对称图形的性质，并从折叠中找到证明的思路，经历“观察一发现一猜想一论证”的学习过程，由“形象思维”向“抽象思维”过渡，发展文字语言、图形语言、符号语言互化能力和几何推理论证能力。这种借助图形的变化研究图形的性质的路径（对应点一对应线段或对应角一对应图形）在几何研究中常用，能进一步拓宽学生视野，提高学生思维的广阔性、灵活性、深刻性等。而且，这一研究路径可迁移至其他轴对称图形（等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆）的研究中。又如，“中心对称”教学中，学生经历“观察一操作一分析一类比一归纳一应用”的学习过程，类比轴对称变化，结合图形的旋转变化知识来学习中心对称的有关性质。中心对称是一种特殊的旋转，学生掌握中心对称的有关性质，为后续研究中心对称图形（平行四边形、圆）、关于原点对称的点的坐标以及进行组合图案设计奠定了基础，为从运动变化的角度重新认识中心对称图形提供了研究方法、积累了活动的经验。再如，“相似三角形的判定”（第2 课时）教学中，学生经历“类比一猜想一论证”的学习过程，类比全等三角形的条件的探索，对“两边对应成比例及夹角相等”的相似三角形的条件进行全面探索，为下一节课“两角对应相等”的相似三角形的条件的探索积累了经验、提供了示范。通过对这几节关键教学2023.8_53I教学jiao xue点的课例的探究，学生积累了用图形的变化探究几何图形的活动经验，总结几何图形研究的基本路径与方法，为高中阶段学习向量、矩阵等内容奠定了基础。（3）具有思想性。“图形的变化”专题研究中，“变”是表面的，主要指图形前后位置的变化，而“不变”是本质的，是指图形内部元素或图形之间相对关系的不变量或不变关系，即“不变量思想”。如图形的全等变换的应用，关键在于“全等”与“变换”，而用“运动变换”的观点来探究“图形全等”的性质，学生容易发现前后图形是全等的，其对应线段、对应角是相等的。我们不妨来看一道例题。例1：如图1，RtA BC 中，ZABC=90，A C=5，A B=4，将ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，其中A是点A的对应点，且0 ZABA360,连接AA，C C 。（1）当点C在线段AC上时，求CBC的面积；（2）如图2，直线AA与直线CC交于点D，E是边AB的中点，连接DE，在旋转过程中，求DE的最大值。A部分），利用整体的图形分析并解决问题，体现了对称思想与整体思想。3.“图形的变化”关键教学点的突破策略。分析关键教学点重要，突破关键教学点更重要。以下，我们简要介绍突破“图形的变化”关键教学点的三个策略。其一，指引学生认识元素。几何图形主要研究图形内部元素之间的关系，图形变化后，教师需要引导学生从图形变化的视角观察原图形与新图形的元素之间的变与不变。面对图形变化题，很多学生无从下手，究其原因是“不知该观察什么及如何观察”。而对这种观察能力的培养，教师应该从关键教学点的新课教学入手，如“全等三角形”教学时（教材八年级上册第3 1 页“思考”），教师可进行如下设计（先将图3、4、5 画在3 张透明纸上）：例2：如图3，把ABC沿直线BC平移，得到D EF；如图4，把ABC沿直线BC翻折1 8 0，得到DBC；如图5，把ABC绕点A旋转，得到D EF。（1）各图中的两个三角形全等吗？（2）各图中的两个三角形的对应元素（点、A边、角）有什么关系？ADC例1 中，将ABC绕点B顺时针旋转得到A BC ，旋转过程中有一种特殊时刻，即点c在线段AC上。问（1）属于旋转变换过程中对图形性质的探究，可转化为解三角形问题；问（2）则要转化成旋转相似的问题，即BCC绕着点B顺时针旋转9 0 得到BAA，可证明得“直线AA与直线CC相交的角等于旋转角9 0”这一不变性的结论。本专题教学中，平移、轴对称、旋转研究均从实物中抽象出概念，再从概念推导出性质，最后综合应用，它们的研究路径是相似的，有共通性，体现了类比思想。研究旋转之后，再研究中心对称，这是一般到特殊的过程，而从全等变换到相似变换再到投影变换，这又是特殊到一般的过程，这都体现了一般与特殊的思想。研究轴对称图形与中心对称图形，由图形的一半（或部分）画出另一半（或CB图1B图2BBD图4教师设置这两个问题，意在引导学生观察、探究、抽象、思考、归纳，得出图形变化前后各对应元素（对称点、对应线段、对应角）的关系，总结出图形的性质，突破“不知该观察什么及如何观察”这一学习难点。基于内容的关联性，教师可将此设计迁移到“相似三角形”的教学中。其二，引导学生体会要素。理解了图形的变化要素，学习者就抓住了问题研究的关键。例如，平移的要素有两个，即平移距离和方向；轴对称要素C图3ACEBFEADC图554_2023.8I教学iao xue有一个，即对称轴；旋转要素有三个，即旋转中心（点）、旋转方向和旋转角度。教学中，让学生理解“为什么研究这些要素以及怎么研究”是很重要的。例如，“旋转（第1 课时）”教学中（教材九年级上册第6 0 页“探究”的改编)，教师可设计如下的问题：例3：如图6，已知A BC，把ABC绕着点A旋转6 0，画出所有符合条件的图形。（1）把ABC绕着点A旋转9 0，画出所有符合条件的图形；（2）把ABC绕着点O旋转3 0，画出所有符合条件的图形。学生动手画图，比较不同要求下所画出的图形，体会旋转的“三要素”的作用，从而理解“为什么要研究这“三要素以及怎么研究”，体会图形的变化过程的要素的作用以及探究要素的一般思路与方法。其三，启发学生理解路径。教师要启发学生理解几何问题研究的基本路径或方法，如“图形的性质”研究的路径大致是“研究对象一抽象概念一探究性质（或判定）一综合应用”；“图形的变化”研究的路径大致是“研究对象一抽象概念一探究基本性质一探究特例（性质）一拓展应用（数学内部或现实生活）”。以“中心对称”（教材九年级上册第6 4页）教学为例，教师可设计如下的问题以引导学生理解几何问题的研究路径：（1）我们已经学习了“旋转”的内容，大家说说研究图形的旋转的框架是什么。（2）大家能否用研究图形的旋转的框架研究今天所学的内容（旋转角度为1 8 0)？类比一般旋转来学习特殊旋转（旋转角度为180），学生不但能深刻理解数学中的“特殊与一般”，而且能体会几何问题研究路径的相似性与关联性。引导学生在学习中增强对问题研究框架的理解是本专题教学的重要目标。“图形的变化”来源于生活，又应用于生活，教师应结合初中生的年龄特点和认知特征设计课外活动（项目化学习），发展他们的情感态度。教师可考虑以下三个课外活动设计方向：全等变换与实际应用、探究测高、商品包装。“全等变换与实际应用”要求学生运用“平移、轴对称、旋转”知识解决问题，有两个子设计方向：一是与数学文化相结合（如赵爽弦图问题），二是与设计某图案相结合（如设计广告或商标）。“探究测高”要求学生运用“相似三角形、解三角形、锐角三角函数”知识解决实际问题，也有两个子设计方向：一是历史方法测高（如泰勒斯测量法、商高测量法），二是其他工具测高（如通过镜子反射、三角A板、量角器测高）。“商品包装”要求学生运用“几何体三视图、展开图”知识解决实际问题，解答过程含三个阶段：一是探究包装盒，二是拆分包装盒，三是制作包装盒。三、对教学实践的思考C图6B基础，落实义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版)的整体性教学理念，对教学内容和学生情况进行整体分析，确立了以知识为明线的三个教学阶段：第一阶段全等变换（即刚体变换），包括平移、轴对称、旋转，其对应的是欧几里得几何；第二阶段相似变换（即仿射变换），包括相似（位似）、锐角三角函数，其对应的是仿射几何；第三阶段投影变换（即射影变换），包括投影、视图、展开图，其对应的是射影几何。从特殊的“保距保角变换”到一般的“保角变换”，从平面几何图形之间的变化到一般的立体图形与平面图形之间的相互转化，充分说明了欧几里得几何是仿射几何的特例，仿射几何是射影几何的特例，它们的变化过程均体现了知识之间的系统性、关联性、进阶性、发展性。“图形的变化”单元整体教学设计还以突破关键教学点的策略为暗线，帮助学生更深入理解“图形的变化”的内容，最终达成主动运用“图形的变化”解决数学问题及现实生活问题的学习目标。小学阶段，学生从平移、旋转、轴对称的角度欣赏现实生活中的图案，直观感知图形，形成空间观念；初中阶段，学生用运动变化的观点来研究图形变化的规律与变中的不变性（或量），直观理解图形并探究其性质，发展几何直观、空间观念、推理能力等核心素养；高中阶段，学生从向量与矩阵的角度理解平面向量投影及空间的等距变换。如此，学生几何思维能力、数学核心素养的发展脉络清晰可见，层次分明且具有连贯性。注：本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“核心素养下初中数学关键教学点的行动研究”（立项批准号：FJJKZX22-671）的阶段性成果。“图形的变化”单元整体教学设计以系统论为2023.8_55