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一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
得分
评卷人
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中. B. 至少有一发击中.
C. 必然击中 D. 击中3发
2．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A． 。 B.
C. D. ，
4．设随机变量X～, Y～, ,
, 则有（ ）
A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 < P2
C. 只对个别的，才有P1=P2 D. 对于任意的, P1 > P2
5．设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）
A．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.
C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)
得分
二、填空题（每空3分，共15分）
评卷人
6． 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A–2E|= 。
7．设A= ，则= 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量的概率密度函数为，则概率 。
10．设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，则系数 。
得分
三、计算题（每小题10分，共50分）
评卷人
11．求函数的傅氏变换 (这里)，并由此证明：
12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求
（1）收报台收到信号“1”的概率；
（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
13．设二维随机变量的联合概率函数是
求：（1）常数c；（2）概率P(X≥Y )；（3）X与Y相互独立吗？请说出理由。
14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。
15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求
(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX
得分
四、证明题（共10分）
评卷人
16.设a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aaT,
(1) 证明A2=║a║2A；
(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；
(3) A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.
得分
五、应用题（共10分）
评卷人
17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
参考答案及评分标准
一、 选择题（每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．A
二、 填空题（每小题3分，共15分）
6. 9 7. 1 8. 1–(1–P)3 9. 3/4 10. 12
三、计算题（每题10分，共50分）
11.解答：函数f(t)的付氏变换为：
F(w)= （3分）
= (2分)
由付氏积分公式有
f(t)=F(w)]= (2分)
=
== （2分）
所以 （1分）
12.解答:
设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）
(1)由全概率公式 （1分）
有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分）
=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）
(2)由贝叶斯公式 （1分）
有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分）
=0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）
13.解答:
(1) 由联合概率密度的性质有
即 （2分）
从而 c=8 （2分）
(2) （2分）
(3) 当x>0时， （2分）
当x<=0时,
同理有 （1分）
因
故X与Y相互独立 （1分）
14.解答：
设 i =1,2,…,N (2分)
则 (1分)
因 (2分)
(2分)
因而 (2分)
所以 (2分)
15.解答：
（1）随机变量的取值为1，2，3。 （1分）
依题意有： （3分）
的分布函数 （1分）
由条件知：当时， （1分）
当时， （1分）
当时， （1分）
当时， （1分）
（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）
四、证明题（共10分）
(1) A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A （2分）
(2)因 Aa= aaT ·a=aTa·a= ║a║2a （2分）
故a是A的一个特征向量。
又A对称，故A必相似于对角阵 （1分）
设A∽ diag(λ1,λ2,…,λn)=B, 其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值 (1分)
因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)
从而λ1,λ2,…,λn中必有n-1个为0, 即0是A的n-1重特征值 （1分）
(3) A对称，故A必相似于对角阵Λ，
Λ=diag(║a║2, 0,…,0) (2分)
五、应用题（共10分）
解答:
设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元）, （1分）
则有 （4分）
因 X服从R(2000,4000), 故有
(1分)
所以
=–( y2 –7000y + 4•106 ) /1000 (3分)
求极值得 y=3500 (吨) (1分)
工程数学（本）10秋模拟试题（一）
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设都是n阶方阵，则下列命题正确的是( )．
2．向量组的秩是（ 3 ）．
3．元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．
4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（）．
5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计．
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设均为3阶方阵，，则 -18 ．
7．设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称l为的特征值．
8．设随机变量，则a = 0.3 ．
9．设为随机变量，已知，此时 27 ．
10．设是未知参数的一个无偏估计量，则有 ．
三、（每小题16分，共64分）
11．设矩阵，且有，求．解：利用初等行变换得
即 由矩阵乘法和转置运算得
12．求线性方程组
的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
方程组的一般解为 （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系.于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）
13．设，试求: (1)；(2)．（已知）
解：(1) (2)
14．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg／cm2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．
解： 零假设．由于已知，故选取样本函数 已知，经算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
四、证明题（本题6分）
15．设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵．证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕．
工程数学（本）10秋模拟试题（二）
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．若是对称矩阵，则等式（ ）成立．
2．（ ）．
3．若（ ）成立，则元线性方程组有唯一解．
4. 若条件（ 且 ）成立，则随机事件，互为对立事件．
5．对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（ ）不是统计量．
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设均为3阶方阵，，则 8 ．
7．设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称为相应于特征值l的特征向量．
8．若，则 0.3 ．
9．如果随机变量的期望，，那么 20．
10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ．
三、（每小题16分，共64分）
11．设矩阵，求．解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得
12．．当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为
（其中为任意常数）
13．设，试求：(1)；(2)．（已知）解：(1)
(2)
15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区．
解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为
四、证明题（本题6分）
15．设随机事件,相互独立，试证：也相互独立．
证明：所以也相互独立．证毕．
工程数学（本）（10春）模拟试题2010年6月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 若，则（3 ）．
2. 已知2维向量组，则至多是（ ）．
3. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．
4. 若满足（ ），则与是相互独立．
5. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（ ）成立．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则 ．
2. 向量组线性相关，则.
3. 已知，则 ．
4. 已知随机变量，那么 ．
5. 设是来自正态总体的一个样本，则 ．
三、计算题（每小题16分，共64分）
1设矩阵，求（1），（2）．解： （1）
利用初等行变换得
即
2. 当取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。 ………8分
此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系
令，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
3. 设，试求⑴；⑵．（已知
）
解：⑴ ⑵
4. 已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？
解： 零假设．由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得
， 由已知条件，
故接受零假设，即零件平均重量仍为15
四、证明题（本题6分）
设,是两个随机事件，试证：．
证明：由事件的关系可知 而，故由加法公式和乘法公式可知
证毕．
工程数学（本）(09秋模拟试题2009年12月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 设为矩阵，为矩阵，当为（ ）矩阵时，乘积有意义．
2. 向量组的极大线性无关组是（ ）．
3. 若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（ ）时线性方程组有无穷多解．
4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ ）.
5. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（未知方差，检验均值 ）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设均为3阶矩阵，且，则 ．
2.设，则．2
3. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为 .
4. 设随机变量，则 ．
5. 设是来自正态总体的一个样本，，则 ．
三、计算题（每小题16分，共64分）
1已知，其中，求．解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法运算得
2.求线性方程组的全部解．.
解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形
方程组的一般解为 （其中为自由未知量）
令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为
（其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）
3. 设，求和.（其中
,）
解：设 =
=
4. 某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？
解：零假设．由于已知，故选取样本函数经计算得，
已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.
四、证明题（本题6分）
设,为随机事件，试证：．
证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即证毕
工程数学（本）模拟练习
一、单项选择题
1. 若都是n阶矩阵，则等式（ ）成立．
2. 向量组的秩是（ ）．
3. 设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（只有0解）．
4. 设为随机事件，下列等式成立的是（ ）．
5. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计．
二、填空题
1. 设是3阶矩阵，其中，则 ．
2. 当= 1 时，方程组有无穷多解．．
3. 若，则 ．
4. 若连续型随机变量的密度函数的是，则 ．
5. 若参数的估计量满足，则称为的 无偏估计 ．
三、计算题
1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求．
解：由矩阵减法运算得
利用初等行变换得
即由矩阵乘法运算得
2. 求线性方程组
的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
此时相应齐次方程组的一般解为 是自由未知量
令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
3.设，试求⑴；⑵．（已知
）
解：⑴
⑵
4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）
解：零假设．由于未知，故选取样本函数
已知，经计算得， 由已知条件，
故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的
四、证明题
设是线性无关的，证明, 也线性无关
证明：设有一组数，使得
成立，即，由已知线性无关，故有
该方程组只有零解，得，故是线性无关的．证毕
工程数学（本）08秋模拟试题
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )．
2．方程组相容的充分必要条件是( )，其中，．
3．设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( 0，6 ) ．
4. 设A，B是两事件，则下列等式中（ ，其中A，B互不相容 ）是不正确的．
5．若随机变量X与Y相互独立，则方差=（ ）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设，则的根是 ．
2．设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 ．
3．若事件A，B满足，则 P（A - B）= ．
4．．设随机变量的概率密度函数为，则常数k = ．
5．若样本来自总体，且，则 ．
三、（每小题16分，共64分）
1．设矩阵，求：（1）；（2）．
解：（1）因为 所以 ．
（2）因为
所以
2．求齐次线性方程组 的通解．
解： A=一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =；x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 { X1，X2 }． 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数
3．设随机变量．（1）求；（2）若，求k的值． （已知）．
解：（1）＝1－= 1－＝1－（）= 2（1－）＝0.045．
（2）＝1－＝1－
即 k－4 = -1.5， k＝2.5．
4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(, )？
解：零假设.由于已知，故选取样本函数～
经计算得，， 由已知条件，且
故接受零假设，即该机工作正常.
四、证明题（本题6分）
设向量组线性无关，令，，，证明向量组线性无关。
证明：设，即
因为线性无关，所以
解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关．
工程数学（本）综合练习题
一、填空题
⒈行列式 。
⒉设二阶矩阵，其伴随矩阵 。
⒊设均为4阶矩阵，且， 。
⒋若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为 矩阵。
⒌一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 相关 。
⒍若，则 0.7 。
⒎设互不相容，且，则 0 。
⒏连续型随机变量的密度函数是，则 。
⒐设为随机变量，已知，那么 18 。
⒑样本是由若干个 样品 组成的集合。
⒒参数的估计量满足 ，则称为的无偏估计量。
二、单项选择题
⒈由得到的矩阵中的元素（ 12）。
⒉（ ）。
⒊若是对称矩阵，则条件（ ）成立。
⒋设均为阶方阵，则等式（ ）成立。
⒌设为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（是的特征向量 ）成立．
⒍对任意两个事件，等式（ ）成立。
⒎若等式（ ）成立，则事件相互独立。
⒏下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（ ）。
⒐设随机变量，则（0 ）。
⒑设是来自正态总体的样本，则（ ）是统计量。
⒒设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（ ）不是的无偏估计。
工程数学（本）07春模拟试题2007年5月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 都是阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) ．
2. 已知2维向量组，则至多是（ ）．
3. 设是元线性方程组，其中是阶矩阵，若条件（是行满秩矩阵）成立，则该方程组没有非0解．
4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）．
5. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设均为3阶矩阵，且， ．
2. 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得，则称为的 特征值 ．
3. 已知，则 ．
4. 设随机变量，则 ．
5. 若参数的估计量满足，则称为的 无偏估计 ．
三、计算题（每小题16分，共64分）
1设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求．
解：由矩阵减法运算得
利用初等行变换得
即
由矩阵乘法运算得
2. 求线性方程组
的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
此时齐次方程组化为令，得齐次方程组的一个基础解系
令，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
3. 设，试求⑴；⑵．（已知
）
解：⑴ ………8分
⑵
4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）
解：零假设．由于未知，故选取样本函数 已知，经计算得
， 由已知条件，
故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。
四、证明题（本题6分）
设是线性无关的，证明, 也线性无关．
证明：设有一组数，使得
成立，即，由已知线性无关，故有
该方程组只有零解，得，故是线性无关的．证毕
工程数学（本）模拟试题（06秋-2）
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 若都是阶矩阵，则等式（ ）成立．
2. 向量组的秩是（ ）．
3. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（至少有一人没射中 ）的事件．
4. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．
5. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为 矩阵．
2. 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得 ，则称为的特征值．
3. 若，则 ．
4. 已知随机变量，那么 ．
5. 设是未知参数的一个无偏估计量，则有 ．
三、计算题（每小题16分，共64分）
1设矩阵，且有，求．
解：利用初等行变换得
即 由矩阵乘法和转置运算得
2. 当取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解．此时方程组的一般解为
3. 设，试求⑴；⑵．（已知）
解：⑴
⑵
4. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）
解：由于未知，故选取样本函数 已知，经计算得 该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为 ．
四、证明题（本题6分）
设向量组，如果线性相关，证明线性相关．
证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使
成立．于是存在不全为0的数，使成立，由相性定义知线性相关．证毕．
工程数学（本）模拟试题
一、单项选择题（每小题3分，共21分）
1．设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是( )矩阵．
2．若X1、X2是线性方程组AX=B的解，而是方程组AX = O的解，则（ ）是AX=B的解．
3．设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=( ) ．
4. 下列事件运算关系正确的是（ ）．
5．若随机变量，则随机变量（ ）．
6．设是来自正态总体的样本，则（ ）是的无偏估计．
7对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（t分布）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设三阶矩阵的行列式，则= 2 ．
2．若向量组：，，，能构成R3一个基，则数k ．
3．设互不相容，且，则 0 ．
4．若随机变量X ~ ，则 ．
5．设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的 无偏 估计．
三、（每小题10分，共60分）
1．已知矩阵方程，其中，，求．
解：因为，且
即 所以
2．设向量组，，，，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．
解：因为
（ ）= 所以，r() =3． 它的一个极大线性无关组是 （或）．
3．用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换
解：
令 （*）
即得 由（*）式解出，即得或写成 ．
4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．
解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1．（2）
5．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9成立的常数a ． (，，)．
解：（1）P（1< X < 7）= == = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P（X < a）=== 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56
6．从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间．(已知 )
解：已知，n = 64，且 ~ 因为 = 21，，且
所以，置信度为95%的的置信区间为
四、证明题（本题4分）
设是n阶矩阵，若= 0，则
证明：因为 = == 所以
试卷代号:1080中央广播电视大学2007--2008学年度第一学期“开放本科”期末考试工程数学(本) 试题
一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1．设A，B都是n阶矩阵(n>1)，则下列命题正确的是( )．
2．向量组 的秩是( ．3 )．
3．若线性方程组AX=0只有零解，则线性方程组AX=b( 解的情况不能断定 )．
4．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是( )．
5．设f(x)和F(x)分别是随机变量X的分布密度函数和分布函数，则对任意a<b，有
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．设A是2阶矩阵，且1
2．设A为押阶方阵，若存在数A和非零”维向量x，使得(Ax= )，则称x为A相应于特征值A的特征向量．
3．若则 P(AB)= ( O．3 )，
4．设随机变量X，若D(X)=3，则D(一X+3)= (3 )．
5．若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更(有效 )．
三、计算题(每小题】6分，共64分)
1．设矩阵，求A-1B
解：利用初等行变换得
即由矩阵乘法得
2．求线性方程组
的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
此时齐次方程组化为
令z4=1，得齐次方程组的一个基础解系令z4=o，得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为(其中志为任意常数)
3．设，试求(1)(已知
解：(1)
(2)=φ（2）-φ(1)=0.9772-0.8413=0.1359
4·据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X～N(32．5，1．21)，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度(单位：kg／cm2)的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格()
解：零假设．由于已知，故选取样本函数
已知；=31.12，经计算得由已知条件
故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格．
四、证明题(本题6分)
设A，B为随机事件，试证：P(A)=P(A--B)+P(AB)
证明：由事件的关系可知 而(A--B) AB=φ，故由概率的性质可知P(A)=P(A—B)+P(AB) 证毕．
试卷代号：1080 中央广播电视大学
学年度第二学期“开放本科”期末考试 工程数学(本) 试题2007年7月
一、单项选择题【每小题3分。本题共15分)
1．设A，B为咒阶矩阵则下列等式成立的是( )．
的秩是(3 )．
3．线性方程组解的情况是(有无穷多解 )．
4．下列事件运算关系正确的是( )．
5．设是来自正态总体的样本，其中是未知参数，则( )是统计量．
二、填空题(每小题3分。共15分)
1．设A，B是3阶矩阵；其中则 12
2·设A为”阶方阵，若存在数A和非零咒维向量z，使得则称2为A相应于特征值．λ的 特征向量
3．若则 0．3
4．设随机变量X，若则2
5．设是来自正态总体的一个样本，则
三、计算题【每小题16分，共64分)
1．已知其中求X．
解：利用初等行变换得
即由矩阵乘法和转置运算得
2．当A取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当A≠3时，方程组无解．当A一3时，方程组有解．方程组的一般解为
3．设随机变量X具有概率密度求E(X)，D(X)．
解：由期望的定义得由方差的计算公式有
4．已知某种零件重量采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位：kg)的平均值为14．9，已知方差不变，问平均重量是否仍为
解：零假设H。：卢一l5．由于已知cr2一O．09，故选取样本函数已知X一一l4．9，经计算得由已知条件U㈣，。一l．96，故接受零假设，即零件平均重量仍为l5
四、证明题(本题6分)
设A，B是两个随机事件，试证：P(B)=P(A)P(B1A)+P(万)P(B1页)
证明：由事件的关系可知而=p，故由加法公式和乘法公式可证毕．
工程数学（本）04秋模拟试题（1）
一、单项选择题（每小题3分，共21分）
1．设都是阶矩阵，则下列命题正确的是（，且，则 ）．
2．在下列所指明的各向量组中，（任何一个向量都不能被其余的向量线性表出）中的向量组是线性无关的．
3．设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=( ) ．
4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则表示（至少有一人没射中 ）的事件．
5．设，是的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．
6．设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计．
7．对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（已知方差，检验均值 ）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设是2阶矩阵，且， 1 ．
2．已知齐次线性方程组中为矩阵，且该方程组有非零解，则 3 ．
3．，则 0.7 ．
4．若连续型随机变量的密度函数的是，则 ．
5．若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更 有效 ．
三、计算题（每小题10分，共60分）
1．设矩阵，问：A是否可逆？若A可逆，求．
解：因为
所以A可逆。利用初等行变换求，即
即 由矩阵乘法得
2．线性方程组的增广矩阵为求此线性方程组的全部解
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
此时齐次方程组化为 ，（其中x3为自由未知量）.分别令，得齐次方程组的一个基础解系
令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
3．用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换．
解： 令 即得 由（*）式解出，即得 或写成
4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
解：设：“是第台车床加工的零件”，：“零件是合格品”.由全概公式有
显然，，，，故
5．设，试求⑴；⑵．（已知）
解：⑴
⑵
6．设来自指数分布，其中是未知参数，求的最大似然估计值．
解：答案: 解： 似然函数为
取对数得 求导得 令得的最大似然估值
四、证明题（本题4分）
设是随机事件，试证：
证明：由事件的
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