工程数学试卷及答案.doc

一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

得分
评卷人

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”,i=0，1，2，3。 那么事件A=A1∪A2∪A3表示(      ). A。 全部击中。   B.至少有一发击中。 
C. 必然击中   D。击中3发
2．对于任意两个随机变量X和Y,若E（XY）=E（X）E（Y），则有（    ）。
A。 X和Y独立。 B。 X和Y不独立.
C. D(X+Y）=D（X)+D(Y）   D。 D（XY）=D(X）D(Y)
3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ )。
A． 。 B.
C。 D.，
4．设随机变量X～， Y～， ,
, 则有( ）
A. 对于任意的， P1=P2B. 对于任意的， P1〈 P2
C. 只对个别的,才有P1=P2 D. 对于任意的， P1〉 P2
5．设X为随机变量，其方差存在,c为任意非零常数,则下列等式中正确的是（　　　)
A．D（X+c）=D（X）. B。 D（X+c)=D（X）+c.
C。 D(X-c）=D（X)—c D。 D(cX）=cD（X)
答案1．B　　　2．C　　　　3．D　　　　4．A　　　　5．A
得分
二、填空题（每空3分，共15分）
评卷人

6． 设3阶矩阵A的特征值为—1,1,2，它的伴随矩阵记为A＊, 则|A*+3A–2E｜=。
7．设A= ,则=。
8．设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为.
9．设随机变量的概率密度函数为，则概率 。
10．设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，则系数 。
答案:6。 9 7. 1 8。 1–（1–P）3 9。 3/4 10. 12
得分
三、计算题（每小题10分，共50分）
评卷人

11．求函数的傅氏变换 (这里),并由此证明:
12．发报台分别以概率0。6和0。4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1"时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0。2收到信号“1”和“0”;同时,当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0"和“1”。求
(1)收报台收到信号“1”的概率；
(2)当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
13．设二维随机变量的联合概率函数是
求：（1）常数c；（2）概率P(X≥Y )；（3）X与Y相互独立吗？请说出理由。
14．将n个球随机的放入N个盒子中去,设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。
15．设一口袋中依此标有1，2,2，2,3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求
(1)X的概率分布律和分布函数。（2)EX
得分
四、证明题（共10分）
评卷人

16。设a=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，其长度为║a║，又A=aaT,
(1) 证明A2=║a║2A；
(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n—1重特征值;
(3) A能相似于对角阵Λ吗?若能，写出对角阵Λ。
得分
五、应用题（共10分）
评卷人

17。设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量，它在［2000，4000］（ 单位:吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库,则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源,才能使国家收益最大。
参考答案及评分标准
一、 选择题（每小题3分，共15分）
1．B　　　2．C　　　　3．D　　　　4．A　　　　5．A
二、 填空题(每小题3分，共15分）
6. 9 7。 1 8. 1–(1–P）3 9. 3/4 10。 12
三、计算题（每题10分,共50分)
11.解答：函数f(t）的付氏变换为：
F（w)=（3分)
= （2分）
由付氏积分公式有
f(t)=F（w)］= （2分)
=
==（2分)
所以 （1分）
12。解答:
设 A1=“发出信号1",A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”（2分)
（1）由全概率公式（1分)
有 P（A）=P(A|A1)P（A1）+P（A｜A0)P（A0）（2分）
=0。8x0。6+0。1 x0。4=0。52 （1分)
(2)由贝叶斯公式（1分）
有 P(A1｜A）=P(A|A1)P（A1）/ P（A）（2分）
=0。8x0.6/0.52=12/13 （1分）
13。解答：
(1) 由联合概率密度的性质有
即（2分）
从而c=8 （2分）
（2）（2分)
(3） 当x>0时, (2分)
当x<=0时,
同理有（1分)
因
故X与Y相互独立(1分）
14。解答：
设 i=1，2，…，N （2分)
则（1分）
因(2分）
（2分)
因而 (2分)
所以（2分)
15.解答:
（1）随机变量的取值为1，2，3。 （1分）
依题意有： （3分）
的分布函数 （1分）
由条件知:当时，（1分）
当时，(1分）
当时，(1分)
当时,（1分)
（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）
四、证明题（共10分）
(1)A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A （2分）
（2）因 Aa= aaT·a=aTa·a= ║a║2a （2分）
故a是A的一个特征向量。
又A对称，故A必相似于对角阵 （1分）
设A∽diag(λ1,λ2,…，λn)=B， 其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值 (1分)
因rank（A）=1， 所以 rank（B)=1 （1分）
从而λ1，λ2,…，λn中必有n-1个为0， 即0是A的n—1重特征值 （1分）
(3） A对称,故A必相似于对角阵Λ，
Λ=diag（║a║2， 0,…，0） （2分）
五、应用题（共10分)
解答：
设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元)， （1分）
则有 （4分)
因 X服从R（2000,4000）， 故有
(1分）
所以
=–( y2–7000y + 4•106 ） /1000 (3分）
求极值得 y=3500 (吨） （1分）
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