Laplace方程柯西问题的B样条方法.pdf

第 41 卷 第 3 期2023 年 5 月 广西师范大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition)Vol.41 No.3May 2023DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2022041401http:赵婷婷,杨凤莲.Laplace 方程柯西问题的 B 样条方法J.广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3):118-129.ZHAO T T,YANG FL.B-spline method for the Cauchy problem of the Laplace equationJ.Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition),2023,41(3):118-129.Laplace 方程柯西问题的 B 样条方法赵婷婷,杨凤莲(河海大学 理学院,江苏 南京 210000)摘 要:Laplace 方程柯西问题极其不适定,需要有效的数值算法进行求解,本文提出一种 B 样条方法求解此问题。首先在三次 B 样条函数生成的平移不变空间中给出柯西问题逼近解的表达形式;然后借助 B 样条基函数导数可用低阶样条基函数表示及方程的性质,写出问题的变分形式;接着,为了降低噪音的影响,提出 Tikhonov 正则化方法,以获得稳定的数值解;最后分别对矩形区域和含非光滑边界的区域进行数值实验,证明此方法的有效性。关键词:柯西问题;Laplace 方程;平移不变空间;三次 B 样条函数;正则化中图分类号:O241.82 文献标志码:A 文章编号:1001-6600(2023)03-0118-12反问题存在于科学和工程技术的各个领域中,如图像处理、无损检测、地质勘探和医学成像等,拉普拉斯(Laplace)方程柯西问题是一类经典的反问题1。通常在实际情况中,给定的边界数据不完整,在不可获得的边界发生腐蚀,即部分边界数据未知。Hadamard 指出拉普拉斯方程柯西问题是极其不适定的2,其解不连续地依赖于已知的边界数据,即测量数据中出现的细小误差极可能会导致数值解中的巨大误差。Bukhgeim 等3证明柯西问题在一定先验假设下未知 Lipschitz 边界对数型的条件稳定性;Alessandrini等4提供了柯西问题基本最优的稳定性结果。目前对于拉普拉斯方程反问题的求解已有一些有效的数值算法,常用方法主要分为网格方法和无网格方法。网格法包括有限差分法5、边界元法6、有限元法7等,相对而言,边界元法更适于求解 Laplace方程柯西问题,因为在求解中只需要部分边界的信息,但此方法在复杂几何体的网格生成和奇异积分计算上存在一些弊端8。无网格方法的发展为这一问题的解决带来新的方向,Liu 等9利用傅里叶级数展开的技巧来解决二维矩形区域中热传导方程的反几何问题;Sun 等10通过单层势函数来逼近椭圆算子柯西问题的解。近年来,基本解法8,11被广泛应用于求解 Laplace 方程柯西问题,Wang 等8用一种新的局部基本解方法来精确稳定地求解复杂几何中二维拉普拉斯柯西反问题;Wu 等12在无网格方法中引入小波,可以减少计算量,提高算法的精度;Zhang 等13通过正则化 B 样条小波方法在不规则区域内来求解拉普拉斯方程柯西问题。无网格方法的本质是寻找方程解的逼近函数,根据相应的偏微分方程和已知边界条件,将问题转化为一组线性代数方程的解。因此,寻找合适的逼近函数是求解拉普拉斯方程柯西问题的关键。考虑如下平移不变空间Vh()=Zda()xh-():a()l2(Zd),式中:L2(Rd)为紧支撑函数;h 为伸缩尺度参数;为平移尺度参数。当紧支撑函数为 B 样条函数时,此平移不变空间称为 B 样条平移不变空间。此空间结构简单,具有平移不变性,且紧支撑函数的特殊选择会为足够光滑的函数提供良好的逼近阶14,同时紧支撑性也会产生稀疏的系统矩阵,为计算提供很大便利。该类空间通常被用作信号和图像空间模型,在小波分析、有限元分析、信号处理等领域被广泛应收稿日期:2022-04-14 修回日期:2022-05-25基金项目:国家自然科学基金(11771120,12271140);河海大学中央高校基本科研业务费(B220202081)通信作者:杨凤莲(1982),女,福建三明人,河海大学副教授,博士。E-mail:http:用15-16。特别是当紧支撑函数取 B 样条函数时,Aldroubi 等17研究了样条平移不变空间中的信号重构问题;Yang 等15在样条平移不变空间中建立了基于小波帧的图像恢复模型,并研究其解的收敛性;覃潇潇等18利用四阶样条函数来近似计算目标函数的希尔伯特变换。本文在平移不变空间中求解拉普拉斯方程柯西问题,取紧支撑函数为三次 B 样条函数,即在由三次 B样条函数为基函数张成的平移不变空间中求解近似柯西问题的解。根据控制方程及已给的边界条件,将柯西问题转化为对线性代数方程组的求解。因柯西问题的不适定性,通过 Tikhonov 正则化方法对得到的方程组进行求解,利用具体的数值例子对此方法进行验证。1 拉普拉斯方程柯西问题设 0,10,1为有界域,其边界为=1234,1=(x,y)|y=0,0 x1,3=(x,y)|y=(x),0 x1,2=(x,y)|x=0,0y(0),4=(x,y)|x=1,0y(1),yx011y=(x)图 1 拉普拉斯方程柯西问题的求解域Fig.1 Solution domain of Cauchy problemof Laplace equation式中 1为已知光滑边界,其余边界均未知,具体求解域如图 1所示。在区域 上的拉普拉斯方程柯西问题定义为u=0,(x,y),u(x,0)=f(x),0 x1,u(x,0)y=g(x),0 x1,(1)式中:u=2ux2+2uy2为拉普拉斯算子;f(x)、g(x)均为一元函数。柯西问题为给定已知边界 1上的狄利克雷边界条件和黎曼边界条件,即 f(x)、g(x)的信息,在全部区域或剩余部分边界上求拉普拉斯方程的解,即 u 的值。2 B 样条平移不变空间定义 115 对紧支撑函数 Lp(Rd),如果存在常数 c1、c20,使得所有序列 al2(Zd)满足c1a2Zda()(-)2 c2a2,(2)则称 的平移是稳定的。本文考虑紧支撑函数 L2(Rd),由文献15可知,为 B 样条基函数时平移是 L2稳定的。样条函数是指一类分段光滑,且在每段的交接处也存在一定光滑性的函数。对于样条函数,目前最常用的为de Boor-Cox递推公式,具体定义如下。定义 219 给定实数轴上的一个剖分=xjj=-(xjxj+1,j=,-1,0,1,),其中 xj为节点,由下列递推公式所定义的函数 Bq,j(x)称为关于剖分 的 q 阶(q-1 次)B-样条基函数Bq,j(x)=1,x xj,xj+1),0,其他,q=1,Bq,j(x)=x-xjxj+q-1-xjBq-1,j(x)+xj+q-xxj+q-xj+1Bq-1,j+1(x),q2,(3)式(3)称为 de Boor-Cox 公式。若不强调 j,则函数 Bq(x)是指上述任意一个函数 Bq,j(x)。注:规定 00=0;911广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)后文中出现的 B 样条函数均有以下特征,即当 q 为奇数时,样条函数 Bq(x)的对称轴为 x=12;当 q为偶数时,样条函数 Bq(x)的对称轴为 x=0。性质 119 B 样条函数具有以下重要性质。局部支撑性:若 xxj,xj+q),则 Bq,j(x)=0,区间xj,xj+q)称为 Bq,j(x)的支集。在任意给定的区间xj,xj+1)内,最多有 q 个样条函数 Bq,j(x)是非零的,分别是 Bq,j-q+1(x),Bq,j(x)。非负性:对q、j、x,有 Bq,j(x)0。平移性:当节点序列为均匀节点时,同次数的 B 样条函数可以通过其中任意一个样条函数进行平移得到。可微性:在节点区间内部,样条函数是无限次可微的,且高阶样条函数的导数可用低阶样条函数线性表示,具体表示方法为ddxBq=Bq-1(x)-Bq-1(x-1),q 为奇数,Bq-1(x+1)-Bq-1(x),q 为偶数。(4)因此由递推公式可得,当 xj=j,q=4,即三次 B 样条函数的显式表达式为B4(x)=(x+2)36,x-2,-1),-3(x+2)3+12(x+2)2-12(x+2)+46,x-1,0),3(x+2)3-24(x+2)2+60(x+2)-446,x0,1),(2-x)36,x1,2),0,其他。(5)定义 3 若紧支撑函数为 B 样条函数 Bq(x),则称Sh(Bq)=Za()Bq(h-):a()l2(Z),(6)为一元 B 样条平移不变空间,式中:h 为伸缩尺度参数;为平移尺度参数。若 w(x)Sh(Bq),x0,1,取三次 B 样条函数为紧支撑函数,则w(x)=Za()B4xh-(),(7)而三次样条函数 B4(x)的紧支撑集为-2,2,所以 B4xh-()的紧支撑集为h(-2+),h(2+),因此,在0,1上,当 -1,1h+1且 Z 时,B4xh-()=0,故w(x)=m+1=-1a()B4xh-(),m=1h。(8)下面给出二元 B 样条平移不变空间的定义。定义 4 设紧支撑函数由 B 样条函数的张量积组成,即(x)=Bq(x1)Bq(x2),其中 x=(x1,x2)R2,则称Sh()=Z2a()xh-()a()l2(Z2),=1,2()=Z2a()Bqx1h-1()Bqx2h-2()a()l2(Z2),=(1,2)(9)021http:为二元 B 样条平移不变空间。3 B 样条方法设拉普拉斯方程柯西问题的真实解为 u(x,y),方程解在 B 样条平移不变空间下的近似解为u(x,y)。因方程中含有二阶导数信息,由式(5)知三次样条函数的二阶导数非零,所以取三次样条函数为样条基函数,能更好重构方程的解。根据式(8)、(9)知,在0,10,1上方程的解可近似为u(x,y)u(x,y)=2Z1Z(1,2)xh-1,yh-2()=m+12=-1m+11=-1(1,2)B4xh-1()B4yh-2(),(10)式中:1、2分别为三次 B 样条函数在 x,y 方向上平移尺度参数;h 为伸缩尺度参数;m=1h。由 B 样条函数的紧支撑性,当 1、2-1,m+1且 1,2Z 时,B4xh-1()=0,B4xh-2()=0。因此下文默认当 1、2-1,m+1,且 1,2Z 时,(1,2)=0,此设置对近似过程并无任何影响。将近似解写成矩阵的形式,令Bm1,m2(x,y)=B-1,-1m1,m2(x,y)Bm+1,-1m1,m2(x,y)B-1,m+1m1,m2(x,y)Bm+1,m+1m1,m2(x,y),X=(-1,-1)(m+1,-1)(-1,m+1)(m+1,m+1)T,式中 B(1,2)m1,m2(x,y)=Bm1xh-1()Bm2yh-2(),则有u(x,y)=B4,4(x,y)X,(11)根据式(4)可得B4xh-()=1hB3xh-(-1)()-B3xh-(),B3xh-()=1hB2xh-()-B2xh-(+1)(),(12)从而有B4xh-()=1h2B2xh-(-1)()-2B2xh-()+B2xh-(+1)()。(13)根据 B 样条函数的定义可知,0,1上的二次样条基函数有 m+2 个,其平移尺度参数为=-1,0,m,一次样条基函数有 m+1 个,其平移尺度参数=0,m,在其余平移尺度参数下的样条基函数的取值为零。因此,一阶偏导数可表示为ux=1hm+12=-1m+11=-1(1,2)B3xh-(1-1)()-B3xh-1()()B4yh-2()=1hm+12=-1m1=-2(1+1,2)B3xh-1()-m+11=-1(1,2)B3xh-1()B4yh-2()=1hm+12=-1m+11=-1(1+1,2)-(1,2)B3xh-1()B4yh-2()=1hm+12=-1m+11=-11(1,2)B3xh-1()B4yh-2(),即ux=mB3,4(x,y)W1,(14)121广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)式中:W1=P1X=1(-1,-1)1(m+1,-1)1(-1,m+1)1(m+1,m+1),P1=Q1Q1(m+3)2(m+3)2,Q1=-11-11-11-1(m+3)(m+3),因此,ux=mB3,4(x,y)P1X。(15)同理可得uy=1hm+12=-1m+11=-1(1,2+1)-(1,2)B4xh-1()B3yh-2()=mB4,3(x,y)P2X,(16)式中:P2=Q2Q3Q2Q3Q2Q3Q2 (m+3)2(m+3)2,Q2=-1-1()(m+3)(m+3),Q3=11()(m+3)(m+3)。从而有二阶偏导数uxx=1h2m+12=-1m+11=-1(1+1,2)-2(1,2)+(1+1,2)B2xh-1()B4yh-2()=m2B2,4(x,y)P3X,(17)uyy=1h2m+12=-1m+11=-1(1,2+1)-2(1,2)+(1,2+1)B4xh-1()B2yh-2()=m2B4,2(x,y)P4X,(18)式中:P3=Q4Q4(m+3)2(m+3)2,Q4=-211-211-211-2(m+3)(m+3),P4=Q5Q3Q3Q5Q3Q3Q5Q3Q3Q5 (m+3)2(m+3)2,Q5=-2-2()(m+3)(m+3)。因此,式(1)可写为m2(B2,4(x,y)P3+B4,2(x,y)P4)X=0,(x,y),B4,4(x,0)X=f(x),0 x1,mB4,3(x,0)P2X=g(x),0 x1。(19)221http:在求解实际问题时,可获得的信息均为求解域内采样点处的信息。现设得到的整个求解域内的采样点序列为(xi,yi)n1,边界 1上的采样点为(x1i,0)1n11,那么对 Laplace 方程柯西问题的求解可转化为对如下问题的求解m2B2,4(x1,y1)B2,4(xn,yn)P3+B4,2(x1,y1)B4,2(xn,yn)P4()X=00n1,B4,4(x11,0)B4,4(x1n1,0)X=f(x11)f(x1n1),mB4,3(x11,0)B4,3(x1n1,0)P2X=g(x11)g(x1n1),即AX=b,(20)式中:A=A1A2,b=b1b2,A1=m2B2,4(x1,y1)B2,4(xn,yn)P3+B4,2(x1,y1)B4,2(xn,yn)P4(),A2=B4,4(x11,0)B4,4(x1n1,0)mB4,3(x11,0)B4,3(x1n1,0)P2,b1=00n1,b2=f(x11)f(x1n1)g(x11)g(x1n1)。4 Tikhonov 正则化由第 3 章可知,拉普拉斯方程柯西问题的求解转变为对代数方程组(20)的求解。在实际情况中,测量的数据可能不足,这对方程组解的存在性和唯一性会产生影响;其次测量数据会存在一些误差,可能导致问题的解与实际解相差很大,即解不稳定,因此柯西问题是非常不适定的,不能通过对方程组直接求逆的形式进行求解。Tikhonov 提出将一个带有紧约束的问题作为原问题的近似解,用此近似解来作为原不适定问题的稳定近似解1,即 Tikhonov 正则化方法20。考虑方程组 AX=b,XR(m+3)2,其正则化方法为minXAX-b2+2X22,(21)式中:0 为正则化参数;AX-b2称为保真项,保证求解的 X 使得 AX 与 b 的误差不能太大;X22是惩罚项,可以对解 X 进行限制,防止 X 爆破。正则化参数 用来平衡前后 2 项,当 很大时,后一项的作用较大,解可能比较光滑,当 较小时,前一项的作用较大,更类似最小二乘解,但是当 b 有噪声时,解 X 会受到很大影响,因此正则化参数的选取对正则化方法处理结果的好坏至关重要。本文在三次样条函数生成的平移不变空间中求解柯西问题,选取正则化参数=ch4,c 为大于 0 的常数。然后通过文献20给出的 Tikhonov 正则化方法的 Matlab 求解方法对柯西问题进行求解,可得到系数向量 X,进而得到拉普拉斯方程的近似解。321广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)5 数值例子在求解实际问题时,往往无法得知 f(x)、g(x)的解析表达式,可获得的信息为其在离散点处的函数值,且含有噪声,因此在数值模拟时运用:f(x1i)=f(x1i)(1+rand),g(x1i)=g(x1i)(1+rand),(23)式中:f(x1i)、g(x1i)为真实的数据;f(x1i)、g(x1i)为测量数据;为噪声水平;rand 为 Matlab 软件中在0,1产生的随机数。绝对误差用来衡量全局近似解与真实解的误差大小,计算公式为abs_error=u(x,y)-u(x,y),(24)式中:u(x,y)为真实解;u(x,y)为正则化 B 样条方法的近似解。相对均方根误差用来衡量局部近似解与真实解的误差,计算公式为rrmse=ni=1(u(xi,yi)-u(xi,yi)2ni=1u(xi,yi)2,(25)式中:n 为点的个数;u(xi,yi)、u(xi,yi)分别为在点(xi,yi)处真实解和正则化 B 样条方法得到的近似解。为保证本文所提方法应用的广泛性,不只适用于含网格点的计算中,在数值模拟时,取求解区域内的网格点和随机点作为实验点。取伸缩尺度 h=0.1,则近似解中的基函数共有 169 个,在区间0,1上所有三次 B 样条基函数 B4xh-(),=-1,11 的图像如图 2 所示,具体数值求解算法步骤如表 1 所示。0.2 0.4 0.6 0.8 1.000.70.60.50.40.30.20.1xB4图 2 0,1上三次 B 样条基函数图像Fig.2 Cubic B-spline basis function graph in 0,1表 1 数值算法Tab.1 Numerical algorithm算法输入:采样点(xi,yi)ni=1,(x1i,y1i)ni=1,B 样条函数 B4(x),B3(x),B2(x),f(x1i),g(x1i),参数 h,步骤 第 1 步 生成矩阵 A 和 b;第 2 步 求解系数向量 X=arg minXAX-b22+2X22;第 3 步 得到近似解u(x,y)=B4,4(x,y)X;第 4 步 计算绝对误差和相对均方根误差;输出 近似解u(x,y)以及绝对误差、相对均方根误差。421http:5.1 矩形区域柯西问题的求解当解析解为 u=cos xcosh y,求解域为矩形即边界 3=(x,y)|y=1,x0,1时,边界 1上的数据为 f(x1i)=cos x1i,g(x1i)=0,在区域 内取满足 Laplace 方程的离散点。首先在噪声水平为0.001 时进行实验,取正则化参数 为 0.8510-4,Tikhonov 正则化方法求解后可得到参数向量 X,进而便可得到全部求解域上方程的近似解。解析解与近似解在整个区域上的取值情况如图 3 所示。图 3 矩形区域下解析解与近似解的比较Fig.3 Comparison of analytic and approximate solutions in rectangular region从图 3 可以看出,重构函数值的变化情况与真实值总体上十分相近,局部误差并不明显,需要进一步分析其误差情况。因误差具有传播性,越远离初始已知边界的区域误差越大,接下来主要分析在边界 3上的误差情况。根据解析解的表达式可以得到在边界 3上的真实函数值为 u=cos xcosh 1,将其与重构出来的近似解进行比较,结果如图 4 所示。0 0.5 1.00 0.5 1.0 xxu1.61.51.41.31.21.11.00.90.80.0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060.0040.0024A,Da!Db4A图 4 边界 3上真实值与近似值的比较以及绝对误差Fig.4 Comparison of real and approximate solutions and absolute error on 3从图4 可以看出,边界 3上的函数值变化情况可以重构出来,且近似值非常逼近真实值,最大绝对误差约为 0.018 46,说明 B 样条方法求解拉普拉斯方程柯西问题是有效的。此外,为了分析数据噪声对数值结果产生的影响,在噪声水平为 0、0.001、0.01 和 0.03 时进行数值实验,可以发现当噪声水平增大时,相对均方根误差也在增大,结果如表 2 所示。为进一步验证本文所提方法的有效性,将本文算法与基本解法进行比较。基本解法是一种无网格算法,主要通过满足方程本身的基本解的线性组合来近似问题的解,其中521广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)源点位置的选择很重要,现有的方式有很多种,本文主要通过文献11中介绍的方法来进行计算,结果见表 2。通过比较,发现在不同噪声水平下,本文所提出的 B 样条方法误差均小于基本解法,效果较好。表 2 矩形区域不同噪声水平下 3边界的相对均方根误差比较Tab.2 Relative root mean square error of different noisy level in rectangular region on 3本文方法基本解法00.005 60.007 90.0010.010 40.094 90.010.112 80.357 50.030.178 50.299 65.2 含非光滑边界区域上柯西问题的求解5.1 节给出了在方程含有解析解情况下拉普拉斯方程柯西问题的求解,直接可以获得边界上的数据信息。但实际情况中往往无法得知精确的解析解,并且边界上的信息数据无法完全测量,因此,接下来考虑如下一个正问题来获取边界 1上的数据。u=0,(x,y),u(x,y)y=-2,(x,y)1u(x,y)x=0,(x,y)24,u(x,y)=10,(x,y)3,(24)式中:边界 3=(x,y)|y=(x),x0,1;(x)=x+0.5,x0,0.5),-x+1.5,x0.5,1。xy0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10图 5 区域内的离散点Fig.5 Discrete points in the region首先通过本文所提出的 B 样条方法来近似正问题中方程的解,然后通过最小二乘方法对正问题进行求解,之后便可得到在边界 1上狄利克雷边界条件的函数值。正问题中已获得黎曼边界条件的数据,因此便可对柯西问题进行求解。为避免造成反问题错误,解反问题时所采的边界 1上的点应与求解正问题时边界上的点非同一组点。求解反问题时取得的离散点如图 5 所示。先在噪声水平 0.001 下进行数值模拟,根据离散点即可得到相对应的代数方程组,取正则化参数 =3.610-4,Tikhonov正则化方法进行求解后,得到反问题的数值解。正问题与反问题的数值解如图 6 所示。图 6 显示出正反问题的数值解变化情况大致相同,但在具体区域上的误差情况并不明显,接下来给出其绝对误差的分布情况,如图 7 所示。根据图7 的绝对误差分布图可知,靠近已知边界 1的数值解的误差最小,越远离此边界,误差传播得越大,且在边界 3上的绝对误差最大,最大约为 0.208 3。边界 3上的函数值如图 8 所示。从图 8 可以看出,在光滑区域内,柯西问题的解可以较好地重构出来,在非光滑区域附近,正反问题数值解的绝对误差虽然稍大,但还是可以被重构。此外,在噪声水平为 0.01 时进行数值模拟,得到结果如表 3 所示。由表 3 可知,当噪声水平增大时,产生的相对均方根误差也在增大,均在 0.01 左右,重构效果较好。通过与 5.1 节所提基本解法的误差对比可知,B 样条方法获得的结果较好。621http:图 6 含非光滑边界的正反问题数值解Fig.6 Numerical solutions of direct and inverse problems in the region with non-smooth boundary图 7 绝对误差分布Fig.7 Absolute error distributionxu KMKM11.010.810.610.410.210.09.89.69.49.29.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0图 8 边界 3上的正反问题的数值解Fig.8 Numerical solutions of direct and inverseproblems on boundary 3表 3 含非光滑边界区域的不同噪声水平下 3边界的相对均方根误差比较Tab.3 Relative root mean square error of different noisy level in the region with non-smooth boundary on 3本文方法基本解法00.014 90.025 90.0010.006 80.014 20.010.025 80.027 7通过矩形区域以及含非光滑边界区域上的数值例子可以看出,在噪声水平为 0.001 时,问题的解均可被重构出来,当噪声水平增大时,相对均方根误差最大在 0.1 附近。因此本文提出的以三次 B 样条函数为基函数的 B 样条方法求解柯西问题是有效的。为验证 B 样条方法的数值稳定性,分别取不同组的样本点对 5.1 节和 5.2 节例子在噪声水平为 0.001时进行数值实验,得到结果如图 9、10 所示,可以发现当点的个数增加时,相对均方根误差在减小,因此 B样条方法是稳定的。721广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)05001 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 50010210110%+,A图 9 实验 5.1 在不同点数下的误差情况Fig.9 Error at different points in section 5.105001 0001 5002 0002 5003 0003 500102101100%+,A图 10 实验 5.2 在不同点数下的误差情况Fig.10 Error at different points in section 5.26 结语本文研究 B 样条方法求解 Laplace 方程柯西问题。借助 B 样条基函数的导数形式、平移不变稳定性等特点,在三次 B 样条生成的平移不变空间逼近 Laplace 柯西问题的解;然后根据控制方程和已知边界测量采样点数据,将柯西问题转化为对应的变分形式来进行求解;最后通过 Tikhonov 正则化方法去噪,获得柯西问题的稳定数值解。通过在矩形区域以及含非光滑边界的区域上对柯西问题进行求解,发现在光滑区域上得到的数值解逼近度更高,不同噪声水平下边界上的相对均方根误差最大在 0.1 左右,且 B 样条具有数值稳定性。此外通过与基本解法的比较,验证了 B 样条方法的有效性。参 考 文 献1 程晋,刘继军,张波.偏微分方程反问题:模型、算法和应用J.中国科学:数学,2019,49(4):643-666.DOI:10.1360/N012018-00076.2HADAMARD J.Lectures on Cauchys problem in linear partial differential equationsM.Oxford:Oxford UniversityPress,1923.3BUKHGEIM A L,CHENG J,YAMAMOTO M.Conditional stability in an inverse problem of determining a non-smoothboundaryJ.Journal of Mathematical Analysis and 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extremely ill-posed and requires effective numerical algorithms to solve it.AB-spline method is proposed to solve the problem in this paper.Firstly,the approximate solution of the problem isgiven in the shift invariant space generated by cubic B-spline functions.Then,based on the properties ofequation and B-spline basis functi