资源描述
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
（1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
图1
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
图2
（4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
解析：（1），，；（2）存在，或；（3）存在，或；（4）存在，的纵坐标总是4或．或者：点在平行于轴且与轴的距离等于4的两条直线上；或者：点在直线或直线上
【分析】
（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标；
（2）由，可以得到，即可得到P点坐标；
（3）由，可以得到，结合点C坐标，就可以求得点Q坐标；
（4）由，可以AB边上的高的长度，从而得到点的坐标规律．
【详解】
（1）∵点，点
∴向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为，点
∴
∴
（2）存在，理由如下：
∵
即：=12
∴
∴或
（3）存在，理由如下：
∵
即：
∵
∴
∵
∴或
（4）存在：理由如下：
∵
∴
设中，AB边上的高为h
则：
∴
∴点在直线或直线上
【点睛】
本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根据相关内容解题是关键．
2．已知，点在与之间．
（1）图1中，试说明：；
（2）图2中，的平分线与的平分线相交于点，请利用（1）的结论说明：．
（3）图3中，的平分线与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
3．如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．
（1）求的值；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
解析：（1） ；（2）的值为40°；（3）．
【分析】
（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】
证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴
∴
即
∵∠EOF=100°，
∴∠；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∵
∴
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴
∴
=x-y
=40°，
的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵FK在∠DFO内，
∴ ，
∵
∴
∴
即
∴
解得 ．
经检验，符合题意，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
4．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数；
（2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数；
（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°
【分析】
（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；
（2）∵AB∥CD
∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，
∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，
①当点G、F在点E的右侧时，
则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x，
∵∠ECD=80°，
∴x+x+x+x=80°，
解得x=16°，
∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；
②当点G、F在点E的左侧时，
则∠ECG=∠GCF=x，
∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，
∴180°-4x=80°+x，
解得x=20°，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，
∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．
解析：（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
6．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
解析：（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子即可；
（2）根据，用含t的式子表示出，根据（2）中给出的条件得出方程式 ，求出 t的值，进而求出的度数；
（3）根据灯B的要求，t<150，在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论．
【详解】
解：（1）．
又，．
，；
（2）设灯转动时间为秒，
如图，作，而
，，
，
，
，
，
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行．
依题意得
①当时，
两河岸平行，所以
两光线平行，所以
所以，
即：，
解得；
②当时，
两光束平行，所以
两河岸平行，所以
所以，，
解得；
③当时，图大概如①所示
，
解得（不合题意）
综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
7．如图，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．
（1）如图1，求证：；
（2）若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系；
解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点作，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）补全图形如图2、图3，
猜想：或．
证明：过点作．
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵平分，
∴．
如图3，当点在上时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即．
如图2，当点在上时，
∵平分，
∴．
∴．
即．
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
8．如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴的正半轴上，的面积等于18．
（1）求点的坐标；
（2）如图，点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，同时点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，点、点的速度都为每秒1个单位，设运动时间为秒，的面积为，求用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，连接并延长交于，连接交于点，若，求值及点的坐标．
解析：（1）；（2）（）；（3）的值为4，点的坐标是．
【分析】
（1）根据△AOB的面积可求得OA的长，即可求得点A的坐标；
（2）由题意可分别得，由三角形面积公式即可得结果，由点Q只在线段OB上运动，从而可得t的取值范围；
（3）利用割补方法，由则可求得t的值；连接OE，由可求得OF的长，从而求得点F的坐标．
【详解】
（1）∵B(-6，0)，
∴OB=6，
∵，
∴，
∴OA=6 ，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴（）
（3）∵，，
∴，
∴，
解得，则，
∴，
连接，如图
∵，
∴
∴
∴点坐标为
综上所述：的值为4，点的坐标是．
【点睛】
本题考查了代数式，三角形面积，用到了割补方法，也是本题的关键和难点．
9．如图，已知直线，点在直线上，点在直线上，点在点的右侧，平分平分，直线交于点．
（1）若时，则___________；
（2）试求出的度数（用含的代数式表示）；
（3）将线段向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出的度数．（用含的代数式表示）
解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（2）同（1）中方法求解即可；
（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．
【详解】
解：（1）当n=20时，∠ABC=40°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；
（2）同（1）可知：
∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；
（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；
当点B在点A右侧时，
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，
∴∠ABG=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．
10．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.
（1）求、的值；
（2）若点的坐标为且，求的值；
（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．
解析：（1），；（2）或；（3）
【分析】
（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b的值；
（2）设直线AB与直线x＝1交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出S△ABM，从而列出m的方程．
（3）根据题意知，临界状态是点P落在OA和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范围．
【详解】
（1）∵，，
∴，
解得：，
（2）设直线与直线交于，设
∵a＝−4，b＝4，
∴A（−4，0），B（0，4），
设直线AB的函数解析式为：y＝kx＋b，
代入得，解得
∴直线AB的函数解析式为：y＝x＋4，
代入x=1得
∵
∴＝×5×|5−m|−×1×|5−m|＝2|5−m|，
∵
∴
∴或
解得：或，
（3）当点P在OA边上时，则2t＝2，
∴t＝1，
当点P在AB边上时，如图，过点P作PKx轴，AK⊥x轴交于K，
则KP'＝3−t，KA'＝2t−2，
∴3−t＝2t−2，
∴
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”．例如：点，点，由，可得点与互为“距点”．
（1）在点，，中，原点的“距点”是_____(填字母)；
（2）已知点，点，过点作平行于轴的直线．
①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____；
②若直线上存在点的“点”，求的取值范围．
（3）已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围．
解析：（1）；（2）①；②；（3）．
【分析】
（1）根据定义判断即可；
（2）①设直线上与点的“距点”的点的坐标为（a，3），根据定义列出关于a的方程，解方程即可；
②点坐标为，直线上点的纵坐标为b，由题意得，转化为不等式组，解不等式组即可．
（3）分类讨论，分别取P与点M重合、P与点N重合讨论。当点P与点M重合时，设⊙C左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m-，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，解方程，取较小的值；当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m+，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，解方程，取较大的值，问题得解．
【详解】
解：（1）∵，O（0,0），
∴，
∴点D与原点互为“距点”；
∵，O（0,0），
∴，
所以点D与原点互为“距点”；
∵，O（0,0），
∴，
所以点D与原点互为“距点”；
故答案为：；
（2）①设直线上与点的“距点”的点的坐标为（a，3），
则，
解得a=2
故答案为（2,3）；
②如图，点坐标为，直线上点的纵坐标为b，设直线上点的坐标为（c，b）
则：，
∴，
∴,
∴,
即的取值范围是；
（3）如图（1），当点P与点M重合时，设⊙C左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m-，0），
∵点P与点Q互为“5-距点"，P（1,2），
∴，
解得： ，；
∵，
∴取．
当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m+，0），
∵点P与点Q互为“5-距点"，则P（3,2），
∴，
解得：， ，
∵
∴取
∴．
【点睛】
本题为新定义题型，关键要读懂题目中给出的新概念，建立模型，并结合所学知识解决即可．
12．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
解析：（1）-1；1；（2）30元；（3）-11
【分析】
（1）①+②，可得出的值，①-②，得的值；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元”列出方程组，再根据方程组的特征求出，进一步可求出；
（3）根据新定义，将数值代入新定义里，列方程组求解即可得出答案．
【详解】
（1）解：
①+②，得
；
①-②，得；
故答案为：-1，1；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据题意，得：
①×②－②得
∴（元）
答：5本日记本共需30元．
（3）
①②得
∴．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，熟练读懂题干中的“整体思想”是解题的关键．
13．判断下面方程组的解法是否正确，如果全部正确，判断即可；如果有错误，请写出正确的解题过程．
解：①×2-②×3，得，解得，
把代入方程①，得，解得．
∴原方程组的解为
解析：
【分析】
用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为①②，得，再求解即可．
【详解】
解：上述解法不正确．
正确解题过程如下：
①②，得，解得，
把代入方程①，得，解得．
原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．
14．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
超过15吨但不超过25吨的部分
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用，的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求，的值．
（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量．
（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的，的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
解析：；；吨；的值上调了时的值上调了或者的值上调了时的值上调了.
【分析】
（1）小王家今年3月份用水20吨，超过15吨，所以分两部分计费，15吨及以下费用为，超过15吨的费用为，故总费用；
（2）依题意列方程组，可求解；
（3）在第（2）题的条件下，正好25吨时，所需费用（元），可知若交水费76．5元，肯定用水超过25吨，可得用水量；
（4）由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9．6元钱水费，可列方程，满足方程的条件的解列出即所求.
【详解】
解：（1）小王家今年3月份用水20吨，要交消费为，
故答案为：；
（2）根据题意得，，
解得：；
（3）在第（2）题的条件下，当正好25吨时，
可得费用（元），
由交水费76．5元可知，小王家用水量超过25吨，
即：超过25吨的用水量吨，
合计本月用水量吨
（4）设上调了元，上调了元，
根据题意得：，
，
为整数角线（没超过1元），
当时，元，
当时，元，
的值上调了时，的值上调了；的值上调了时，的值上调了.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，并学会看图提练已知，用二元一次方程列举法来表示解.
15．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数．
解析：（1）∠C+∠BAD=90°，理由见解析；（2）9°
【分析】
（1）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C，可得∠C+∠BAD=90°；
（2）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°．
【详解】
解：（1）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C，
∴∠C+∠BAD=90°；
（2）如图3，过点B作BG∥DM，
BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（1）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α，
∴∠AFC=5α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=5α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=9°，
∴∠ABE=9°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
16．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
解析：（1）；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）．
【分析】
（1）利用①−②可得x－y的值，利用可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为元，记事本的单价为元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①-②可得的值，再乘5即可求得结果；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出的值，从而可求得结果．
【详解】
（1）
由①−②可得：x－y＝－1，由可得x+y＝5
故答案为：；5．
（2）设水笔的单价为元，橡皮的单价为元，记事本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
．
故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．
（3）依题意得：
由3×①−2×②可得：
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x-y，x+y的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组．
17．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时， 平方厘米；当时， 平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．
解析：（1）1； （2） （3）
【分析】
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据题意列出不等式组故可求解；
（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．
【详解】
（1）当时，=1平方厘米；
当时，=平方厘米；
故答案为；；
（2）解：根据题意，得
解得，
故的取值范围为；
（3）当Q点在AB上时，依题意可得
解得；
当Q点在BC上时，依题意可得
解得＞6，不符合题意；
当Q点在AB上时，依题意可得或
解得或；
∴值为．
【点睛】
此题主要考查不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程或不等式组进行求解．
18．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；
（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为盒
【详解】
（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得：
解得：
茶叶盒的容积是：
答：该茶叶盒的容积是
（2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得：
化简得：①
第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量
即
由①得：
解得：
是整数，所以为5的倍数
或者
或者
答：这批茶叶共进了或者盒．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
19．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
解析：（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，
【分析】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
20．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；
（2）由a＞0得出2a＞a-1，-a-1＜-a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意，得：，
解得；
（2）∵a＞0，
∴2a＞a，
∴2a＞a-1，-a＜-a，
∴-a-1＜-a，
∴，
解不等式①，
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