单集中阻尼张紧弦动力时程分析方法对比研究.pdf

Jun.20232023年6 月JOURNALOFDONGCUANERSTTYOFTECHNOLOGYVol.30No.3第30 卷第3期学院学报东莞理单集中阻尼张紧弦动力时程分析方法对比研究王宪东1王弘阳？（1.重庆交通大学土木工程学院，重庆400074；2.兰州理工大学理学院，甘肃兰州730050)摘要：集中阻尼张紧弦动力时程分析方法对比研究，采用精细时程积分法与纽马克（Newmark）法两种方法进行算例分析，主要探讨精细时程积分法与纽马克法对积分步长的敏感度。研究发现，精细时程积分法和纽马克法，可以无条件稳定，当积分步长逐渐增大时，精细时程积分法依旧可以精确计算，得到准确结果，纽马克法计算精度受限，导致出现误差，故在进行单集中阻尼张紧弦的动力时程分析时，精细时程积分法优于纽马克法。关键词：张紧弦；阻尼；振动；状态空间；积分步长；精细时程积分法；Newmark法中图分类号：0 30 2文献标志码：A文章编号：1 0 0 9-0 31 2（2 0 2 3）0 3-0 0 9 5-0 6在桥梁工程中，斜拉桥上斜拉索的长期性能问题一直是备受关注的热点1-3。斜拉索自身的细长使得它们容易振动，为了研究斜拉索振动特性，可以将其简化为一根两端固定的弦。外置阻尼器在实际工程中应用广泛，通常用来对斜拉索进行减振，因此与动力学有关的工程索结构的减振问题必然涉及到阻尼混合弦的动力时程分析问题。从1 9 8 1 年开始，关于集中阻尼弦的问题外国学者 Carne4已经有研究。关于阻尼混合弦的本征问题备受研究界关注5-6 ，Main7研究了单阻尼混合弦本征问题，作者利用复特征值问题的解析公式，详细研究了带有线性粘滞阻尼器的张拉索的自由振动。BM Pacheco、YFu j i n o、A Su l e-kh8为了简化桥梁工程中拉索的粘性阻尼器的设计程序，提出了一种通用的估计曲线，并通过几个数值例子说明了这种设计辅助工具的方便性。郑罡9】利用Dirac函数，在全域里建立并求解了集中阻尼弦的动力学方程，讨论并且得出了混合动力学系统的特性，文献9 所讨论的这些问题，对本研究有重要的指导作用。该领域关于集中阻尼弦的动力时程分析问题研究较少，学者陈建兵、曾小树、彭勇波1 0 首次分析了粘滞阻尼器系统的刚性特征，在此基础上引人向后差分格式，数值分析结果表明此方法具有足够的精度和效率。李寿英、顾明、陈政清川研究了阻尼器对拉索风雨激振的控制效果，详细分析了阻尼器各种参数对控制效果的影响。Chen L 等1 2 提提出了一种弦系统自由振动和强迫振动分析的通用数值模型，作者使用该模型对比较典型的弦系统进行了自由振动分析，表明了该方法的有效性和准确性。针对动力时程分析方法，学者王元丰、储德文1 3】扶提出一种将精细积分法与纽马克-（Ne w m a r k-）法耦合起来的结构动力学时程积分方法，文献【1 3中通过理论推导和算例验证，表明了该方法在结构动力分析中的有效性。李靖、李彬、唐小微1 4分析了在进行动力时程分析时优化时间步长与计算精度的相关性，并且基于收敛性、稳定性、计算精度和计算效率四个方面对时间步优化方法的优劣进行了评价。精细积分方法是钟万1 51】于1 9 9 3年提出的一种高效精确的逐步积分方法，它是显式且无条件稳定的，并适用于非正交阻尼体系。结构动力方程的精细时程积分法1 5】对于线性的定常结构动力系统的分析提供了精细时程积分方法，对于本文研究动力时程问题提供了方法思路。综上可知，该领域运用两种及两种以上动力时程分析方法，针对集中阻尼弦系统的动力时程问题进行的对比研究较少，同时此类研究多集中于单一方法的探究。动力时程分析的部分研究虽然运用多种方法进行对比分析，但并不针对阻尼弦系统，也未能给出影响计算精度的因素。本文针对单集中阻尼张紧弦进行动力时程分析，运用两种方法进行有限元算例分析，其中精细时程积收稿日期：2 0 2 2-0 8-1 8作者简介：王宪东（1 9 9 7 一），男，甘肃天水人，硕士生，主要从事工程力学研究，Email：1 2 8 7 548 9 0 7 q q.c o m。962023年东莞理工学院学报分法在状态空间中求解。通过与理论解进行对比分析，证明了精细时程积分法精度更高，更贴近真实解，同时探讨了影响两种方法计算精度的因素，以及阻尼位置改变时动力时程的变化情况。1数学模型1.1研究模型的建立本研究对象为一根两端固结的带集中阻尼器的张紧弦，弦两端承受张力T，除此之外不受任何外荷载作用。此研究对象作为单阻尼系统，阻尼所在位置可任意改动，研究对象模型示意图如图1 所示。LTmT图1带集中阻尼器的张紧弦其中：L为弦长，m为弦的线质量密度，T为张力常数，c为阻尼系数，以弦的左端点为坐标原点，以该点指向弦右端点的方向为正方向建立坐标，阻尼在弦上的位置为x。1.2集中阻尼弦初值问题的有限元动力学控制方程根据有限元方法，阻尼弦系统的振动控制方程为Mu+C u+Ku=O,(1)其中【M，【C ，【K】分别为结构的总质量，阻尼，总刚矩阵，【M，【C】，【K】均为对称矩阵，节点位移列阵为 u。u ，【u ，u 分别为加速度、速度、位移向量。1.3有限元模型本文有限元研究模型为单位阻尼弦9 ，单位阻尼弦为具有单位长度、单位张力和单位线密度的阻尼弦，本文所研究的单位阻尼弦带有单项阻尼c。将张紧弦在进行有限元分析时划分为1 0 0 0个桁架单元，从左至右共有1 0 0 1 个节点，令弹性模量E=2.110ll。1）质量矩阵：单元质量矩阵为集中质量矩m;0阵，M.=之，将单元质量矩阵进行20m;组装，得到最终的总质量矩阵。2）刚度矩阵：本文中的刚度矩阵是通过考虑几何非线性由张力产生的矩阵，因此单元刚度-1，将单元刚度1矩阵为K.=二.阵进行组装，得到最终的总刚度矩阵。3）阻尼矩阵：本文中阻尼矩阵是由集中阻尼器产生的非经典阻尼矩阵，因此阻尼矩阵为n行n列的方阵Cnxn（n 为系统总的自由度数），矩阵中元素为Ci。假设阻尼位于第N个节点处fc,i=j=NCo,其它若此时阻尼器安装位置未设置节点，阻尼等效到阻尼器相邻的两个节点处。2分析方法2.1结构动力方程的精细时程积分法精细积分方法是钟万魏1 5】于1 9 9 3年提出的一种高效精确的逐步积分方法，它是显式且无条件稳定的，并适用于非正交阻尼体系。精细时程积分法求解此问题，需要通过降阶的办法转化形式，在状态空间中求解。引人状态变量(2)V结合恒等式=，(3)方程（1)可降阶为下列一阶微分方程(iu)=Hul,(4)其中0=H,B=-M-K,G=-M-CLBG(5)方程的齐次解为V(t)=T(T)(C),(6)其中【T()=exp（H），在积分步长内tEt k，t k+内，T=t-Tk。则在本步长的初始时刻t=tk，即T=0时，得到方程（4）通解(V(t)=T(T)/V(t),(7)（V（t）根据所假定初始方程得出，此时问题归结为精细地计算T（），具体求解方法见结构动力方程的精细时程积分法1 52.2Newmark法Newmark法所采用的数值积分格式，其实质就是线性加速度法的推广，Newmark法的递推公97第3期王宪东，等：单集中阻尼张紧弦动力时程分析方法对比研究式为式为1M+-C+KWi+AttAt(B-2)c)FF+42(B-1)cli,+BM+M+LAtAtAt(8)在本文的研究中，参数取0.5，参数取0.5，且已知当0.5，0.2 5（0.5+）时，此算法无条件稳定，具体求解方法见有限单元法原理与应用1 6 O3算例分析本算例有限元研究模型主要参数如表1 所示。表1模型参数弦长单位密度阻尼C张力T弹性模量11112.110ll3.1算例1：中点阻尼弦此时系统固有振型存在理论解，理论解有两种情况，针对这两种情况，分为工况1 与工况2展开研究。为了分析精细时程积分法与Newmark法对积分步长的敏感度，该算例考虑了两个积分步长：0.0 1 s，0.1 s，与理论解来进行对比分析，数值解按理论解给定初始条件。坐标轴标签的物理含义：t（s）为时间坐标，时间单位“秒”；x为阻尼在弦上的位置。3.1.11工况1设理论解为u=sin2Txcos2t，有限元分析设定阻尼位于中点，此时阻尼不起作用，模型两端固接。以图2 中位移均为无量纲位移。1）积分步长取0.0 1 s，总时长1 0 s，共1 0 0 0步，图2 给出了0.1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）与理论解曲线的对比图像，图3给出了1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线的对比图像。通过以上图像对比可知，当积分步长取0.0 1s时，精细积时程分法与Newmark法的系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线重合，两种方法均可得到与理论解高度吻合的结果。2）积分步长取0.1 s，总时长1 0 s，共1 0 0步，图4给出了1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）与理论解曲线的对比图像，图5给1.0理论解0.5一一精细时程积分法一Newmark法0.04-0.5-1.00.00.20.40.60.81.0X图2第0.1 s时系统的位移时程图理论解一精细时程积分法一Newmark法0.03-0.02-0.070246810t/s图310号自由节点的位移时程图出了1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线的对比图像。1.0理论解一会一精细时程积分法0.5一Newmark法0.0-0.5-1.00.00.20.40.60.81.0X图4第1 s时系统的位移时程图鑫A鑫鑫八鑫0.03-0.02-0.070246810t/s图510号自由节点的位移时程图通过以上图像对比可知，当积分步长取0.1 s时，精细时程积分法的系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线重合，与理论解高度吻合；Newmark法计算精度受限，导致出现误差，时程曲线与理论解出现偏移，本算例所研究的初值问题，不存在荷载模拟导致的误差，由此可见是算法本身导致的误差。以系统的位移982023年东莞理工学院学报时程图4为例，Newmark法的最大相对误差为11.6%，此误差使系统的动力时程分析结果比实际情况要低。用显式算法求解该问题是导致Newmark法出现误差的主要原因，显式算法基于动力学方程，直接根据当前时间步的状态推导出下一时间步的状态，但此算法的计算结果对时间步长的敏感性较高。3.1.2工况2设理论解为u=(A+B)e(a+i)+(A-B)e(a-ji),12其中A=sinh(x)cos(wx),B=jcosh(ox)sin(wx)1u=(A+B)e(a+in)+(A-B)e(a-im),2其中A=sinh(1-x)cos(w(1-x)B=jcosh(1-x)sin(w(1-x)有限元分析设定阻尼位于中点，此时阻尼起作用，模型两端固接。根据文献9 本征函数形式，此时工况2 理论解中参数=-1.09861229，取1 阶本征函数时，理论解中参数w=。以下图像中位移均为无量纲位移。1）积分步长取0.0 1 s，总时长1 0 s，共1000步，图6 给出了0.1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）与理论解曲线的对比图像，图7 给出了1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线的对比图像。0.03-0.02-0.070246810t/s图6第0.1 s时系统的位移时程图通过以上图像对比可知，精细积时程分法与Newmark法的系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线重合，两种方法均可得到与理论解高度吻合的结果。2）积分步长取0.1 s，总时长1 0 s，共1 0 0步，图8 给出了1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）与理论解曲线的对比图像，图9 给0.15理论解-0.05一会一精细时程积分法一Newmark法0.25-0.45-0.65-0.850.00.20.40.60.81.0X图710号自由节点的位移时程图出了1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线的对比图像象（前4秒曲线偏移较明显，故此处只截0.020.010.00AAAAAAAAAA-0.01-0.02一理论解一精细时程积分法-0.03Newmark法-0.04-0.050246810t/s图8 第1 s时系统的位移时程图0.150.100.05位人0.00一理论解双一精细时程积分法-Newmark法-0.050.00.20.40.60.81.0X图910号自由节点的位移时程图取前4秒图像）：通过以上图像对比可知，当积分步长取0.1 s时，精细时程积分法的系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线与理论解曲线重合，与理论解高度吻合；Newmark法计算精度受限，导致出现误差，时程曲线与理论解出现偏移，本算例所研究的初值问题，不存在荷载模拟导致的误差，由此可见是算法本身导致的误差。以系统的位移时程图8 为例，Newmark法的最大相对误差为1 9.4%，此误差使系统的动力时程分析结果比实际情况要低，出现误差的主要原因在3.1.1 进行了说明，此处不再赘述。3.2算例2：1/4阻尼弦此时系统固有振型没有理论解，因此只针对99王宪东，等：单集中阻尼张紧弦动力时程分析方法对比研究第3期精细时程积分法与Newmark法进行对比分析，并给出对比结果。有限元运算时设置初值u=sin（2 mx），有限元分析设定阻尼位于弦长1/4处，此时阻尼起作用，模型两端固接。为了分析精细时程积分法与Newmark法对积分步长的敏感度，该算例考虑了两个积分步长：0.0 1 s，0.1 s，来进行对比分析。以下图像中位移均为无量纲位移。坐标轴标签的物理含义：t（s）为时间坐标，时间单位“秒”；x为阻尼在弦上的位置。1）积分步长取0.0 1 s，总时长1 0 s，共1000步，图1 0、图1 1 分别给出了精细时程积分法与Newmark法0.1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）对比图像、1 0 号自由节点位移时0.01-0.01一理论解-0.03一精细时程积分法Newmark法-0.0501234t/s图1 0第0.1 s时系统的位移时程图1.00.5一精细时程积分法一Newmark法0.0位-0.5-1.00.00.20.40.60.81.0X图1 110号自由节点的位移时程图程曲线对比图像：通过以上图像对比可知，当积分步长取0.0 1 s时，运用精细时程积分法与New-mark法所得系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线重合，两种方法所得结果相同。根据算例1 可知，精细时程积分法计算结果可以认为是真实解，因此可得结论：当积分步长取0.0 1 s时Newmark法计算精度满足要求，可以得到准确的结果。2）积分步长取0.1 s，总时长1 0 s，共1 0 0步，图1 2、图1 3分别给出了精细时程积分法与Newmark法1 s时系统位移时程曲线（积分步长第1 0 步）对比图像、1 0 号自由节点位移时程曲线对比图像。0.080.060.04一一精细时程积分法一Newmark法0.02位0.00-0.02-0.04246810t/s图1 2第1 s时系统的位移时程图0.70.5一精细时程积分法一Newmark法0.30.1-0.1-0.3-0.50.00.20.40.60.81.0X图1 310号自由节点的位移时程图通过以上图像对比可知，当积分步长取0.1 s时，运用精细时程积分法与Newmark法所得系统位移时程曲线、1 0 号自由节点位移时程曲线不再重合，发生偏移。根据算例1 可知，精细时程积分法计算结果可以认为是真实解，因此可得结论：当积分步长取0.1 s时Newmark法计算精度受限，导致出现误差，本算例所研究的初值问题，不存在荷载模拟导致的误差，由此可见是算法本身导致的误差，出现误差的主要原因在3.1.1 进行了说明，此处不再赘述。4结语运用精细时程积分法和Newmark法来进行单集中阻尼张紧弦动力时程分析研究。通过研究两种方法在不同积分步长条件下系统位移时程图像、单个自由节点位移时程图像的变化情况，并与理论解进行对比，来分析精细时程积分法与New-mark法对积分步长的敏感度。最后还通过改变阻尼位置，对比了两种方法在不同积分步长情况下的位移响应。研究发现，运用精细时程积分法和Newmark法进行动力时程分析，精细时程积分法和New-mark法，可以无条件稳定，但是在相同条件下精细时程积分法拥有更高精度，当积分步长逐渐增1002023年东莞理工学院学报大时，精细时程积分法依旧可以精确计算，得到准确结果，但Newmark法计算精度受限，出现误差。由此可得结论，在进行单集中阻尼张紧弦的动力时程分析时，精细时程积分法优于Newmark法。所以在研究斜拉索振动的动力时程问题时，将研究模型简化为集中阻尼张紧弦，运用精细时程积分法进行分析可以认为是真实解。因此，本文通过对比研究，对于斜拉索振动的动力时程问题研究方法的选择提供了方案。参考文献1彭剑，李禄欣，胡霞，等.时滞影响下受控斜拉索的参数振动稳定性J应用数学和力学2 0 1 7,38（2）：1 8 1-1 8 8.2赵文忠，康健，梁栋索梁结构面内耦合振动机理研究J重庆交通大学学报（自然科学版），2 0 1 9,38（8）：2 0-2 6.3汪峰，陈福青，文晓旭，等。考虑温度影响的斜拉索参数振动模型及响应分析J.重庆交通大学学报（自然科学版），2 0 1 6,35（2）：1-5.4CARNE T G.Guy cable design and damping for vertical axis wind turbinesJ.Wind Turbine Dynamics,1981(5):255-164.5MASAHIRO,YONEDA,KEN-ICHI,et al.A study on practical estimation method for structural damping of stay cables with dampersJ.Doboku Gakkai Ronbunshu,1989(410):455-458.6KRENK S.Vibrations of a Taut Cable With an External 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History AnalysisMethods of Single ConcentratedDampingTaut StringWANGXiandongWANG Hongyang(1.School of Civil Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074,China;2.School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)Abstract A comparative study of dynamic time history analysis methods of single concentrated damped taut string is con-ducted.Two methods,precise time history integral method and Newmark method,are used for example analysis.The sensitivity ofthe precise time history integral method and Newmark method to integration step length is mainly discussed.It is found that the pre-cise time integral method and Newmark method can be unconditionally stable.When the integration step size gradually increases,the precise time integration method can still be accurately calculated and get accurate results.The calculation accuracy of Newmarkmethod is limited,which leads to errors.Therefore,the precise time integral method is superior to Newmark method in the dynamictime history analysis of single concentrated damping taut string.Key words taut string;damping;vibration;state space;integration step;precise time integral method;Newmark method