带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子.pdf

第40 卷第3期2023年6 月D0I:10.13482/j.issn1001-7011.2023.03.233黑龙江大学自然科学学报JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITYVol.40No.3June,2023投稿网址：https:/带线性记忆的Kirchhoff 型耦合吊桥方程的指数吸引子王雪，姜金平，王思博，魏佳（延安大学数学与计算机科学学院，延安7 16 0 0 0）摘要：考虑带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程指数吸引子的存在性问题。首先，引入历史位移变量将问题转化为确定的自治系统；其次,讨论解半群在强弱空间中的有界吸收集存在；最后，利用算子分解方法研究带线性记忆的Kirchhoff 型耦合吊桥方程指数吸引子的存在性。关键词：吊桥方程；记忆项；Kirchhoff型；指数吸引子；算子分解中图分类号：0 17 5.2 9文献标志码：A文章编号：10 0 1-7 0 11(2 0 2 3)0 3-0 2 53-13Exponential attractors of Kirchhoff type coupled suspensionbridge equations with linear memoryWANG Xue，JIA NG Ji n p i n g，W A NG S i b o，W EI Ji a(School of Mathematics and Computer Science,Yan an University,Yan an 716000,China)Abstract:The existence of exponential attractors for Kirchhoff type coupled suspension bridge equationswith linear memory is considered.Firstly,the historical displacement variable is introduced to transformthe problem into a definite autonomous system.Secondly,the existence of bounded absorption sets instrong and weak spaces of solution semigroups is discussed.Finally,the operator decomposition method isused to study the existence of exponential attractors of Kirchhoff type coupled suspension bridge equationswith linear memory.Keywords:suspension bridge equation;memory item;Kirchhoff type;exponential attractor;operatordecomposition(1)0引言考虑带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程u+u,+au-J,u(s)u(t-s)ds-(1+J。I Vu l d x)A u +h (u-)*+f(u)=g i(x),(x,t)e R*uu+v,-Au-J.(s)v(t -s)d s -h (u-v)*+f(u)=g2(x),(x,t)e R*u(0)=u(0)=u(L)=u(L)=O,v(0)=v(L)=0u(x,t)=uo(x,t),u,(x,0)=ui(x,t)(x,t)=R*(v(x,t)=vo(x,t),v(x,t)=v(x,t)(x,t)E R*收稿日期：2 0 2 2-12-2 9基金项目：陕西省自然科学基础研究计划（2 0 18 JM1042）；陕西省大学生创新创业训练计划（S202110719094）通讯作者：姜金平（197 4-），男，教授，博士，主要研究方向：无穷维动力系统，E-mail：y a d x j p 16 3.c o m引文格式：王雪，姜金平，王思博，等带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子J黑龙江大学自然科学学报，2 0 2 3，40(3):253 265.254指数吸引子的存在性。其中,，（u-）是恢复力，表示弹性系数，表示记忆核，函数（u-）=m a x（u-）,0,外力项g（），g 2（）L（），是内光滑边界a的有界开区域。对于吊桥方程和指数吸引子的一些问题已被很多学者研究1-18 ;1990 年，Lazer等首次提出耦合吊桥方程2018年,贾澜等利用算子分解的方法研究了带强阻尼的Kirchhoff 型吊桥方程指数吸引子的存在性3；2 0 19年，王美霞等通过紧性平移定理及构造三元解相空间研究获得了带记忆项的Boussinesq 方程u-u+u-Au,-J(s)(u(t-s)ds-Ag(u)=f(x)指数吸引子的存在性4；2 0 2 2 年，王彩霞等利用能量估计和算子分解的方法研究了带记忆项和线性阻尼的Kirchhoff 梁方程u+u+u,-J,u(s)(u(t-s)ds-M(J I Vu(x)dx)Au+f(u)=h(x)指数吸引子的存在性5。Kirchoff 型耦合吊桥方程比单个吊桥方程更加全面的考虑了其桥面的可拉伸性和主链的运动情况，但是对于Kirchhoff 型耦合吊桥方程指数吸引子的研究很少,故基于以上文献的启发，本文构造三元解相空间将算子分解的方法应用于耦合类的方程中,对恢复力K（u）*进行新的处理，研究得到了带线性记忆的Kirchhoff 型耦合吊桥方程指数吸引子的存在性。1预备知识首先需将问题(1)转化成确定的自治系统,根据文献7-8 的启发引入历史位移变量n=n(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),=(x,s)=v(x,t)-v(x,t-s),(x,s)e R+,t0则n(x,s)=-n(x,s)+u(x,t),(x,s)=-y(x,s)+v(x,t),(x,s)e 2 R*,t 0令=1+u(s)d s，=1+(s)ds且L（R*），那么方程(1)就可转化为uu+u,+u+J,u(s)n(s)ds-(1+J.I Vu|dx)Au+he(u-v)*+fi(u)=gi(x),(x,t)=R*u+v,-u+J,u(s)Ay(s)ds-h2(u-)*+f(u)=g(x),(x,t)=Q R*n.=-n,+ur,=-,+,(x,t,s)R*R+边值条件为u(0)=u(0)=u(L)=Au(L)=O,(x,t)R+n(0)=n(0)=m(L)=n(L)=0,(x,t,s)=R*R+u(x,0)=uo(x),u,(x,0)=ui(x),n(x,0)=0,n(x,s)=mo(x,s)v(0)=v(L)=0,(x,t)=R*,=(L)=0,(x,t,s)R*R+D(x,0)=vo(x),v,(x,0)=vi(x),(x,0)=0,(x,s)=o(x,s)其中ruo(x)=uo(x,0),v(x)=o(x,0),x u(x)=0,uo(x,t)It=0,vi(x)=0,vo(x,t)t=0,x e(no(x,s)=uo(x,0)-uo(x,s),(x,s)=vo(x,0)-Vo(x,s),(x,s)=2R+不失一般性,定义 Hilbert空间族V=D（A 4），定义其范数和内积为(u,v),=(A4u,A4),llull/,=IlA4ull式中A=。当s=0时,记V=L（）；当=2 时,记V=H（），相对应的定义其内积和范数为(u,v)=(u,v),llul?=Ilull/,(u,v)2=(A2u,A),Ilull/=IlAull2=lull2黑龙江大学自然科学学报u-Cjuxx+Oju-h(u-v)*=ef(x,t)uu+Czux+O,u,+h(u-)*=Wouu+u,+u-(1+/Vu2dx)Au+kut+f(u)=g(x)第40 卷(2)第3期用IAull表示D(A）的范数,其中D(A)=(u H(0):u l显然，式中：H*、V分别是H、V,的对偶空间。特别地,有紧嵌人Vs+1CV,和Poincare不等式式中入是在D(A）中的第一特征值。设方程(1)中的非线性函数f C(R,R）满足条件(H,)lim inri()Is-00S(H,)If(s)|C(1+Isl),Vs R,p1,i=1,2由条件（H）和条件（H,）可知,存在正常数K、K、K,和K，=（），=（）O,使得fi(s)s+ns+Ki 0,Fi(s)+ns?+K,0,Vs e R(3)fa(s)s+s?+K,0,F,(s)+?+K4 0,Vs e R(4)设方程（1)中的记忆核函数（）满足条件(H,)E C(R*)nL(R*),(s)O(s),Vs R*(H)J(s)ds=o 0,u(s)+&(s)0,8 0,Vs R+由条件（H，）、（H 4）定义如下Hilbert空间并在M上定义线性算子T,定义域为D(T)=(n,Mla,n,o,=M,n(0)=0,(0)=0)式中：T=，T=a.，,D(T），n 表示关于内部变量的分布导数，表示关于内部变量s的分布导数,则D(T)空间上的内积可定义为(n1,n2)d(T)=(n1,n2)m+(a,n1,0,n2)m,(1,2)D(T)=(1,2)m+(0,1,0,2)m定义16 纟给定L，在L中的尾部函数是T,:1,）0,）,定义为T,(x)=J(s)IA12m(s)lds+Jr(s)IlA12m(s)lds,x=R*1/王雪等：带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子I an=0)=Hr(0)n H()V,C Vi C H=H*C Vllull?Ilull,Vue V+i,F,(s)=f(r)dr,Vs eR,i=1,2M=L(R*;V),L=L(R*;V2)255Qu同样可定义T(x引理1 6 若CCL满足下列条件：(1)sup ll ll/,sup ll ll,0nEC(2)sup lla,n l o0,sup lla,ll m 0，使得dist(S(T)B,M）W(IIBIl x)e-，其中 S(T)/为完备度量空间中X的半群，则集合M为半群(S(T)/o的指数吸引子。引理2 3】设X H是一不变紧子集，且W到H是紧嵌入,存在时间t.0,使得如下条件成立：（1）映射（t,zo）S(T)：0,t XX是Lipschitz连续的;（2）映射S(）：XX有如下分解：式中S。满足S,满足则半群S(t）：XX存在指数吸引子。引理3(解的存在唯一性)6 EV,i=1,2,则（1）若初值（uo,oui,1,no,）=H,那么问题(2)有一个弱解并且满足u,u e L(0,T;V),u,u,=L(O,T;H),n,e L(0,T;Le(R*,Vi)（2）令z;=（u,n,u,n ,）是问题(2)对应于初值z（0）=（u,i,i,n o,%）的一个弱解,则对于常数c 0,有因此,问题(2)存在唯一的弱解（u(T),(T),u,（T),（T）,n,）,定义算子S(T):HH为S(T)(uo,vo,u,Vt,no,o)=(u(T),(T),u,(T),(T),n,y),t 0算子S（T）满足半群的性质且可定义一个在H上局部Lipschitz连续的非线性C。半群。2有界吸收集2.1H中的有界吸收集定理1设条件（H）（H 4）成立，g;V，i=1,2,则对任意的BCH,均存在to=to（B），使得当tto(B）时,有S(T)BC B。,即球B。=B(O,p i）是问题(2)的解半群S（T)0 在H中的有界吸收集。证明取0 0Izi(T)-z(T)le z(0)-z2(0)l,t=0,T第40 卷-s(1-8)(u,p)+8 lul?+(n,u,)m+8(n,u)+8 llVul?+ll ull4+(1-8)Illl-8(1-8)(v,)+I/Vl2+(,u,)m+(,u)m+(k(u-v)*,-)+(fi(u),)+(f(v),)=(gi(x),)+(g2(x),b)式中(k2(u-)*,-)dtJodgiudx+eJ.g/udx,(g2,b)(g1,)dtJa由式(2）、Holder不等式和条件（H4）得(5)1d2Il(u-)+I+k?I(u-v)+II22dtg2vdx+8J.g2vdxdtJ.Mo?AuM4(6)dtJd.F,(u)dx+8Jfa(v)vdxd8(7)(8)(9)第3期王雪等：带线性记忆的Kirchhoff 型耦合吊桥方程的指数吸引子257(10)+Ilyll/,8(y,u,)m-24利用Holder不等式、Young不等式和Poincare不等式得(1-8)Ill2-8(1-)(u,)+llul/2+(1-8)Ill2-8(1-8)(v,)+8 lVull2(1-28)Ill2+e(1 将式(6）式(11)代人式(5）,整理后得到1d2M)/+(1-2)/1+(1-%)4入4入Vu28(11)4入4+ek?Il(u-v)+I+8fi(u)udx-8J,giudx+Jfa(v)vdx-8J,g2vdx0令E(T)=ll ll +II l/+I/u ll +2I ull4+I/2+I/l?+I/+Il/+?Il(u-)+II2+2/Fi(u)dx-2 J.g/udx+2/,F,(v)dx-2,g2dxJ2I(T)=(1-2e)l l+e(1-4元_M0入/VuI2十十4入14,giudx+eJf(v)vdx-J.gadx0根据式(3）、式(4)及Sobolev紧嵌人定理,有2IIu l I +22Ilgi I2,M,=2K4 1/+式中:M,=2K,12|+入同理可得llgl/2,M4=eK,1021+282入8S2JIu2I/ml/+el/ull/+l/ul+(1-2)Il/l/十4Ill/+ek?I(u-0)*1/+fi(u)udx F,(u)dx-2.g/udx+2/,F,(0)dx-2 J,g2vdxJ11_2)Il u lI -M,-M22入22g入u)udx-eJ,giudx+eJfa(v)vdx-8J.g2vdx2-入42g22(12)(13)(14)(15)(16)将式(15）和式(16)分别代人式(13)和式(14),得_2)E(T)l=+(-（2-）+I/nl/+Il/l/+k?I(u-)*II2-M,-M,I(T)(1-2)ll2+(+(1-2 8)l=+8(_ 2)/Vul/22入，16+4n _ 4o)246+4y24入(17)I/nl/+ll ull2+l/ull44VullIl/,+8k?I(u-)*12-M,-M44(18)258取8，n，充分小,令1_2n.1_2.C,=min 22入1则E(T)C,(llI/2+IAu ll2+l Vu I2+I/Vul14+IlI2+IIV ll2+ll l/+I/l/+k I(u-)+112)-M,-M,I(T)C(lll/2+IAu ll 2+ll/+II Vu l l 2 +IIVu l 4+l I2+/2+l/+k?I(u-)+2)-M,-M4d从而有dtE(T）+2 1(T）O，两边同时积分得E（T）-2 I(T)d+E(0）,则有C(Il lI+I/Aull+I ull2+II ul4+I+l2+II VI2+IlnI/M+Il I/+K?Il(u-)+1)-M,-M,-2C(Il lI+IIull +II u I+II ul+I/2+/Vl2+I/I/+I/IM+k?Il(u-)*II2)-M,-M,Jdr+E(O)M,+M4因此,对 Vp,存在to=to(B)使得C,Ip(to)/2+I/Au(to)II2+II u(to)II2+II u(to)4+Il+(to)12+I/u(to)/2+II n0l/+Ill/+k?I(u(to)-(to)+1 p1故如果u、是方程(1)的解,令 B。=U S(T)B,其中B,=I(uo,o,ui,u1,no,%o)e H:ll ur+su ll+Ilu I?+Il Vu I?+Il u l4+Il +8ll 2+I/lI2+Il /M+Il/ll/+k?1(uo-)+1)p1则B。是半群（S(T)/o的一个有界吸收集。推论1假设外力项g;EV，i=1,2，非线性项f符合条件（H,）和条件（H,），且条件（H，）和条件（H）成立,则存在常数pO,使得对任意zR,都有 IlS(T)zllp，t 成立。2.2V中的有界吸收集定理2设条件（H）（H 4）成立，g;V，i=1,2,则存在p0,当初值Il oll vr=Il uo,o,uj,u1,no,llv,pi则有 M。=M.(p l)0 ,p 2 0 ,C,0 ,使得当 Vt0时,有 S(T)zoll/,M,e-c+p2。证明在空间中用=u,和-=与问题(2)中的两个方程分别作内积,整理得到黑龙江大学自然科学学报_ +4n_ o)-28，1（2第40 卷+4_Mo0入1144824入1(19)(20)(21)(22)-8(1-8)(Vu,V)+ll/Vull+(n,u,)+8(n,u)+llull2+8 Il Vul/Ilul?-Ilul 2(Vu,Vu)+(1-8)ll-8(1-8)(Vv,V)+lll2+(,)+8(,)+(u-)*,-)-(k(u-v)*,-)+(f i(u),-A p)+(f i(v),-A)=(gi(x),-Ap)+(g2(x),-Aj)由Poincare不等式、Holder不等式、Young不等式、推论1中的有界性和式(2 2)可得(1-8)Il Vll 2-8(1-8)(Vu,V)+I/ull 2-Il ull2(Vu,Vu,)+(1-8)Il Vll-8(1-8)(V,V)+Il l/2事实上,有（u-）,I l l（u-),l,即可得(k2(u-)*,-Ap)同理(23)(24)e(-)*-Au)+eh(u-),-u)(/l,)udt(25)dt第3期王雪等：带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子259-(k2(u-)*,-)(u-)*,)+ek(-)*,n)-/u(26)dt利用Sobolev嵌入定理可得,存在K0，使得If(i)I K,I/f(i)I/K,If(i)I/0,令C,=min2(1-9),2e(则式(2 9)可进一步改写为28,2e(1-8),2 2(1-),4入2(29)22884入+IlI+I/-k2(u-)*+g ll2)+C(llV I2+/Vul+Il nl/2+IVu/2 Il/ull?+I/u-k(u-)+gil+Il l+Il/+l-k?(u-)*+g ll)4kgi2+2p18令P(T)=IIV l/2+I/Vull?+IIVull2 IAull2+llnll2+Il/u-k?(u-)*+g ll2+1/2+lll/+1/-k?(u-)*+g2/2则有是P(T)+C,P(T)M,dt其中4kiM2p1由Gronwall引理可得P(T)C,P(0)e-c2l+cCi由范数的等价性可得Il(T)/,P(T)2 (T)/+C22所以由式(31)和式(32)得Iz(T)/4 (0)/+cg 4piec+c32K+4h4J.I(u-v)*I (u-v)*),Idx+2C,k I(u-v)+C llgll+C,ll g ll8(30)8(31)(32)(33).260根据文献4-5 可知，a、a l 一定有界,其中（0）=0,n（0）=0 且故由式(33）和式(34)可知结论成立。推论2 设条件（H）（H 4）成立，g;=V，i=1,2,则球B，=Bv（0,2 p 2）是问题（2)生成的解半群(S(T)/在V中的有界吸收集。3指数吸引子的存在性引用文献6 中不变紧集的概念,设=（u）1，当满足时，下式成立：1/xu(s)ds0根据定理2 及推论2，可令N=z=(u,u,m,n.)e Vr:ll/a;T,(x)g,由VV,HVHV是紧的及引理1可知，N在H中是相对紧的。引理46 设条件（H）（H）成立，gV，=1,2，BCV满足条件(1)sup l/lr,z=(u,u,v,u,n,)ZEB(2)lim supxT,(x)O,使得当tt时,S(T)BCN。注1根据定义2 及N的定义，tO,使得当tt时，S(T)NN。定义B=S(T)N,显然,B是不变的,即S(T)B，=B，CN。故B在H中是相对紧的。令X=B,对 VtO,根据半群S(T)的连续性可得S(T)XS(T)BCB，=X,其中X是N的一个闭子集,且X在H中是紧的。定理3对任意初值z=（u o,u l 1,10,U,n 1o,1o）,z 2 =（u 2 0,u 2 1,2 0,2 1,m2 0,2）=H,对 VR 0 当I z;llR(i=1,2）时,存在一个与8,1,P1,K,c4 有关的常数P,有(36)证明设=（,u,n,），=（,）是,H所对应的初值解,令=,=-,=,=同时满足方程+i,+Ju(s)*n(s)ds-u-(I u lAu-I u u2)+k(u-)*-(u-)*+fi(u)-fi(u)=0+,-+J,u(s)*(s)ds+(u-)-(u-)*+f(u)-f(o)=0用，和，与式(37)中的两个方程分别内积整理得黑龙江大学自然科学学报Ila.l/r cpie-co+,l l,n l l/c p i e-c a +c12u(1)e/u(s)ea()ds8xIIS(T)zi-S(T)z ll/P Il/i-z ll,Vt e R*第40 卷(34)1(35)8x4xVxxtIN(37)=(ll ulu-Il u Iu,u,)+(u?-)+-(u-)+,u)+(fi()-fi(u),u)(39)+(u-)*-k(u?-)*,)+(f()-f(u),)其中(m,u.)M1d2dt由Sobolev嵌入定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得(fi(u)-fi(u),u)Ilf(u)-fi(u)IIlu,ll illl u,ll 同理可得(38)1d2dtKul2+/,12(40)8入1K2(f2(u2)-f2(ul),u,)8入(41)第3期(u-)+-(u-)*,u,)ck l(u-)llu,l 同理(h?(u-)*-k?(u?-)*,n)且(l lI-I u,)=(Il -Il I,u,)+(Il ll-Il lI,u,)将式(39）式（44)代人式(38）,整理得2d(5-1)/,2+4王雪等：带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子2+8入188入2c4k4Pi4p188入 261(42)(43)Au(44)Y十M22KI vu 1+(-1)/,18入14K+2ck4V2入8入1进一步估计,可得(45)P(I,+I2+II u I2+Il/+II,2+I?+I)式中P是与、1 Pi、K、c 4有关的常数,最后利用 Gronwall 引理即可证明此结论。定理4存在正常数 M,且 zo=(uo,u1,o,Vi,no,),z(T)=(u(T),D(T),u,(T),D,(T),n(s),(s)使得证明对问题(2)中的两个方程分别求导，且令=u，=i，=，=，且、仍满足a,=a,+,，a,=-.+,那么问题(2)中的两个方程可转化为uu+u,+i+J.(s)n(s)ds-(1+IIVull)a-2Au(-Au,a)+?(u-)*),+fi(u)a=0u+,-i+J,u(s)s(s)ds-h2(u-)*),+f(o)=0用=i,+si和=i,+si与式(47)中的两个方程分别作内积,得(46)sup Il/z,(T)/M20 EB(47)+8 llill2+(n,a,)m+8(n,u)m+8 llvill2+(-IlVulla,g)+(-2Au(-u,),0)+(h(u-)*),)+(1-8)/i2-8(1-8)(5,)+Vil2+(,0)m+s(,)m-(k(u-v)*),i)+(fi(u)a,)+(f2(v),j)(48)=0由Sobolev嵌人定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得Ki1l02,1(f(0)0,i8I(fi(u)a,)/Kllilllll282I(u-)*).,0)/2kp1l0/号l0ll+8(1-8)Illl2-8(1-)(,)+lll2+(1-8)I2-8(1-)(,)+/vil2(1-2e)l 1+(1-4%)4入Ki828+2(49)(50)8(51)262(-Il ullAi,)=1dII/I il/-p/-epi2dtI(-2Au(-Au,i),)=|2J,u(x)(x)dx J,u(y)i(y)dy将式(49）式(53)代人式（48)整理得黑龙江大学自然科学学报1dIl u ll Il vill 2-Il vi ll(Vu,Vu)+Il ull Il vill?2dtJ第40 卷(52)2+20(53)8+(1-)01+(1-%42/a2+1 i+1/+(1-)/244入1K2p2pi+epi十十88取8 充分小,使得C,=min-号,4令P(t)=Il2+a+val2+ul2 val2+2+12+l利用Gronwall及定理1得Il2+Iall?+Ilval?+ull2 Ial+Il+vl2+/+1lM从而证得定理4,即式中M0定理5映射(t,zo）S(T)：O,T XX是Lipschitz 连续的,其中TO。证明对任意的t,t O,T，z,z 2 X,有IIS(t)z-S(t2)z l/IIS(ti)z2-S(t2)z Il/+IIS(ti)zi-S(ti)z l/对于 IlS(t)z-S(t)zll这项,由定理4可得II(t)z1-S(t2)z2ll/=Il(t1)-2(t2)l/z,(T)i d Mt-t l对于 IlS(t)zS(t)zl这项,由定理3可得,存在=L(T）0,使得IIS(ti)z-S(t2)z l L(I t,-t2 I+Il zi-l/n)综上证得定理5成立。定义线性空间Z=(z=(u,u,u,n,)=Vrl supxT,(x)00,supxT,(x)0和时间t0,使得映射S(t):XX有如下分解:式中S。满足S满足88S(t,)=S。+S i,S o:XH,S t:XZIIS(zi)-S(z2)lx8Iz1-z2 I HIIS(z)-S,(z2)l w C ll z-z l H42sup I/z,(T)II M20EB11(54)4入1(55)(56)(57)(58)(59)x1x1第3期证明:对zo X有 S（T）z o=S t（T)z o+S。（T)z o,其中 S（T)z 表示问题(2)的线性齐次问题的解,设z=(,u,），=（,u,）是,X所对应的初值解,令将分解为2=za+z。=(0,0,0,0,5,7)+(0,o,)且,3满足.+,+4+u(s)4ds-49=0am+,-a+J(s)47ds=0,=-a,5+0,0=-0+0,(z,(0)=21-22,满足+,+4+u(s)ds-(Il u u-I u Iu)+(-)*-k(u-)*+fi(u)-fi(u)=0u+,-+J(s)ds+(u-)*-(u-)*+f()-f()=0La,=-a,+,0,=-0.+,z。=0式中 z。=S t(t)z -S(t)z 2 ,z a(t)=S o(t)z i -S o(t)z 2 0用,+和，+与式(6 0)的两个方程分别作内积整理得王雪等：带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子=2-2=(u,u,0,n,)263(60)(61)+(1-)Il,Il2+I/2+8 V12+(,)m+(,)+(1-8)I 12+llVll2+(7,0,)m+8(7,)M=0由Holder不等式、Young不等式以及Poincare不等式作类似估计得1+2e(,)+1/)+(1-1/1 (1+入(62)412+I1I/M+(1-8)I1,12440定义泛函P,(t)=(1+号),2 +12 +112 +2 e(,)+/+(1+号)2+I/l12+28(,)+I11/取充分小得2I(,E,)IP,(t)a I(,)I/式中为正常数。取A,=min1-8,(1+1入1可得(63)(64)(65)4了:264根据式(6 5），上式变为由式(6 5)和 Gronwall 引理得I(0,0,E,7)l/P,(t)ae-(2A1/0)P,(0):令t.=22-In8a,即可证明 S(2)-5(2)=-2,成立。用,和，与式(6 1)的两个方程分别作内积整理得黑龙江大学自然科学学报是P,()+A,(0,3.0,0,)/012dt第40 卷d2P2(T)0dta)ae-(2A1/a)(0),(0),(0),(0),0,7)l/-(I u llu-Ilu,-)+(,-,)m+(?(u*-)+-?(u-)*,-)+(fi(u)-f(u),-)+Il V ll+(?(u-)+-?(u-),-)+(,-,)m+(f()-f()，-t)(68)=0式中(,-,)m 由Sobolev嵌人定理、Holder不等式、Young不等式、Poincare不等式及Minkowski不等式可得(f(u)-fi(u),-,)Ilf(u)-fi(u)Il-,ll同理可得(6(0)-6(0l),-45.)8作与式(42)类似估计得(?(u?-)+-?(u-)*,-,)cah?ulll,ll+ck llll,l同理(h?(ul-)+-k?(u?-)*,-且与式（43)估计方法相同得(Il u lAu-l Vu?IAu,-.)将式(6 7）式(7 2)代人式(6 6）,整理得(66)1d2dtdIlM,(,-,)m 2M十282dt2+,24元2+88214282Pi公元8(67)十228,12十824piVu2+%I4,282(69)(70)(71)(72)+138V1124入2PiK24pi&入1取8 充分小,则4入2ckh412+入1十8入24(73)(I+l+I,I+I2+I,)/e/z /(74)第3期式中2=式中C*二Kt接下来还需证明记忆项满足其中C是正常数,在文献4和文献5 中都已详细地证明了式（7 6）成立，利用同样的方法即可证明式(77)成立。结合定理1定理6 即可得到问题(2)指数吸引子的存在。定理7 设条件（H）（H 4）成立,外力项g;EV，i=1,2,则问题(2)生成的解半群（S（T)/o 在X上存在指数吸引子。4 结 论对于带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程,为了得到其指数吸引子的存在性，普通的证明方法，例如加强的平坦性条件大弱,不能够证明含有记忆项方程的解半群的紧性,所以需要构造三元解相空间,利用算子分解的方法来证明其指数吸引子的存在性。通过对定理1到定理6 的证明即可得到问题(1)指数吸引子存在。王雪等：带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程的指数吸引子K4i2K十2cik),在（0，t*）上积分，结合初值条件有入入入12+2+,2+A2ekl z-2 l/dt=Ct I/z-2ll/0Kte1Ila,t/M+supxT(x)Ct l/z-z l/Ila,tl/+supxTg(x)Ctl/z-z2ll/265(75)(76)(77)参考文献1J LAZER A C,MCKENNA PJ.Large-amplitude periodic oscillations in suspension bridges:some new connections with nonlinear analysis J.SIAMReview,1990,32(4):537-578.2谢永钦，张江卫，黄创霞带记忆项反应扩散方程的吸引子J.数学学报，2 0 2 1，6 4（6）：97 9990.3贾澜，马巧珍带强阻尼的Kirchhoff型吊桥方程指数吸引子的存在性J中国科学：数学，2 0 18，（7）：90 9-92 2.【4王美霞，马巧珍带有记忆的Boussinesq方程指数吸引子的存在性J吉林大学学报（理学版），2 0 19，57（6）：13191332.5王彩霞，刘强强，马巧珍.具有线性记忆和线性阻尼的Kirchhoff梁方程的指数吸引子J吉林大学学报（理学版），2 0 2 2，6 0（1）：114.6 GATTI S,GRASSELLI M,PATA V.Exponential attractors for a conserved phase-field system with memory JJ.Physica D:Nonlinear Phenomena,2003,189(1):31 48.7】姚莉娟，马巧珍.Kirchhoff吊桥方程解的长时间行为J，数学学报，2 0 2 2，6 5（3）：499-512.8 BORINI S,PATA V.Uniform attractors for a strongly damped wave equation with linear memory J.Asymptotic Analysis,1999,20(3):263-277.【9王素萍，马巧珍带有记忆核的可拉伸时滞吊桥方程解的长时间行为J应用数学，2 0 2 2，35（4）：8 92-90 8.10】王露露，马巧珍，带非局部弱阻尼项的耦合吊桥方程的全局吸引子J四川大学学报（自然科学版），2 0 2 1，58（2）：0 2 10 0 6.11 XU L,HUANG J H,MA Q Z.Random attractors for the stochastic coupled suspension bridge equations of Kirchhoff type J.Advances inDifference Equations,2019,1:1-20.12】徐玲，张娟娟，马巧珍非自治Kirchhoff型吊桥方程拉回D吸引子的存在性J四川大学学报（自然科学版），2 0 2 0，57（4）：6 57-6 6 2.13】张素丽，张建文，王海燕。一类具记忆项和非线性阻尼项的双曲型方程的整体吸引子J应用数学，2 0 2 1，34（3）：52 5-535.14 MONCEF A.Robustness of global attractors for extensible coupled suspension bridge equations with fractional damping J.Applied Mathematics&Optimization,2021,84(1):1-33.【15】张盈，刘强强，马巧珍.带记忆的基尔霍夫型梁方程的全局吸引子J山东大学学报，2 0 2 2，57（4）：6 6-7 5.16 WANG S,MA Q Z.Existence of pullback 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