Hilbert空间中伪单调变分不等式的新次梯度外梯度算法.pdf

第 卷 第 期 年 月绵阳师范学院学报(自然科学版)().收稿日期:第一作者简介:张艳()女四川广安人讲师硕士研究方向:非线性分析数学教育 空间中伪单调变分不等式的新次梯度外梯度算法张艳阿力非日(西昌学院彝语言文化学院四川西昌)摘 要:引用一种新次梯度外梯度算法在 空间中证明了伪单调变分不等式解的弱收敛性 关键词:变分不等式 次梯度外梯度算法 伪单调 弱收敛中图分类号:文献标志码:文章编号:():././.():.:引言设 为实 空间 是 的非空闭凸子集()与 表示 中的内积与范数.()表示向量 在集合 上的投影 是 的映射 考虑如下的变分不等式:寻找 使得()()记 为变分不等式()的解集.近些年来变分不等式得到了诸多的应用学者们纷纷对变分不等式的理论以及算法进行了深入的探索和研究详见文献 变分不等式的外梯度算法最早是由 在 年提出来的 的算法如下:()()()其中映射 单调且 连续 为 常数()该算法中的问题是每次迭代都需计算两次到 上的投影和映射 在两点处的函数值 并且若集合 结构不够简单抑或是 的值比较复杂则 上的投影就比较难以计算这直接影响了这个算法的效率和应用 为了弥补这一缺陷 等提出了如下的改进算法:():()()()此算法是在算法()的基础上通过投影到一个半空间 该算法虽然在一定程度上降低了算法()中投影的计算量但是该算法每次迭代中的计算仍然需要知道映射 在两个点处的函数值 为了更进一步地解决计算量的问题 等又在前人研究的基础上提出了以下的算法:():()()()其中要求 单调且 连续 ()与算法()相比较在这个算法中每次迭代就只需要计算 在一个点处的函数值减少了计算量但问题是要求 常数是已知的 为了解除 常数对算法步长的限制 等提出了一种新算法:():()()()其中:()()()()()否则此算法仍然要求 强单调且 连续但是对 常数是已知的条件并不作要求 随后 等进一步将映射 的强单调性弱化伪单调提出如下的算法:():()()()其中:()()()()否则 这个算法虽然对前人的成果做了改进但该算法不仅要求 单调而且还要求其 连续而现实的情况是很多函数并不能同时满足以上两个条件 那么如何削弱条件后又能证绵阳师范学院学报(自然科学版)明所给算法的收敛性这正是本文所要重点讨论的问题 受文献启发本文在伪单调和一致连续的条件下证明了算法的弱收敛性将文献中单调性假设弱化为伪单调并得到相应结果 相关定义与引理设 是非空闭凸子集 定义()为 在集合 上的投影 定义.设:是一个映射如果有()()称 为伪单调映射 引理.设 是非空闭凸子集如果对任意 有 ()()引理.设 是非空闭凸子集 对有()()()()()()()()引理.设 是两个实序列且非负满足 则是有界的并且 引理.设 是 的一个非空闭凸子集:是一个伪单调且连续的算子则()证明:因为()及 的伪单调性有()()即 引理.设 中的序列 弱收敛于 则对任意的 有 ()()令初始值:步骤 ()()并给定和同时构造半空间:()步骤 取 为 张 艳等 空间中伪单调变分不等式的新次梯度外梯度算法的最大值且 是满足下面式子的最小的非负整数()()()()()其中()()():()步骤 计算()()若 且 则运算停止否则进一步令:然后返回第一步 注 容易得到 否则假设 由:()知()与()矛盾因此 注 若算法满足停机准则 且 则 证明 若有 则根据 ()可知()即()又因为 和:()有()因此()()即()而()()()因此()()即 亦即 是变分不等式()的解 引理.在()()的条件下()式有意义 证明分两种情况讨论:()首先如果 考虑 则()由 的一致连续性知()()则()式显然成立 若 则 则 使得()()()()()再由柯西施瓦茨不等式有()()()()()()()由()和()式得()()()两边同时取极限得 此式自相矛盾 绵阳师范学院学报(自然科学版)()则假设线性搜索不能在有限步内终止即 使得()()()()令 两边同时取极限则产生矛盾().则()式有意义 引理.设、是由算法.所生成的两个非负实序列 则 ()()证明 因 和 ()由引理.有 ()()().()根据映射 的伪单调性和 对 有()()即()()将()加到()式可得 ()()()()由 ()因此 ()()()()()()()又因 有()()又由()()()()和 有 ()()()()()()结合()()可得 ()()().张 艳等 空间中伪单调变分不等式的新次梯度外梯度算法定理.假设上述条件()()成立令 ()则由算法.产生的两个非负实序列、收敛到 证明()序列 的收敛性 由引理.得 ()()()令 ()()则()式可表示为 由引理.可知序列 有界且极限存在 .由()式可知序列 非增且 故 收敛.另外由序列 的定义可知 .()则 .因 .则序列 收敛.因为 与 收敛则序列 收敛.由此知 有界且存在弱收敛于 的子列.由()知 弱收敛于 .()由引理.及序列 的定义得().上式等价于()()()令 由()及 弱收敛于 可知()()即故 弱收敛于 .假设 弱收敛于 且 由()及 ()可得 ()因此对 有().由引理.可知绵阳师范学院学报(自然科学版)()()()()()()()由极限的保号性知上式与()矛盾故 .本文在 的 连续弱化为一致连续且无 常数的条件下定理.进一步弱化了文献 中映射 的单调性为伪单调性情形.参考文献:.:.:.():.():.():.().:.():.():.():.():.杨澈洲贺月红龙宪军.求解单调变分不等式的新次梯度外梯度算法.四川师范大学学报():.贺月红龙宪军.求解伪单调变分不等式问题的惯性收敛投影算法.数学物理学报():.(责任编辑:陈英)张 艳等 空间中伪单调变分不等式的新次梯度外梯度算法