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文章编号:1000 - 6869(2005)05 - 0112 - 06 采用等效平面桁架单元对钢筋混凝土结构 进行非线性分析 吴方伯1,丁先立3,周绪红2,何韶瑶1 (1 1 湖南大学 土木工程学院,湖南长沙410082 ; 21 长安大学,陕西西安710064 ; 31 广州市地下铁道设计研究院,广东广州510010) 摘要:本文根据钢筋混凝土结构构件力学性能,运用有限元的基本思想,将钢筋混凝土微元体等效成平面桁架单元对钢 筋混凝土结构进行非线性分析。理论分析和计算结果表明,用此模型对钢筋混凝土结构构件平面应力问题进行分析是 可行的,它能满足工程精度要求,而且在加载过程中可以很容易追踪裂缝开展顺序、 裂缝位置和开裂程度,同时使计算模 型简单化。 关键词:等效平面桁架单元;微元体;非线性;平面应力;钢筋混凝土结构 中图分类号:TU3751402 文献标识码:A Study on the nonlinear analysis of reinforced concrete structures by equivalent plane truss element method WU Fangbo1, DING Xianli3, ZHOU Xuhong2, HE Shaoyao1 (1 1College of Civil Engineering , Hunan University , Changsha 410082 , China ; 21Changan University , Xian 710064 , China ; 31Design Institute of Guangzhou Metro Corporation , Guangzhou 510010 , China) Abstract : Based on the mechanical performance of reinforced concrete structure members and the thought of finite element method , the reinforced concrete structures are nonlinearly analyzed by using the equivalent plane truss element to replace the micro element in this paper. Theoretical analysis and numerical examples showed that this model is feasible to analyze planar stress problems of reinforced concrete structures. It can satisfy the requirements of engineering precision. The appearing sequence , location and degree of cracks of the structures under loads can be easily traced. In the meantime , the mechanical calculation model of the structure can also be simplified. Keywords : equivalent plane truss element ; micro element ; nonlinearity; planar stress; reinforced concrete structure 作者简介:吴方伯(1954 - ) , 男,湖南长沙人,教授。 收稿日期:2004年12月 1 前言 1967年,美国学者NG O和SCORDELIS最早把有 限单元法应用于钢筋混凝土结构抗剪分析中,为有限 单元法在钢筋混凝土结构分析中的应用开辟了先 河1。此后的30多年里,人们对钢筋混凝土结构有限 单元法进行了深入研究,今天,有限单元法已经成为人 们分析钢筋混凝土结构在各类荷载作用下受力性能和 破坏机理的必备工具之一。 目前,在有限单元法应用中,国内外常用的平面有 限单元形式有三角形单元,四边形单元等2。然而,当 混凝土开裂后,无论是用三角形单元形式还是用四边 形单元形式对结构进行分析,都必须先对裂缝模式进 行假设。国内外常用的混凝土裂缝模式主要有离散模 式和片装模式1。前者假设构件中裂缝位置已知,目 的是在已知裂缝位置和方向后计算构件中混凝土应 力、 钢筋应力及粘结应力。此模式缺点很明显,它只能 用来研究结构内部的局部性能,不能作连续的全过程 分析。后者假定裂缝在单元内。以三角形单元为例, 211 第26卷第5期建 筑 结 构 学 报Vol.26 ,No.5 2005年10月Journal of Building StructuresOct12005 假设裂缝是微小的,连续的,彼此平行的,开裂后单元 为正交异性材料,这种模型不能反映构件的实际裂缝 形态。因此这两种裂缝模式都不够理想。本文从有限 元的单元形式出发,构想采用一种新的单元形式即等 效平面桁架单元(如图1b所示)代替平面微元体(如图 1a所示)以对平面问题进行分析。在等效平面桁架单 元里,钢筋和混凝土都是二力杆,只承受轴力。采用桁 架单元形式,在构件加载过程中,就可以追踪哪些杆件 受拉断裂或受压破坏,以及破坏位置和破坏先后顺序。 2 计算模型和计算方法 211 计算模型及基本假设 图1a中,对于微元体,设x方向尺寸为dx , y方向 尺寸为dy ,且令dx =dy = h , z方向尺寸为t。 图1b 中,设等效平面桁架单元的外围尺寸与微元体相同, 即x方向棱杆长为dx , y方向棱杆长为dy ,且有dx = dy = h。 图1 微元体与等效平面桁架单元等效关系图 Fig11Equivalent relationship between micro element and equivalent plane truss element 对钢筋混凝土结构的受力性能进行全过程分析 时,可以将混凝土假设成非线性弹性材料3,而且构件 的力学性能与加载历史有关,各物理量可看作是时间 的函数。设加载过程中的某一时刻T,构件受微小荷 载dP作用。 由于dP微小,可设T时刻构件在dP作用 下各物理量为常量,对微元体的力学性能分析可用叠 加原理,而且由于微元体是微小的,可设作用在其各面 上的正应力和剪应力都均匀分布。 设T时刻,微元体垂 直于x轴各面上的正应力为dx,剪应力为dxy;设垂 直于y轴各面上的正应力为dy,剪应力为dyx(如图 1a所示)。T时刻,将图1a中作用在微元体各面上的 均布荷载用集中结点荷载等效,并作用于等效平面桁 架单元上,可得如图1b所示的等效平面桁架单元荷载 图。 在图1b中,设T时刻等效平面桁架单元x方向棱 杆轴向刚度为, y方向棱杆轴向刚度为,内部交叉 杆轴向刚度为。 本文假定钢筋与混凝土之间粘结良好,没有相对 滑移,用一般有限单元法中的整体式模型1模拟微元 体中钢筋与混凝土之间的组合方式。本文不考虑材料 泊松比的影响。 上述这两种单元等效计算的条件是在等效结点荷 载作用下结点位移相等。 212 计算方法 根据材料力学及结构力学的基本原理可知,微元 体和等效平面桁架单元分别在图1a及图1b所示的荷 载作用下将产生变形。设微元体在图1a和荷载作用 下的变形图如图2所示。 图2 微元体受力变形图 Fig12Load2deformation relationship of micro element 图2中, d1、d2及d3分别为微元体在x方向、 y方向的位移及角位移。设等效平面桁架单元在等效 结点荷载作用下的变形如图3所示。 图3 等效平面桁架单元受力变形图 Fig13Load2deformation relationship of equivalent plane truss element 图3中, d 1、d 2及d 3分别为等效平面桁架单 元在x方向、y方向的位移及角位移。 21211 微元体荷载2位移关系分析 设T时刻微元体中:混凝土x方向材料切线模量 为EcxT, y方向材料切线模量为EcyT,材料剪切模量为 GT;钢筋x方向切线模量为EsxT,配筋率为sx, y方向 切线模量为EsyT,配筋率为sy。 根据材料力学的基本 原理可推得微元体在T时刻荷载2位移关系如式(1)所 示。 311 d1= dxh EcxT+sxEsxT d2= dyh EcyT+syEsyT d3= dxy GT (1) 21212 等效平面桁架单元分析 图1b所示的结点荷载是由作用在图1a各面上的 正应力及剪应力等效而来,根据等效原理,图1b中各 结点荷载可按式(2)进行计算。 Fix=dxht/2-dxyht/2,Fiy=dyht/2-dxyht/2 Fjx=dxht/2+dxyht/2,Fjy=dyht/2+dxyht/2 Fkx=dxht/2-dxyht/2,Fky=dyht/2-dxyht/2 Flx=dxht/2+dxyht/2,Fly=dyht/2+dxyht/2 (2) 上式中,Fix, Fiy, Fjx, Fjy, Fkx, Fky, Flx, Fly表示等效平 面桁架单元结点荷载。 本文将微元体内x方向配筋均匀分配到等效桁架 单元与x轴平行的两外围杆上,同理将微元体内y方 向配筋均匀分配到桁架单元与y轴平行的两外围杆 上。 等效桁架单元各棱杆变成由钢筋和混凝土两种材 料组成的二力杆。根据结构力学的基本原理4可推得 桁架单元结点荷载与单元变形之间的关系如式(3)所 示。 d 1= 2dxh2t 2 2+ d 2= 2dyh2t 2 2+ d 3= 2tdxyh (3) 21213 等效计算 本文主要研究用等效平面桁架单元代替微元体以 对钢筋混凝土结构的受力性能进行分析。如果等效平 面矩形桁架单元能够代替微元体,则两种单元必须首 先满足在相同结点荷载作用下结点位移相等的条件。 根据该条件有 d1=d 1 d2=d 2 d3=d 3 (4) 解方程组 (4) , 可得等效桁架单元各杆件的轴向刚 度计算公式如式(5)所示。 = ( E cxT+sxEsxT- GT ) ht 2 = ( E cyT+syEsyT- GT ) ht 2 =2htGT (5) 可以检验,微元体和等效平面桁架单元等效前后 形变势能、 外力势能和总势能分别相等5。进一步推 导,还可推得等效平面桁架单元各杆件在其自身方向 上的应力与微元体在对应方向上的应力也相等。式 (4)保证了T时刻,等效平面桁架单元与微元体在相 同的结点荷载作用下结点位移相等。 21214 等效桁架单元刚度矩阵 本文计算中以等效平面桁架单元作为基本有限单 元参与计算,并按照一般有限元的思想推导等效平面 桁架单元的单元刚度矩阵6,其单元刚度矩阵可按以 下方式集成。 设等效平面桁架单元各结点编号及各杆件编号和 方向如图4所示。 图4 等效平面桁架单元各杆件和结点编号 Fig14Codes of nodes and members of equivalent plane truss element 由于桁架单元是对称结构,结点o点位移为零。 根据桁架结构刚度矩阵集成原理可得桁架单元刚度矩 阵为 Ke= 1 2 2h 2 2+-2 20-00 -2 2+00-0-2 2 -2 202 2+00- 002 2+0-2 2- -002 2+-2 20 -0-2 2-2 2+00 00-2 202 2+ 0-2 2-002 2+ (6) 411 上式中, Ke为等效平面桁架单元刚度矩阵。 21215 小结 在上述推导过程中,由于时刻T是随机给出的, 而且微元体是微小的,因而从理论上可以说,如果等效 平面桁架单元取得足够小,则在对钢筋混凝土结构进 行非线性全过程分析的任一时刻,也可用等效平面桁 架单元代替微元体对结构的受力性能进行分析。 3 算例分析 本文算例中混凝土及钢筋本构关系采用参考文献 1中第167页及171页所示的本构关系,具体如下。 311 混凝土及钢筋本构关系 混凝土在单调加载下,其本构关系曲线如图5所 示。在图5中,表示混凝土应力,表示混凝土应 变,c表示混凝土极限压应力,t表示混凝土极限拉 应力,t表示混凝土极限拉应力对应的应变,c表示混 凝土极限压应力对应的应变,4c表示4倍混凝土极限 压应力对应的应变(4c=4c)。 在拉应变区域,混凝土 材料切线模量与初始状态下的材料切线模量相等,设 为Ec。 在压应变区域,当混凝土应变满足0 c 时,材料切线模量为 E = d d = E01- c 2 1+ E0 Es -2 c + c 22 (7) 当混凝土应变满足c4c时,材料切线模量为0 , 应力为012倍混凝土极限压应力。 钢筋本构关系曲线如图6所示。在图6中, 表 示混凝土应力,表示混凝土应变,s表示钢筋极限压 应力, -s表示钢筋极限拉应力, -s表示钢筋极限 拉应力对应的应变,s表示钢筋极限压应力对应的应 变。 当钢筋的应力在极限压应力与极限拉应力之间时, 材料切线模量不变,设为Es。 当钢筋应力超过极限压 应力或极限拉应力时,材料切线模量为0 ,应力等于极 限压应力或极限拉应力。 312 算例 (1)悬臂剪力墙受力性能分析 图5 混凝土单调加载下 的本构关系 Fig15Relationship between stress and strain of concrete under monotonic load 图6 钢筋在单调加载下 的本构关系曲线 Fig16Relationship between stress and strain of steel under monotonic load 如图7所示的剪力墙,混凝土强度等级为C20 ,钢 筋弹性模量为Esx= Esy=210105MPa ,配筋率sx =115% ,sy=210% ,sy=210%不计材料泊松比。 计算顶部中点s在水平荷载作用下的水平位移dx和底 部结点o沿y方向应力y。 将图7中剪力墙分别运用经典钢筋混凝土四结点 正方形有限元法和本文提供的等效平面桁架法进行非 线性分析和编程计算,结果如图8及图9所示(注:单 元边长取为30mm)。 图7 剪力墙示意图 Fig17Diagram of shear wall 本例采用等效平面桁架单元对悬臂剪力墙的受力 性能进行分析,运用弧长法求解下降段时,计算误差比 较大,这从图8即可看出,因而在图9中不再给出。 本文在运用等效桁架单元整体式模型计算钢筋混 凝土剪力墙的受力性能时,桁架单元边长取值大小直 接与计算精度有关,因为本文的等效分析是以微元体 作为研究主体的,而计算时将微元体宏观化。笔者经 过大量的算例证明,在线弹性阶段,等效桁架单元边长 511 图8 剪力墙单调加载下o点荷载2应力曲线 Fig18Relationship between load and stress of nodeoof shear wall under monotonic load 图9 剪力墙单调加载下s点荷载2位移曲线 Fig19Relationship between load and displacement of nodesof shear wall under monotonic load 图10 简支梁荷载、 配筋图 Fig110Load and reinforcement diagram of simply supported beam 图111 - 1截面处等效 桁架示意图 Fig111Equivalent truss in section 1 - 1 取值不宜超过120mm ,非线性分析阶段桁架单元边长 取值宜在30mm内。本文中的等效平面桁架单元整体 式模型适合任何钢筋混凝土结构平面应力问题的研 究,对于集中配筋的结构,在未配筋的地方,等效桁架 单元杆件刚度计算公式(5)中的配筋率取值为零。 (2)简支梁受力性能分析 图10所示简支梁,梁长516m ,截面尺寸200mm 500mm。距梁底35mm配4根直径为20mm的HRB335 钢筋;梁腹配直径为6mm间 距200mm的HPB235钢筋。 梁受均布荷载作用。混凝 土强度等级为C20。 取混凝土泊松比为0 , 将简支梁划分为由边长为 25mm的矩形单元组成。分 别采用等效桁架单元法和 规范7计算公式计算,得跨 中1 - 1截面处弯矩M2 挠 度f曲线如图12所示,梁内 杆件断裂先后顺序及梁破 坏情况如表1所示(表1中 杆件标注见图 11) 。 图11中,轴为1 - 1 截面,B、C轴双层配纵筋,这 主要是指由底向上的第二 层单元中钢筋与混凝土组合方式采用整体式模式。 表1 加载过程中1 - 1截面状态 Table 1Section behavior in the process of loading q/ kNm- 1 等效平面桁架在 1 - 1截面处杆件状态 规范7法算得 1 - 1截面状态 1125没有杆断裂混凝土开裂 1145 1145 1145 1145 A轴 杆断裂 B轴 杆断裂 C轴 杆断裂 D轴 杆断裂 2130 2130 E轴 杆断裂 F轴 杆断裂 3175G轴 杆断裂 5175H轴 杆断裂 6130钢筋屈服,随后压区 混凝土破坏 6180 6180 6180 J轴 杆断裂 K轴 杆断裂 钢筋屈服 本例用等效桁架单元代替微元体对集中配筋的简 支梁受力性能进行分析,并分别用一般有限单元法和 本文提出的等效桁架单元法计算简支梁跨中弯矩2挠 度,比较两种计算方法结果的差异性(图 12) 。总体来 说,两种计算方法结果比较接近。本例还展示了用等 效平面桁架单元法追踪简支梁垂直裂缝的过程。但对 于斜裂缝的追踪不够理想,桁架单元内斜杆不宜开裂, 这可能是本文没有考虑材料泊松比影响,而且桁架模 611 图121 - 1截面弯矩2挠度曲线 Fig112Relationship between bending and displacement of section 1 - 1 型加大了斜杆的作用(斜杆截面积比较大)的缘故,有 待进一步研究。 4 结语 (1)用等效平面桁架单元代替微元体对钢筋混凝 土结构平面应力问题进行有限元非线性分析,能够满 足工程精度要求。 (2)桁架模型解决了不同性质的材料(如钢筋和混 凝土)在弹塑性阶段共同工作的问题。 (3)桁架模型简化了单元计算模型,降低了单元自 由度,由于各杆均为二力杆,这不仅使得单元间相互作 用简单直接,而且使每根杆在加载过程中是否受拉断 裂或是受压破坏都很容易追踪,从而使得整个构件或 结构在加载过程中开裂位置、 开裂先后顺序和裂缝开 展程度可以从仿真分析中清楚得出。 (4)桁架模型以微元体为研究对象,没有采用平截 面假定。一般有限元解题过程需找到合适的形函数, 形函数不合适则计算结果和真实值可能相差很大,而 桁架模型不需考虑形函数,其推导过程精确,计算精度 只与单元划分粗细程度相关,从而使精度问题简单化。 参 考 文 献 1 吕西林,金国芳,吴晓涵.钢筋混凝土结构非线性有限 元理论与应用M.上海:同济大学出版社,1999. 2 刘尔烈,崔恩第,徐振铎.有限元法及程序设计M.天 津:天津大学出版社,1999. 3 朱伯龙,董振祥.钢筋混凝土非线性分析M.上海:同 济大学出版社,1985. 4 杨康,李家宝.结构力学M.北京:高等教育出版社, 1993. 5 吴方伯,陈坚强,尚守平.等效铰接桁架单元J .工程 力学,2005 ,22(2) :84 - 88. 6 王元汉,李丽娟,李银平.有限单元法基础与程序设计 M.中山:华南理工大学出版社,2001. 7G B 500102002 钢筋混凝土结构设计规范S. 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