“图形的变化”在中考数学试题中的应用.pdf

科学中考/KEXUEZHONG KAO囹形的变化”莊中考赦修试麵中的矯用吉顺国吉顺国义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称 标准）将“图形与几何”分为图形的性质、图形的变化和 图形与坐标三个主题.其中“图形的变化”强调从运动变 化的观点研究图形，理解图形在轴对称、旋转和平移时的 变化规律和变化中的不变量.由于其在考查学生几何直 观、空间观念、推理能力、数学表达与交流能力等方面有 着十分重要的作用，因此在各地中考数学中普遍占据核 心地位.一、试题内容研究一、试题内容研究2022年全国各地区的中考数学试卷中,在“图形的变 换”相关题目中,不仅考查了学生的数学眼光，还考查了学 生的数学思维，相当多的地区还考查了数学语言的表达能 力.其中数学思维与数学语言的表达能力考查有利于检测 学生数学素养的不同，体现了“图形的变换”考查目标与育 人功能.纵观2022年全国各地中考数学试卷，其中的“图 形的变化”考查内容主要考查以下几个方面.一是突出数学眼光借助基本图形与基本应用，突出 考查图形的变换中的基础知识、基本技能和基本数学思 想与基本活动经验.试卷从多方面多层次考查了学生对 图形的变换中的形与数之间的联系与规律，体现了标 准中的“不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成 适应终身发展需要的核心素养”.试题实现了义务教育阶 段的基础性、普及性和发展性的数学育人特征.二是关注数学思维.通过设计图形变换中的问题，考 查学生用数学的思维思考现实世界的能力.学生根据自 己掌握的图形变换基本素养，将来源于生活中的数学问 题通过计算思维将各种信息约简和形式化，进而将问题 求解分析解决实际问题的过程中展现了学生的科学态 度与理性精神，体现了标准中的“经历数学再发现的过 程，形成实事求是的科学态度”.三是注重数学语言.数学源于对现实世界的抽象，数 学也应用于现实世界之中如何将数学应用于现实世界,数学语言不可或缺.多地中考数学试卷中的开放型与探 究活动试题对学生的数学语言能力进行了考查,通过数 学语言表达图形中简单的数量关系与位置关系,对学生 推理能力、抽象能力及探究能力等方面进行了考查，凸显 了数学学科独特的育人功能，也体现了标准中的“逐步 养成数学语言表达与交流的习惯,形成跨学科的应用意 识与实践能力”.二、试题归类分析二、试题归类分析（一）关注本质，应用规律标准指出，通过对现实世界中基本数量关系与空 间形式的观察，发现其基本的联系与规律.“图形的变换”这部分的数学素养，通常以三角形、四边形等基本的平面 图形为载体，通过基本数量关系、基本位置关系、基本推 理等手段进行考查.1.关注图形变换中核心元素的变化规律.【例【例11（广西贵港）如图1,将A A BCA A BC绕点A逆时针 旋转角a（0 a 1 80）得到ZADE,点B B的对应点D恰 好落在BC边上，若DE丄AC,ZCAD=25,则旋转角a 的度数是_B D CB D C图1【评析】此题以旋转为主线，将旋转、等腰三角形和 三角形角的性质整合在一起，在常规图形中考查学生图 形识别能力和对旋转图形本质属性的掌握情况.经过平移、轴对称和旋转变换后，几何图形只是改变 了图形的位置，图形的形状与大小都不会发生变化.这几 32科学中考-专题讲座种图形变化的共性就是解决此类问题的本质.2.关注图形的联系“对应”.【例2】（山东泰安）如图2,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠,得到点 B B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若图2【评析】此题以轴对称为引线，将直角三角形、正方 形、勾股定理、全等图形等融合在一起，在常规图形中考 查学生的转化与抽象能力，同时考查学生的计算能力.（二）借助数形之间的关联，关注推理数学学科的严密性与系统性决定了数学知识之间有 着密切的联系综合性试题特别重视从知识的相关性入 手,强调知识间的逻辑关联，注重整合性,通过数学眼光,选用合适的数学思维来解决问题.试题着重考查学生的 读图、分析、操作、推理等数学核心素养，强调图形变换的 应用,体现了对学生数学学科思维品质有条理的要求.1.利用图形推导出数量关系.【例3】（辽宁朝阳）【思维探究】如图3,在四边形 A BCDA BCD 中，ZBAD=60,ZBCD=120,AB=AD,连接 AC.求证:C+CD=AC.（1）小明的思路是延长CD到点E,使DE=BC,DE=BC,连 接 AE.根据ZBAD+ZECD=1 80,推得ZE+ZADC=180,从而得到ZB=ZA DEZB=ZA DE，然后证明A A DEA A DE仝 A EC,A EC,从而可证 BC+CD=A QCD=A Q（2）【思维延伸】如图4,四边形AECD中,ZBA D=,ZBA D=ZBCD=90 A B=A DZBCD=90 A B=A D，连接 AC,猜想 BC.CD.AC 之间 的数量关系,并说明理由.（3）【思维拓展】在四边形AECD中,ZBA D=ZBCD,ZBA D=ZBCD=9Q,A B=A D=,A C=9Q,A B=A D=,A C与BDBD相交于点O.O.若四边形 A BCDA BCD中有一个内角是75。,请直接写出线段ODOD的长.【评析】此题从四边形出发，引导学生从基础的三角 形入手，将四边形转化为三角形进行解答，体现了转化的 思想结合三角形中对应相等的量,应用全等三角形解决 图形中的线段转化问题，从而将不相关的几条线段整合 到同一个三角形中,通过角边关系探究它们的相互关系.此题第一小问为引子，引导学生的解答方向;第二小问为 能力迁移，考查学生的变换能力;第三小问为技能跃升,考查学生的分类讨论与综合应用能力.综合而言,这一题 对学生的归纳与抽象能力提出了一定的要求，对学生空 间观念的发展情况进行了有效考查.2.利用数量关系推理图形.【例4】（北京）在AEC中，ZACE=90,点D为 AABC内一点，连接BD、DC,延长DCDC到点E,使得CECE=DC.=DC.图5 图6（1）如图5,延长EC到点F,使得CF=BC,CF=BC,连接 AF、EF,若 AF 丄 EF,求证:BDA F.BDA F.（2）连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依 题意补全图6,若AB2=AE2+EQ2,用等式表示线段 仞 与CH的数量关系，并证明.评析数形结合是一种数学方法，它将数字和图形结 合起来思考问题通过将数字和图形相结合，可以更容易地 理解和解决数学问题.由数学式子可以关联到图形.本题第 小问由数学的垂直式子引导学生研究图形中的两线夹角 问题,是考查由数到形的数学思维.第小问的勾股式指向 图形中构造直角三角形.此题编制新颖，重视对基本活动经 验的考查，关注了学生的学习过程和创新能力.三、能力提升措施三、能力提升措施1.夯实基础.图形变换，包括图形的平移、翻折、旋转等全等变换,2023 06 33科学中考/KEXUEZHONG KAO也包括图形的位似等相似变换，它在初中数学几何教学 及解题中的作用毋庸置疑，其重要性不言而喻.教学过程 中务必关注学生对变换的数学概念、性质与定理的体悟 与理解着重引导学生构建整体知识框架，建构数量与图 形之间的紧密联系.通过由浅入深的巩固练习，让不同层 次的学生“练”中“思”，“思”后“得”，尊重不同层次学生 认知水平的差异，让每一位学生都有“思”有“得”.2.提升能力.课程教学不能仅仅下沉在知识的复习与讲解上，还得 提升到对学生思维能力的培养,帮助学生认识并掌握研究 数学问题所需要的基本方法与基本技巧指导学生数学阅 读,引导学生主动地归纳、类比、转化、猜想与认证，使学生 初步感悟数学与现实世界的交流方式，认识到数据的意义 与价值，让他们能有意识地使用真实数据表达、解释与分 析现实世界中的不确定现象.在学习研究“图形的变化”时,体会发现问题、分析问题、解决问题的思维过程，形成 数学的表达与交流能力，发展了应用意识与实践能力.拓展训练：1.如图7,在直角三角形ABC，ZACB=90,AC=6 c m,ZCAB=60,将三角形ACB沿CE向右平移 2 73 c m后得到三角形DEF,DE交AE于G,则四边形 GBFDGBFD的面积为_.2.如图8,在厶小(3中,ZB=45,D、E分别为为CB、CB、A BA B边上的点，将三角形BDE沿DEBDE沿DE翻折到 若ZA EEZA EE=20,贝 IJZBDE=图83.如图 9,在 AABC 中，/E 45,AB=6,将AABC绕点A逆时针方向旋转30得到AAB/CB,C,交AE于点DMA D=_DMA D=_ 4.如图10,等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的三条边上,ZEDF=90。,ZEDF=90。,已知AB=6,则Zk OEF面积的最小值为_.5.如图11,矩形ABCD中,AB=6 c m,取BC边上 点E,使ZBA E=3 Q9ZBA E=3 Q9将AAEE沿AE翻折后得到 AFE,再作ZEEC平分线EFEF交CDCD于点F F,通过测 量发现点F恰好是CD的三等分点，则A DA D的长为图116.矩形 A BCDA BCD 中,=将矩形 A BCDA BCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,(1)如图12,当AE与ED垂直时，求CECE的长.(2)继续旋转矩形，当AE与平行时，画出此时 的图形并求出CE的长.参考答案：1.103 c m2；2.35；3.9 3箱;4.27等站;5.6 励 9 石;6.(1)；(2)弩或34