边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 2 4边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为郭 微1,靳曼莉1,井鑫鑫2(1.北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林1 3 2 0 1 3;2.山东科技大学 数学与系统科学学院,山东 青岛2 6 6 5 9 0)摘要:用加权能量估计和构造自相似上解的方法,研究一类在边界退化的半线性抛物方程初边值问题解的渐近行为,得到了问题解的整体存在性和爆破性,建立了F u j i t a型定理,并刻画了临界F u j i t a指标与退化扩散项和非线性源项之间的定量关系.关键词:边界退化;临界F u j i t a指标;半线性抛物方程中图分类号:O 1 7 5.2 3 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 0 1-0 7A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n s t oS e m i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t hB o u n d a r yD e g e n e r a c yGUO W e i1,J I N M a n l i1,J I NGX i n x i n2(1.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,B e i h u aU n i v e r s i t y,J i l i n1 3 2 0 1 3,J i l i nP r o v i n c e,C h i n a;2.C o l l e g e o fM a t h e m a t i c sa n dS y s t e m sS c i e n c e,S h a n d o n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,Q i n g d a o2 6 6 5 9 0,S h a n d o n gP r o v i n c e,C h i n a)A b s t r a c t:W es t u d i e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rac l a s so fi n i t i a l-b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fas e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n w i t hb o u n d a r yd e g e n e r a c yb yu s i n gt h e m e t h o d so fw e i g h t e de n e r g ye s t i m a t e sa n dc o n s t r u c t i n gs e l f-s i m i l a ru p p e rs o l u t i o n s.W eo b t a i n e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w i n g-u pp r o p e r t i e so f s o l u t i o n s t o t h ep r o b l e m,e s t a b l i s h e dF u j i t a t y p e t h e o r e m,a n dc h a r a c t e r i z e dt h eq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec r i t i c a lF u j i t ae x p o n e n ta n dt h ed e g e n e r a t ed i f f u s i o nt e r ma n dt h en o n l i n e a rs o u r c e t e r m.K e y w o r d s:b o u n d a r yd e g e n e r a c y;c r i t i c a lF u j i t ae x p o n e n t;s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n收稿日期:2 0 2 2-1 0-2 4.第一作者简介:郭 微(1 9 7 6),女,汉族,博士,教授,从事非线性扩散方程理论的研究,E-m a i l:g u o w e i j i l i n1 6 3.c o m.通信作者简介:靳曼莉(1 9 8 0),女,汉族,博士,副教授,从事微分方程定性理论的研究,E-m a i l:6 4 2 7 8 1 4 4q q.c o m.基金项目:吉林省教育厅科学技术研究项目(批准号:J J KH 2 0 2 1 0 0 3 1 K J;J J KH 2 0 2 1 0 0 2 9 K J).0 引 言考虑如下在边界退化的半线性抛物方程初边值问题解的渐近行为:ut=xxux+b(x)up,x0,t0,(1)l i mx0+xux(x,t)=0,t0,(2)u(x,0)=u0(x),x0,(3)其中:0;p1;bC10,+)满足l1(x+1)b(x)l2(x+1),x0,(4)这里00的C a u c h y问题,证明了当1ppc=1+2/n时既存在非负非平凡整体解(小初值)又存在非负爆破解(大初值).指标pc称为临界F u j i t a指标.文献2-3 证明了临界情形p=pc也属于爆破情形.F u j i t a的工作揭示了非线性偏微分方程的一类重要性质,目前已有很多研究拓展了F u j i t a的结果,包括各种非线性发展方程和方程组、不同类型的非线性源、不同类型的区域以及不同类型的边值条件等4-1 7,其中,文献1 0 首先研究了如下两个在边界退化的半线性抛物方程的初边值问题:ut=xxux+up,0 x0,l i mx0+xux(x,t)=0,u(1,t)=0,t0,u(x,0)=u0(x),0 x0,t0,l i mx0+xux(x,t)=0,t0,u(x,0)=u0(x),x0,式中0,p1.对于有界区间上的问题,文献1 0 证明了如果退化较强即2,则任意非平凡解都在有限时刻内爆破,如果退化不强即02,则该问题既存在非平凡整体解(小初值)又存在爆破解(大初值).对于无界区间上的问题,文献1 0 建立了F u j i t a定理,证明了临界F u j i t a指标为pc=3-,02,+,2.本文建立问题(1)-(3)的F u j i t a型定理.与文献1 0 所考虑的问题相比,方程(1)中的非线性源项具有更一般的系数,该系数会影响问题(1)-(3)的临界F u j i t a指标.问题(1)-(3)的临界F u j i t a指标是pc=3-+,01,问题(1)-(3)的任意非平凡解都在有限时刻爆破;当02时,对13-+,问题(1)-(3)既存在非平凡整体解(小初值)又存在爆破解(大初值).受文献1 0-1 4 中的方法启发,为证明问题(1)-(3)解的爆破性质,采用加权能量估计的方法,通过选取恰当的权函数,比较退化扩散项与非线性源项之间的相互作用,建立能量估计进而得到解的爆破性质;为证明问题(1)-(3)存在非平凡的整体解,构造自相似形式的上解.由于方程(1)的非线性源具有一般的系数,因此本文需要一些更细致复杂的运算和估计.特别地,对于临界情形需要建立一系列精确的估计.1 预备知识定义1 设0T+.如果非负函数u满足下列条件,则u称为问题(1)-(3)在(0,T)上的下解(上解):208 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 1)对任意的0T0有ut,x/2uxL2(0,R)(0,T);2)对任意的0 T0,有x/2u 0L2(0,R),则问题(1)-(3)至少存在 一个局部解.如果u是问题(1)-(3)在(0,+)上的解,则称u是全局解.否则,存在T0,使得u是问题(1)-(3)在(0,T)上的解,并满足l i mtT-s u p(0,+)u(,t)=+,则称u在有限时刻T爆破,T称为爆破时间.2 F u j i t a型定理的证明定理1 假设2,bC1(0,+)满足式(4),对任意非平凡的初值0u0L(0,+),且对任意的R0有x/2u 0L2(0,R),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:当2时,类似文献1 0 中定理2.5的证明可得结论.定理2 假设02,bC1(0,+)满足式(4).1)如果1p0有x/2u 0L2(0,R),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破;2)如果ppc=3-+,对任意非平凡的初值0u0L(0,+),且对任意R0有x/2u 0L2(0,R),则当初 值u0充 分 小 时,问 题(1)-(3)的 解 全 局 存 在,当 初 值u0充 分 大 时,问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:仿文献1 0 中定理2.4选取R:R(x)=1,0 xR,121+c o s(x-R)R,Rx2R,0,x2R.(6)易得RC1(0,+),R分片光滑且满足(xR(x)=-2Rx-1s i n(x-R)R-22R2xc o s(x-R)R-2R2x-22R2xc o s(x-R)R-22R-2R(x),Rx0.(7)由H l d e r不等式可得308 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为 +0u(x,t)R(x)dx+0(x+1)-1/(p-1)R(x)d()x(p-1)/p+0(x+1)up(x,t)R(x)d()x1/pC(p-1)/p1R(p-1)/p+0(x+1)up(x,t)R(x)d()x1/p,t0,(8)其中C1是与R无关的正常数.将式(8)代入式(7)得ddt+0u(x,t)R(x)dx-22R-2+0u(x,t)R(x)dx+C1-p1R-p+1+0u(x,t)R(x)d()xp,t0.(9)由于p0,使得2+12R-20.故存在T0,使得l i mtT-+0u(x,t)R(x)dx=+,从而l i mtT-s u p(0,+)u(,t)=+,表明u在有限时刻爆破.下面讨论情形2)即ppc.当初值充分大时,考虑问题(1)-(3)的爆破解.设u是问题(1)-(3)的一个非负非平凡解,由定义1和式(4)可得u满足ddt+0u(x,t)R(x)dx-22R-2+0u(x,t)R(x)dx+0b(x)up(x,t)R(x)dx-22R-2+0u(x,t)R(x)dx+l1+0(x+1)up(x,t)R(x)dx,t0,(1 0)其中R(x)是式(6)定义的函数.由H l d e r不等式可得+0u(x,t)R(x)dx+0(x+1)-1/(p-1)R(x)d()x(p-1)/p+0(x+1)up(x,t)R(x)d()x1/p,t0.(1 1)将式(1 1)代入式(1 0)可得ddt+0u(x,t)R(x)dx-22R-2+0u(x,t)R(x)dx+l1+0(x+1)-1/(p-1)R(x)d()x1-p+0u(x,t)R(x)d()xp,t0.(1 2)选取u0充分大,使得2+12R-2l1+0(x+1)-1/(p-1)R(x)d()x1-p+0u0(x)R(x)d()xp-1.类似于情形1)的讨论可得u在有限时刻爆破.当初值充分小时证明方程(1)具有如下形式的自相似上解:u(x,t)=(t+1)-w(t+1)-x),x0,t0,(1 3)其中=2-+(2-)(p-1),=1(2-).当0 x0.(1 4)令w(r)=e-A r2-,r0,(1 5)408 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 其中0为待定常数,A满足2-+(2-)2(p-1)A0.根据A的定义可知A(2-)12-,2-+(2-)(p-1)0,因此,存在充分小的0,使得u0(x)u(x,0),x0.(1 6)由引理1可知,如果u0满足式(1 6),则问题(1)-(3)的解全局存在.3 临界情形下面考虑当02时的临界情形p=pc=3-+.引理3 假设00,有+0u(x,t)R(x)dx2(+1)/(p-1)2/(p-1)C1,t0,(1 7)ddt+0u(x,t)R(x)dx-p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)C1R-2,t0(1 8)ddt+0u(x,t)R(x)dxR-2+0u(x,t)R(x)d()x1/2-222RRu(x,t)R(x)d()x1/2+C1-p1+0u(x,t)R(x)d()x(2p-1)/2,t0,(1 9)其中R(x)是式(6)定义的函数,C1是定理2中给出的常数.证明:首先,由式(9)可得ddt+0u(x,t)R(x)dx-22R-2+0u(x,t)R(x)dx+C1-p1R-2+0u(x,t)R(x)d()xp,t0.(2 0)下面利用反证法证明式(1 7)成立.否则,存在t00,使得2+12C1-p1+0u(x,t)R(x)d()xp-1.则根据式(2 0)知ddt+0u(x,t)R(x)dx12C1-p1R-2+0u(x,t)R(x)d()xp,tt0,从而u在有限时刻爆破,与假设矛盾.因此式(1 7)成立.下面证明式(1 8)成立.由式(2 0)和Y o u n g不等式,有ddt+0u(x,t)R(x)dxC1-p1R-2-22Cp-11+0u(x,t)R(x)dx+0u(x,t)R(x)d()xpC1-p1R-2-1p+0u(x,t)R(x)d()xp-p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)Cp1+0u(x,t)R(x)d()xp-p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)C1R-2,t0,508 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为 式(1 8)得证.最后证明式(1 9)成立.根据式(7)可得ddt+0u(x,t)R(x)dx=2RRu(x,t)(xR(x)dx+0b(x)up(x,t)R(x)dx-22R-22RRu(x,t)R(x)dx+C1-p1R-2+0u(x,t)R(x)d()xpR-2+0u(x,t)R(x)d()x1/2-222RRu(x,t)R(x)d()x1/2+C1-p1+0u(x,t)R(x)d()x(2p-1)/2,t0,即式(1 9)成立,证毕.定理3 假设00有x/2u 0L2(0,R),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:假设u是问题(1)-(3)在(0,+)上的解.对任意R0,令wR(t)=+0u(x,t)R(x)dx,t0,其中R(x)是式(6)定义的函数.记=s u pR0,t0wR(t)=s u pt0+0u(x,t)dx.(2 1)由式(1 7)和u0的非平凡性可得00,使得22(0+M0)1/212C1-p1(-0)(2p-1)/2.根据式(2 1)可知,存在t10和R00,使得wR0(t1)-0.(2 2)对任意tt1,在式(1 8)中取R=R0并由式(2 2)可得+0u(x,t)R0(x)dx+0u(x,t1)R0(x)dx-p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)C1R-20(t-t1)-0-p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)C1R-20(t-t1),(2 3)由式(2 1),(2 3)可得4R02R0u(x,t)2R0(x)dx+0u(x,t)dx-+0u(x,t)R0(x)dx0+p-1p2 p/(p-1)2p/(p-1)C1R-20(t-t1).(2 4)在式(1 9)中选取R=2R0,有 ddtw2R0(t)(2R0)-2w1/22R0(t)-224R02R0u(x,t)2R0(x)d()x1/2+C1-p1w(2p-1)/22R0(t),tt1,(2 5)由式(2 1),(2 2),(2 4),(2 5)可得ddtw2R0(t)2-3C1-p1R-20(-0)p,t1t0+0u(x,t)dx=+,与式(2 1)矛盾.证毕.参考文献1 F U J I TA H.O nt h eB l o w i n gu po fS o l u t i o n so f t h eC a u c h yP r o b l e mf o rut=u+u1+J.JF a cS c iU n i vT o k y oS e c t,1 9 6 6,1 3:1 0 9-1 2 4.2 HAYAKAWAK.O nN o n e x i s t e n c eo fG l o b a lS o l u t i o n so fS o m eS e m i l i n e a rP a r a b o l i cD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sJ.P r o cJ a p a nA c a d,1 9 7 3,4 9:5 0 3-5 0 5.3 KO B AYA S H IK,S I A R O T,TANAKA H.O nt h eB l o w i n gu pP r o b l e mf o rS e m i l i n e a rH e a tE q u a t i o n sJ.JM a t hS o cJ a p a n,1 9 7 7,2 9(1):4 0 7-4 2 4.4 AN D R E U C C ID,C I RM IGR,L E ONA R D IS,e t a l.L a r g eT i m eB e h a v i o ro fS o l u t i o n s t o t h eN e u m a n nP r o b l e mf o ra Q u a s i l i n e a rS e c o n d O r d e rD e g e n e r a t eP a r a b o l i cE q u a t i o ni n D o m a i n s w i t h N o n c o m p a c tB o u n d a r yJ.JD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 0 1,1 7 4(2):2 5 3-2 8 8.5 D E N GK,L E V I N EH A.T h eR o l eo fC r i t i c a lE x p o n e n t s i nB l o w-u pT h e o r e m s:T h eS e q u e lJ.JM a t hA n a lA p p l,2 0 0 0,2 4 3(1):8 5-1 2 6.6 郭微,高云柱.一类非线性耦合对流扩散方程组的临界F u j i t a曲线 J.吉林大学学报(理学版),2 0 2 0,5 8(2):2 7 1-2 7 6.(GUO W,GAO Y Z.C r i t i c a lF u j i t aC u r v e sf o raC l a s so fN o n l i n e a rC o u p l e dC o n v e c t i o n-D i f f u s i o nS y s t e m sJ.J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 2 0,5 8(2):2 7 1-2 7 6.)7 J I N GXX,N I EY Y,WANGCP.A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oC o u p l e dS e m i l i n e a rP a r a b o l i cS y s t e m sw i t hB o u n d a r yD e g e n e r a c yJ.E l e c t r o nJD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 2 1,2 0 2 1:6 7-1-6 7-1 7.8 J I N GXX,N I EYY,WANGCP.A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oC o u p l e dS e m i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t hG e n e r a lD e g e n e r a t eD i f f u s i o nC o e f f i c i e n t sJ.D i s c r e t eC o n t i nD y nS y s tS e rB,2 0 2 3,2 8(2):9 5 9-9 8 3.9 L E V I N EH A.T h eR o l eo fC r i t i c a lE x p o n e n t s i nB l o w-u pT h e o r e m sJ.S I AM R e v,1 9 9 0,3 2(2):2 6 2-2 8 8.1 0 WAN G C P.A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oaC l a s so fS e m i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n s w i t hB o u n d a r yD e g e n e r a c yJ.P r o cAm e rM a t hS o c,2 0 1 3,1 4 1(9):3 1 2 5-3 1 4 0.1 1 WAN GCP,Z HE NGSN.C r i t i c a lF u j i t aE x p o n e n t so fD e g e n e r a t ea n dS i n g u l a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sJ.P r o cR o yS o cE d i n b u r g hS e c tA,2 0 0 6,1 3 6(2):4 1 5-4 3 0.1 2 WAN GCP,Z HE N GS N,WAN G ZJ.C r i t i c a lF u j i t aE x p o n e n t sf o raC l a s so fQ u a s i l i n e a rE q u a t i o n sw i t hH o m o g e n e o u sN e u m a n nB o u n d a r yD a t aJ.N o n l i n e a r i t y,2 0 0 7,2 0(6):1 3 4 3-1 3 5 9.1 3 Z HE NGSN,WAN GCP.L a r g eT i m eB e h a v i o u ro fS o l u t i o n s t oaC l a s so fQ u a s i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t hC o n v e c t i o nT e r m sJ.N o n l i n e a r i t y,2 0 0 8,2 1(9):2 1 7 9-2 2 0 0.1 4 Z HOU Q,N I E Y Y,HAN X Y.L a r g eT i m eB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oS e m i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t hG r a d i e n tJ.JD y nC o n t r o lS y s t,2 0 1 6,2 2(1):1 9 1-2 0 5.1 5 周倩,那杨,高冬.一类耦合半线性扩散方程组的F u j i t a临界曲线 J.吉林大学学报(理学版),2 0 2 0,5 8(4):7 3 3-7 4 3.(Z HOU Q,NAY,G AOD.F u j i t aC r i t i c a lC u r v e s f o r aC l a s so fC o u p l e dS e m i l i n e a rD i f f u s i o nS y s t e m sJ.J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 2 0,5 8(4):7 3 3-7 4 3.)1 6 Z HOU M J,L E N G Y.E x i s t e n c ea n d N o n e x i s t e n c eo ft h eS o l u t i o n st ot h eC a u c h yP r o b l e m o fQ u a s i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o nw i t haG r a d i e n tT e r mJ.L i t hM a t hJ,2 0 2 1,6 1(1):1 2 3-1 4 2.1 7 Z HAOX T,Z HOU M J,J I NG X X.A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oP o r o u s M e d i u m E q u a t i o n sw i t hB o u n d a r yD e g e n e r a c yJ.E l e c t r o nJD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 2 1,2 0 2 1:9 6-1-9 6-1 9.(责任编辑:赵立芹)708 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为