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第 40 卷 第 4 期2023 年 7 月量 子 电 子 学 报CHINESE JOURNAL OF QUANTUM ELECTRONICSVol.40 No.4Jul.2023玻色玻色-爱因斯坦凝聚体中三体和四体相互作用爱因斯坦凝聚体中三体和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响研究对自旋压缩和量子纠缠的影响研究李嵩松(南昌师范学院物理系,江西 南昌 330032)摘要:自旋压缩和量子纠缠在量子信息处理中有着极为重要而广泛的应用,因此利用玻色-爱因斯坦凝聚中的多体相互作用产生自旋压缩和量子纠缠具有重要意义。研究了玻色-爱因斯坦凝聚的密度较大时,三体相互作用和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响,利用短时近似解析计算了自旋压缩参数和两种不同的纠缠参数。结果表明:在动力学过程中,三体相互作用和四体相互作用能诱导产生自旋压缩和量子纠缠；且四体相互作用比三体相互作用能产生更强的自旋压缩和更好的量子纠缠。关 键 词:量子光学;量子纠缠;自旋压缩;短时近似;玻色-爱因斯坦凝聚中 图 分 类 号:O431.2 文 献 标 识 码:A 文章编号:1007-5461(2023)04-00519-09Effects of three-body and four-body interactions on spin squeezing and quantum entanglement in Bose-Einstein condensatesLI Songsong(Department of Physics,Nanchang Normal University,Nanchang 330032,China)AbstracAbstract t:Spin squeezing and quantum entanglement are very important and widely used in quantum information processing.Therefore,it is meaningful to produce spin squeezing and quantum entanglement using the multi-body interaction in Bose-Einstein condensation.The effects of three-body and four-body interactions on spin squeezing and quantum entanglement at high density Bose-Einstein condensation are investigated,and the spin squeezing parameters and two entanglement parameters are analytically calculated using short time approximation.The results show that in the dynamic process,three-and four-body interactions can produce spin squeezing and quantum entanglement.Moreover,four-body interaction can produce stronger spin squeezing and better entanglement than the three-body interaction.K Keyey wordswords:quantum optics;quantum entanglement;spin squeezing;short time approximation;Bose-Einstein condensatesDODOI I:10.3969/j.issn.1007-5461.2023.04.011基金项目:江西省科技厅03专项(20212ABC03A23),江西省教育厅科技项目(GJJ202613/GJJ212611),南昌市重点实验室项目(2021-NCZDSY-015)作者简介:李嵩松(1971 ),江西丰城人,博士,教授,主要从事量子信息方面的研究。E-mail:收稿日期:2022-03-12;修改日期:2022-06-01量 子 电 子 学 报40 卷0 引 言自旋压缩和量子纠缠在量子信息处理中有着极为重要而广泛的应用,因此,如何制备各种自旋压缩态1和量子纠缠态2 就成为量子科技研究最重要的内容之一。玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是一种宏观量子态,具有宏观相干、隧穿和量子超流性等奇特的量子性质3,4。BEC中的弹性碰撞能够引起凝聚原子间的量子关联,为此,研究人员提出了利用BEC产生自旋压缩和量子纠缠的方案。Li等5 采用电磁诱导透明技术,通过调节经典探测光和经典控制光与凝聚三能级原子的耦合强度和双光子失谐量在BEC中产生了自旋压缩;Rosales等6 研究了在BEC原子干涉仪中制备并检测两个不同原子群(模式)之间的纠缠和爱因斯坦-波多尔斯基-罗森(EPR)操控;Jing等7 研究了如何在两个空间分离的BEC之间产生量子纠缠;Charalambous等8研究了BEC中两个非耦合杂质的纠缠和压缩;Li9 提出了一种利用激光脉冲制备旋量BEC的自旋压缩态的理论方案。以前的研究大多讨论BEC密度很小时的情况,此时两体相互作用对BEC的动力学性质起主要作用。因此,研究BEC的自旋压缩和量子纠缠时,只需要考虑两体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响。但是,当BEC的密度比较大时,三体相互作用和四体相互作用10,11 对系统起主要作用,相关研究表明:即使一个很小的三体相互作用,对BEC的动力学不稳定性、隧穿动力学以及非线性特性等都会产生极其重要的影响。因此,当BEC的密度比较大时,需要考虑三体相互作用、甚至四体相互作用对BEC的自旋压缩和量子纠缠的影响,目前此方面的研究较少,大多数研究主要集中在三体复合损失对自旋压缩的影响。Li等12研究了BEC中三体复合损失对自旋压缩的影响;Sinatra等13 研究了BEC中单粒子损失、两体损失和三体复合损失对自旋压缩的影响。但是,通常三体相互作用系数是一个复数,其实部表示三体散射参数,而其虚部则表示三体复合损失,相关研究表明:三体复合损失远小于三体散射参数。以85Rb为例,其三体散射参数ReG3=3.310-27 cm6/s,而三体复合损失为ImG3=-610-30 cm6/s,即ImG3/ReG31/10014。因此,单纯研究三体复合损失对自旋压缩的影响还不够,需要进一步深入研究三体散射参数和四体相互作用对BEC的自旋压缩和量子纠缠的影响。本文研究了BEC的密度较大时,三体相互作用和四体相互作用对BEC的自旋压缩和量子纠缠的影响。考虑到三体复合损失远小于三体散射参数,本文忽略了三体复合损失和四体相互作用虚部对BEC的作用,着重研究三体散射参数和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响。利用短时近似15,计算了BEC的自旋压缩参数16 和量子纠缠参数1719,结果表明三体相互作用和四体相互作用在自旋压缩和量子纠缠产生的过程中起重要作用,且与三体相互作用相比,四体相互作用能产生更强的自旋压缩和更好的量子纠缠。1 物理模型若BEC的密度较大,需要考虑三体相互作用和四体相互作用对BEC动力学的影响,这些高阶相互作用可以产生更好的压缩,为探索光学晶格中存在多体相互作用时的超冷物质物理提供足够的动因20。根据二次量子化理论,含三体相互作用和四体相互作用的BEC系统的哈密顿量可以表示为11H=(a+a+b+b)+g(b+a+H.c)+(a+2a2+b+2b2)+u()a+3a3+b+3b3+()a+4a4+b+4b4,(1)式中:算符a和b分别是两模的湮灭算符,是两种模式的共振频率,、u和分别是每个凝聚体中的两体相520第 40 期李嵩松:玻色-爱因斯坦凝聚体中三体和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响研究互作用、三体相互作用和四体相互作用强度,g是两模BEC之间的耦合强度。此处主要关注三体相互作用和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响。通过引进赝角动量算符J+=b+a和Jz=(b+b-a+a)/2,可以将(1)式表示为H=2J4z+fJ2z+2gJx,(2)式中 f=(3N2-18N+22)+3(N-2)u+2。值得注意的是,由于整个系统的总粒子数N守恒,它对系统的动力学性质除了增加一个整体相位因子之外,不会产生其他影响,因此在(2)式中省略了与N有关的项N+(N/2-1)+u(N2-6N+8)/4+(N3-12N2+22N-48)/8。由(2)式可以看出,非线性项2J4z和fJ2z的出现使解析求解BEC的动力学特性变得很难,这里利用短时近似15研究系统的自旋压缩和量子纠缠特性。短时近似就是将算符用泰勒级数展开,在很短的时间内这种近似是有效的。将角动量算符Jz和J+用泰勒级数展开,保留到时间的二阶,就可以得到Jz(t)和J+(t)的含时近似解Jz(t)=gt2(J3zJ+J2zJ+Jz+JzJ+J2z+J+J3z+J3zJ-+)J2zJ-Jz+JzJ-J2z+J-J3z+()1-2g2t2Jz+gft22(J+Jz+JzJ+J-Jz+JzJ-)-igt(J+-J-)(3)J+(t)=(1-g2t2+f2t2/2)J+2it(J3zJ+J2zJ+Jz+JzJ+J2z+J+J3z)+ift(J+Jz+JzJ+)-2igtJz-22t2(J6zJ+2J5zJ+Jz+)3J4zJ+J2z+4J3zJ+J3z+3J2zJ+J4z+2JzJ+J5z+J+J6z-ft2(2J4zJ+4J3zJ+Jz+5J2zJ+J2z+4JzJ+J3z+2J+J4z)+gt2(8J4z+2J2zJ2+2J2+J2z+4J+J2zJ+4JzJ2+Jz+2J2+-J-J2zJ+-J+J2zJ-2J2zJ-J+-2J+J-J2z+J+J-Jz-JzJ-J+-2JzJ-J+Jz-2JzJ+J-Jz)-J-JzJ+Jz-JzJ+JzJ-+g2t2J-f2t2(J+J2z+J2zJ+)+fg2t2(4J3z+2J2+-J+J-J-J+).(4)简便起见,在(3)、(4)式中将Jj(0)简记为Jj,j=+,-,z。利用赝角动量算符Jz和J+的含时表达式Jz(t)和J+(t),就可以进一步研究具有三体相互作用和四体相互作用的玻色-爱因斯坦凝聚体的自旋压缩和量子纠缠。2 自旋压缩自旋压缩可以用来刻画量子纠缠,但是自旋压缩的定义却不是唯一的,此处采用Kitagawa和Ueda定义的自旋压缩参数162=4N(DJn)2min(5)判断玻色-爱因斯坦凝聚体是否处于自旋压缩态。如果21,则意味着玻色-爱因斯坦凝聚体处于自旋压缩态,并且2的值越小,压缩程度越高。(5)式中(DJn)2min表示在垂直于平均自旋方向的平面上的最小自旋涨落,因此,要判断玻色-爱因斯坦凝聚体是否处于自旋压缩态,首先要确定平均自旋方向21。平均自旋方向在521量 子 电 子 学 报40 卷球坐标系中可以表示成n1=sincosx+sinsiny+cosz,(6)与平均自旋方向相垂直的两个方向则可以表示成n2=-sinx+cosy,(7)n3=-coscosx-cossiny+sinz.(8)在(6)(8)式中,方位角为=arctan(Jy()tJx()t),(9)极化角为=arctan Jz()tJx()t2+Jy()t2+Jz()t2 .(10)因此,要求出平均自旋方向,就要先求出三个平均值Jx()t、Jy()t和Jz()t。假设玻色-爱因斯坦凝聚体的初态是Jz的最低能量本征态j-j(j=N/2),经过简单计算可以得到Jx()t=-fg4t2N(N2+2)+gt2N(N32-3N2+2N-1),(11)Jy()t=gNt ,(12)Jz()t=-(1-2g2t2)N2 .(13)将(11)(13)式代入(9)、(10)式,再代入(6)式,就可以求出平均自旋方向。为了求出2,还需要进一步求出在垂直于平均自旋方向的平面(n2n3)上的最小自旋涨落(DJn)2min。在(n2n3)平面引入一个任意自旋分量J=Jn=Jn2cos+Jn3sin ,(14)式中:单位矢量n=n2cos+n3sin,是n2和n3方向之间的任意夹角。对夹角求(DJ)2的最小值,就可以得到最小压缩角min=12+arctan(Jn2Jn3+Jn3Jn2J2n2-J2n3),(15)而与平均自旋方向和最小压缩角相垂直的反压缩角max=min+/2。将最小压缩角min分别代入(14)式和(5)式,就可以得到自旋压缩参数2=2N J2n2+J2n3-J2n2-J2n32+Jn2Jn3+Jn3Jn22 ,(16)式中J2n2=12j(j+1)-J2z()t-cos(2)Re J2+()t-sin(2)Im J2+()t,(17)522第 40 期李嵩松:玻色-爱因斯坦凝聚体中三体和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响研究J2n3=12cos2j(j+1)-J2z()t+cos(2)Re J2+()t+sin(2)Im J2z()t-12sin(2)cosRe J+()t2 Jz()t+1+sinIm J+()t2 Jz()t+1+sin2 J2z()t (18)Jn2Jn3+Jn3Jn2=sin(2)cosRe J2+()t-cos(2)cosIm J2+()t-sinsinRe J+()t2Jz()t+1-cosIm J+()t2Jz()t+1.(19)从上面的讨论可以看出,只要求出J2+()t、J2z()t和J+()t2Jz()t+1三个平均值,就可以求出自旋压缩参数。经过繁琐的计算可以得到 J2+()t=(1-2g2t2)N24+g2t2N+f2g2t44N(N-1)2+g22Nt4(16j6-48j5+68j4-56j3+28j2-8j+1)+fg2Nt4(6j4-16j3+14j2-6j+1)(20)J2+()t=(1-g2t2)g2t2N-f22g2t4N(N-1)2-g2t2N2+f2g216t4N2(N2+2)2+fg2t4N(8j6+12j5-29j4+42j3-33j2+13j-2)-ifg2t3N22(N2-2)+2g2t4(32j8-96j7+120j6-68j5-6j4+37j3-17j2+8j-1)-2ig2t3N(4j3-6j2+4j-1)-ifg2t3N(N-1)-ig2t3N2(N3-4N+2)(21)J+()t2Jz()t+1=-2g3t4N(j-1)3+j(j-1)2+j2(j-1)+j3+fgt2(1-2g2t2)j2(N2+2)-fg3t4N(N-1)-igt(1-2g2t2)N2+gt2(1-2g2t2)N2(4j3+6j2-4j+1)-2ig3t3N+J+()t.(22)将这些平均值代入(16)式,就可以求出2的大小。这里仅关注三体相互作用和四体相互作用对2的影响。从图1可以看出:BEC最初处在Jz的最低能量本征态j-j,这是一个直积态,因此2=1。随着时间的演化,2开始单调随t减小,表示在动力学过程中能够产生自旋压缩。对比图1中的曲线可以看出:三体相互作用和四体相互作用越强,2越小,意味着产生的自旋压缩程度越高;=0.2 时2的值要明显小于=0.1时2的值,即四体相互作用能比三体相互作用产生更强的自旋压缩。因此,要在BEC的演化过程中产生更强的自旋压缩,可以增加四体相互作用和三体相互作用的强度,尤其是四体相互作用的强度。3 量子纠缠刻画量子纠缠的方式很多,这里采用两种纠缠参数来刻画BEC的纠缠程度。第一种纠缠参数是1719=(N-1)(DJk)2+(DJl)2-J2m-N4(N-2),(23)式中角标k、l、m分别表示三个相互垂直的方向。如果0就表示量子系统处于纠缠态。第二种纠缠参523量 子 电 子 学 报40 卷数是1719=a+ab+b-|b+a|2,(24)如果0也表示量子系统处于纠缠态。图1 不同u和时,2随t的演化关系,其中N=8,g=4Fig.1 2 as a function of t for various u and with N=8 and g=43.1 纠缠参数根据的定义,可以将k选为最小压缩方向、l为反压缩方向、m为平均自旋方向,这样就可以得到表达式=(N-1)12 J2n2+J2n3-J2n2-J2n32+Jn2Jn3+Jn3Jn22+J2n1-Jn12-12 J2n2+J2n3+J2n2-J2n32+Jn2Jn3+Jn3Jn22-N4(N-2)(25)式中Jn1=Jx()t2+Jy()t2+Jz()t2,(26)J2n1=12sin2j(j+1)-J2z()t+cos(2)Re J2+()t+sin(2)Im J2z()t+12sin(2)cosRe J+()t2 Jz()t+1+sinIm J+()t2 Jz()t+1+cos2 J2z()t.(27)图2为 随 t 演化的关系,由图可见,在BEC的演化过程中能够很快地产生量子纠缠。与三体相互作用和四体相互作用对自旋压缩的影响一样,三体相互作用和四体相互作用越强,量子纠缠参数越小,即BEC的量子纠缠越好;此外,四体相互作用能比三体相互作用产生更好的量子纠缠。524第 40 期李嵩松:玻色-爱因斯坦凝聚体中三体和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响研究3.2 纠缠参数由于a+ab+b=N2/4-J2z、b+a=J+,因此=N2/4-J2z()t-|J+()t|2.(28)将J+()t和J2z()t代入(28)式,就可以计算。图3为 随 t 演化的关系,由图可见 与的结果一致。图2 不同u 和 时,随 t 的演化关系,其中N=8,g=4Fig.2 as a function of t for various u and with N=8 and g=4图3 不同u和时,随t的演化关系,其中N=8,g=4Fig.3 as a function of t for various u and with N=8 and g=44 结 论研究了BEC的密度较大时,三体相互作用和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响。由于三体复合损失远小于三体散射参数,本研究忽略了三体复合损失和四体相互作用虚部对BEC的作用,着重研究了三体散射参数和四体相互作用对自旋压缩和量子纠缠的影响。利用短时近似,计算了由Kitagawa和Ueda定义的自旋压缩参数和两种不同的量子纠缠参数。结果表明:在动力学过程中,随着三体散射参数和四体相互作用对BEC的作用,能够很快产生自旋压缩和量子纠缠,并且更强的三体相互作用和四体相互作用,能够产生更强的自旋压缩和更好的量子纠缠;此外,与三体相互作用相比,四体相互作用能产生更强的自旋压缩和更好的量子纠缠。研究结果为制备更强的自旋压缩态和更好的量子纠缠提供了理论依据。525量 子 电 子 学 报40 卷参考文献参考文献:1Bai L,Li J Q,Liang J Q.The dynamics of spin squeezing under multiple Bosonic reservoirs J.Journal of Quantum Optics,2018,24(3):251-258.白 磊,李军奇,梁九卿.多个玻色库下的自旋压缩动力学J.量子光学学报,2018,24(3):251-258.2Peng J Y.Optional remote state preparation of four-quantum entangled state J.Chinese Journal of Quantum Electronics,2019,36(6):719-726.彭家寅.四量子纠缠态的可选远程态制备 J.量子电子学报,2019,36(6):719-726.3Wang Y.Control of Bose-Einstein condensate soliton in double potentialsJ.Chinese Journal of Quantum Electronics,2021,38(6):823-829.王 艳.双势作用下玻色-爱因斯坦凝聚孤子的操控J.量子电子学报,2021,38(6):823-829.4Zhang A X,Jiang Y F,Xue J K.Nonlinear energy band structure of spin-orbit coupled 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