变量核分数次极大交换子在变指标Morrey空间上的有界性.pdf

第49 卷第4期2023年8 月文章编号：16 7 3-519 6（2 0 2 3)0 4-0 16 2-0 4（1.兰州文理学院教育学院，甘肃兰州7 30 0 0 0；2.陇东学院数学与信息工程学院，甘肃庆阳7 450 0 0）摘要：应用核函数Q(，之）的性质，证明了由变量核分数次极大算子Ma与Lipschitz函数b生成的交换子Mn.a.b是变指标Morrey空间Mp(.)，u（R ）上的有界算子，从而推广了以往非变量核的相关结果.关键词：分数次极大算子；交换子；变指标Morrey空间；变量核中图分类号：0 17 4.2Boundedness of fractional maximal commutators with variablekernels on variable exponent morrey spacesYANG Xu-sheng,WANG Su-ping(1.School of Education,Lanzhou University of Arts and Science,Lanzhou 730oo0,China;2.School of Mathematics and Information Engi-neering Statistics,Longdong University,Qingyang 745000,China)Abstract:By using the properties of kernel function Q(,),it is proved that the commutators Mo.6generated by the fractional Maximal operator with variable kernel Mo.and Lipschitz function b is a bound-ed operator on variable exponent Morrey space Mp(),u(R),which generalizes the previous results relatedto non-variable kernels.Key words:fractional Maximal operator;commutators;variable exponent Morrey space;variable kernel兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of Technology变量核分数次极大交换子在变指标Morrey空间上的有界性杨旭升*1，王素萍2文献标志码：AVol.49No.4Aug.20231主要结果设S-1为R（n 2)中的单位球面,其上的Lebesgue 测度用 do=do（)表示核函数（，)EL(R)XL(S-1)(s1)满足:sup(1Q(a,z)1de)0设bELip（R ），变量核分数次极大交换子Ma.b 定义为收稿日期：2 0 2 2-0 4-2 6基金项目：国家自然科学基金（1156 10 6 2)，甘肃省自然科学基金（2 3JRRM730），甘肃省高等学校创新基金（2 0 2 0 B-255)通讯作者：杨旭升（19 8 1-），男，甘肃秦安人，讲师.Email:M.6(f)(a)=SUpJ1yr1 b()-b(y)1 f(y)dy1971年,Muckenhoupt等1考虑奇异积分Ta的加权有界性时引进了一类变量核分数次积分算子Ta.,并且证明了Ta.的(L（R ),L（R )有界性，2 0 11年，章迎春等2 1考虑了带可变核的分数次(1)积分算子及其交换子在Herz型Hardy空间的有界性，邵旭等3 得到了带变量核的分数次积分交换子在加权Morrey-Herz空间上的有界性，默会霞等4在以往研究的基础上探讨了带变量核的分数次(2)积分算子与局部Campanato函数生成的交换子在广义局部Morrey空间的有界性.随后，赵欢等5又讨论了带变量核的分数次积分交换子在变指标Herz-Morrey空间上的有界性关于变量核积分算子及其交换子的研究已取得了丰硕的成果6-12.2009 年,Izuki13首次引进了一类变指标Herz空间K%）（R ），并探讨了其性质.Izuki14得到了分数次积分算子在变指标Herz-Morrey空间上的12(,-y)Ix(3)第4期有界性估计，2 0 12 年，Wang等15引人了一类变指标Herz-Hardy空间，同时给出了此类空间上的原子刻画，Xu等16 在变指标Herz-Morrey，H e r z-Hardy空间等的基础上引入了一类变指标Herz-Morrey-Hardy空间，同时也考虑了奇异积分算子在此类空间上的有界性.Wang 等17 考虑了奇异积分算子在变指标弱Herz空间上的有界性.受以上研究的启发，本文探讨了变量核分数次极大交换子在变指标Morrey空间上的有界性.先给出一些必要的定义与记号.设kEZ,记B=B(0,2)=(ER:|2k），及C,=BBk-1，并记=c,为集C，的特征函数。定义P（R )为所有构成的集合且满足：1p-:=ess inf p(),p+:=esssupp()0,变指标 Lebesgue空间L()(R)定义如下：Lp()(R)=(Lf()p()da0其范数为I/I L2(R)=inf(n0:J,R易知,若p（）=为常数,则Lp）（R )为经典的Lebesgue 空间 Lp(.)(R).定义 2 18)设p()E P(R),1p()0,存在常数 C0使得可测函数u(,r):RX(0,80)(0,)满足：II B(c.r)I,0)(R)8j=0则u是Lp）（R )意义下的一个Morrey权函数.记Wp()为满足式（6)的Morrey权函数全体所成集合.杨旭升等：变量核分数次极大交换子在变指标Morrey空间上的有界性标 Lebesgue空间 Lp()(R).本文主要结果如下：定理1 设bELipp(R),01,0O,使得对任意的fEM,(.).u（R )成立：tERCLf()p()dcu(,2i+1r)Cu(,r)163定义318 设p()EB(R),u(r,r)EWp(.).变指标Morrey空间M,(.).u(R)定义如下：1supaERarvou(,r)注1 当u(,r)=1时,Mp(.),(R)即为变指%且1p-力+p+,定义11q(）为S和g,存在一个常数C0,成立II fgl/Lpo)(R)CIl/L7(.)(R引理 313 设（)EB(R),则存在常数C0,使得对任意的 BCR,成立1CB引理4设bELipp(R),01,p()EB(R)且 0 0,使得对任意的ELp()(R),成立设p(),pi（),p2（)E1 f()g()/da111,对任意的可测函数q()gL(R)(7)n.164利用文7 中引理4的方法，容易证明引理4的结论，在此不再详述.定理1的证明月设fEMp().（R ),对任意的ER,jEN(O)和r0,记f()=f(a)+2f;(a)兰州理工大学学报从而X第49 卷72j-1其中 f。=f x(c.2.f,=f xB(e,2i+1,)B(e,2ir)有再根据u(z,2r)Cu(z，r)得1u(z,r)1Cu(z,2r)对任意的iEN(O)，b ELi p s（R ）,利用引理1可得I Mo.bf,()/JB(cz,2i+1r)B(c,2 n)/-yIb()-b(y)Il f(y)|dyI f(y)I dyB(,2i+1r)I.由引理4，C(2ir)-mp根据以上估计，可得I B(e,2+1,Il,90)(R)1从而(8)XB(r)2Z I Ma.ab.f,;()/0取上确界，于是可得定理1证毕.参考文献：1MUCKENHOUPT B,WHEEDEN R.Weighted norm inequal-ities for singular and fractional integrals JJ.Trans AmerMath Soc,1971,161:249-258.2章迎春，赵凯，邵帅，等.带可变核的分数次积分算子及其交换算子的有界性J.青岛大学学（自然科学版），2 0 11，2 4(2);5-9.3邵旭，陶双平，王素萍.带变量核的分数次积分交换算子在加权Morrey-Herz空间的有界性J.应用数学学报，2 0 14，37(3):497-506.4默会霞，薛红旸.带变量核的分数次积分交换算子与局部Cam-panato函数生成的交换子在广义局部Morrey空间的有界性J.数学进展，2 0 17，46（5）：7 55-7 6 4.5赵欢，周疆.带变量核的分数次积分交换算子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性J.西南师范大学学报（自然科学版）,2 0 18,43(6)：11-16.6SHAO X K,TAO S P.Weighted estimates of variable kernelfractional integral and its commutators on Vanishing general-ized morrey spaces with variable exponent JJ.Chin Ann MathSer B,2021,42(3):451-470.7 SHAO X K,TAO S P.Weak type estimates of variable kernel杨旭升等：变量核分数次极大交换子在变指标Morrey空间上的有界性8ILq()(R)一XMp(.).u(R)4.(R)165fractional integral and their commutators on variable exponentMorrey spaces J.Journal of Function Spaces,2019(2):7152346.8王素萍，岳晓红，邵旭.变量核多线性分数次极大算子的一致有界性.安徽大学学报（自然科学版），2 0 13，37（4）：2 8-31.9邵旭道，王素萍.带变量核的参数型Marcinkiewicz积分的BMO估计J.兰州理工大学学报，2 0 18，44（3)：155-158.10杨旭升，王素萍.带变量核的分数次积分交换子的弱Hardy(10)估计J.安徽大学学报（自然科学版），2 0 2 0，44（3）：2 5-2 9.11CHEN Y P,DING Y,LI R.L boundedness for maximalcommutators with rough variable kernels JJ.Rev Mat Ibe-roam,2011,27:361-391.12WANG H.Estimates of some integral operators with bound-ed variable kernels on the Hardy and weak Hardy spaces J.Acta Math Sin(Engl Ser),2016,32(4):411-438.13IZUKI M.Boundedness of vector-valued sublinear operatorson Herz-Morrey spaces with variable exponent J.Math SciRes J,2009,13:243-253.14IZUKI M.Vector-valued inequalities on Herz spaces andcharacterizations of Herz-Sobolev spaces with variable expo-nent JJ.Glas Mat Ser II,2010,45(2):475-503.15WANG H,LIU Z G.The herz-type hardy spaces with varia-ble exponent and their applications J.Taiwanese J Math,2012,16(4):1363-1389.16XU J S,YANG X.Herz-Morrey-Hardy spaces with variableexponents and their applications J.Journal of FunctionSpaces,2015,2015(318):1-19.17WANG H,LIU Z G.Boundedness of singular integral opera-tors on weak Herz spaces with variable exponent JJ.AnnFunct Anal,2020,1l:1108-1125.18HO K.The fractional integral operators on morrey spaceswith variable exponent on unbounded domains JJ.Math Ine-qual Appl,2013,16:363-373.19KOvACCIK O,RAKOSNIK J.On spaces L b(a)and w.k.p(c)JJ.Czechoslovak Math J,1991,41(4):592-618.