半正带一维Minkowski平均曲率算子的非线性Dirichlet问题的正解 (1).pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 0 2半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解李志强,路艳琼(西北师范大学 数学与统计学院,兰州7 3 0 0 7 0)摘要:用时间映像原理证明在非线性项半正情形下带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=0,u(1)=0正解的存在性和多重性,其中:参数0;f:0,)为连续函数,f(0)0,f(s)0,f(s)0,且存在常数,(0,1),使得f()=0,F()=0,F(s)=s0f(t)dt,并将非线性项从f(0)0推广到f(0)0的情形.关键词:M i n k o w s k i平均曲率算子;正解;多解性;时间映像中图分类号:O 1 7 5.8 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 8 5-1 1P o s i t i v eS o l u t i o n s f o rS e m i p o s i t i v eN o n l i n e a rD i r i c h l e tP r o b l e mw i t hO n e-D i m e n s i o n a lM i n k o w s k iM e a nC u r v a t u r eO p e r a t o rL IZ h i q i a n g,L UY a n q i o n g(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u7 3 0 0 7 0,C h i n a)收稿日期:2 0 2 2-1 0-0 3.第一作者简介:李志强(1 9 9 5),男,汉族,硕士研究生,从事常微分方程与差分方程边值问题的研究,E-m a i l:2 5 9 3 7 4 1 9 9 0q q.c o m.通信作者简介:路艳琼(1 9 8 6),女,汉族,博士,副教授,从事常微分方程与差分方程边值问题的研究,E-m a i l:l u y q 8 6 1 01 2 6.c o m.基金项目:国家自然科学基金青年科学基金(批准号:1 1 9 0 1 4 6 4;1 1 8 0 1 4 5 3)、西北师范大学青年教师科研能力提升计划项目(批准号:NWNU-L KQN-2 0 2 0-2 0)、甘肃省青年科技基金计划项目(批准号:2 1 J R 1 R A 2 3 0)和甘肃省高等学校创新能力提升项 目(批准号:2 0 2 1 A-0 0 6).A b s t r a c t:B yu s i n gt h et i m em a p p i n gp r i n c i p l e,w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o r t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ho n e-d i m e n s i o n a lM i n k o w s k im e a nc u r v a t u r eo p e r a t o r i nt h es e m i p o s i t i v ec a s eo fn o n l i n e a r t e r m su 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=0,u(1)=0,a n dt h en o n l i n e a rt e r mi sg e n e r a l i z e df r o mf(0)0t of(0)0i sap a r a m e t e r,f:0,)i sc o n t i n u o u s,f(0)0,f(s)0,f(s)0,a n dt h e r ee x i s t ss o m ec o n s t a n t s,(0,1)s u c ht h a tf()=0,F()=0,F(s)=s0f(t)dt.K e y w o r d s:M i n k o w s k im e a nc u r v a t u r eo p e r a t o r;p o s i t i v es o l u t i o n;m u l t i p l i c i t y;t i m em a p1 引言与主要结果物理学中的许多模型均可由给定的平均曲率方程表示,例如:刻画相对论意义下质点的运动状态1-2;人体眼角膜的形状3;非线性微电子力学系统模型4等.为研究这些模型的物理规律,使求解带有平均曲 率算子微 分方程边值 问 题 正 解 的 存 在 性 和 多 重 性 备 受 关 注3-6.特 别 地,具 有 一 维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t边值问题正解的存在性研究目前已获得许多结果5-1 2.M a等8用时间映像原理获得了带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=u(1)=0(1)正解的存在性和多重性,其中:0是参数;f(0,),)满足f(0)0,存在a1b1a2b2bn-1an,使得f(ai)0,且F(bi)F(u)(0ubi,i=1,2,n-1)成立.Z h a n g等9用时间映像原理获得了边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(x)0,-Lx0为参数;f为具体的非线性函数,即f为f(u)=up,f(u)=up+uq(p,q0),f(u)=au(0a0为参数;f满足fC2(0,),),f(0)0,f(u)0,u f(u)f(u)+12u2f(u),0uL.注意到文献5-1 0 的结果中非线性项均要求f(0)0,而当f(0)0为参数;fC2(0,),),f(0)0.M a y a等1 5将上述结果发展到半线性椭圆型D i r i c h l e t问题上.此后,该类半正条件被应用于各类边值问题正解的存在性研究中1 3-1 7.当非线性 项 满 足f(0)0;f满足如下假设条件:(H1)fC2(0,),)且f(0)0时,f(s)0,f(s)0;(H5)f(0)0,存在00;当s时,f(s)0.基于以上假设,本文主要结果如下:687 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 定理1 假设(H1)(H4)且f()f()成立,则存在01*2时,边值问题(1)至少有一个正解,如图1所示.进一步,如下结论成立:1)l i mp(p)=*;2)l i mp1-(p)=.图1 定理1的时间映像函数图像F i g.1 T i m em a pf u n c t i o n i m a g e so f t h e o r e m1图2 定理2的时间映像函数图像F i g.2 T i m em a pf u n c t i o n i m g e so f t h e o r e m2定理2 假设(H1)(H3),(H5)且f()0,使得当(0,*)时,边值问题(1)没有正解;当=*时,边值问题(1)至少有一个正解;当*时,边值问题(1)至少有两个正解,如图2所示.进一步,如下结论成立:1)l i mp(p)=;2)l i mp1-(p)=.787 第4期 李志强,等:半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解 2 预备知识下面利用时间映像原理讨论问题(1)解的一些性质.由假设条件(H1)(H3),记S=p p,f(p)f(u),u0,p).引理17 若(,u)是问题(1)的一个正解,则0,u=pS.若存在x0(0,1),使得u(x0)=0,则以下结论成立:1)x0=12,x0(0,1);2)u(x0)是u(x)唯一的最大值;3)当x(0,x0)时,u(x)0;当x(x0,1)时,u(x)0,定义映射T(p)=p0du1-(1+(F(p)-F(u)-2=p10dv1-(1+(F(p)-F(p v)-2=12,(6)T(p)称为函数f的时间映像.显然,若u为问题(1)的正解,则u必满足微分算子u(x)1-u(x)2,易验证u 2 1,故u(x)1.令u=x0u(t)dt,则易见u=m a xx(0,1)x0u(t)dtx0u(t)dt1.实际上,边值问题(1)解的存在性等价于式(6)解的存在性8-1 0.为计算方便,令=(F(p)-F(p v),=p=(f(p)-v f(p v),=(f(p)-v2f(p v),记T(p)=T(p),T(p)=T(p)p,其中T(p)=p101+(2+)dv.引理2 假设(H1)(H3)成立,则当p时,问题(1)无正解.证明:反设当p时,问题(1)存在正解u(x),则u(x)满足问题(1),结合式(5)并整理得0u(x)2=1-(1+(F(p)-F(u)-1/2,x(0,1).887 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 又因为当p时,1+(F(p)-F(u)1,所以1-(1+(F(p)-F(u)-1/20.显然矛盾.故当p0,p,1),T(p)关于单调递减.证明:对T(p)关于求偏导数,得T=p102(2+)-(1+)2(2+)3/2dv.令h()=2(2+)-(1+)2,则h()=2(2+)-(1+)2=-,又因为0,故h()0.因此T0,有:1)l i mp+T(p)=T();且存在0,使得当时,T()12;当时,T()0,对任意给定的0,取v 0,+,p(,+),均有f(p v)0,存在0,使得F(p)-F(p v)时,l i mp+T(p)0,存在0,使得当1-u1时,均有f(u)0和(,p),对任意的-3+8+4a2(1-)f(),-3+8+4a2(-)f(),存在p*(,1),使得当p(,p*)时,T(p)关于p单调递减;当pp*时,T(p)关于p单调递增.证明:显然时间映像为T(p)=p0du1-(1+(F(p)-F(u)-2=p10dv1-(1+(F(p)-F(p v)-2.令G(v)=F(p)-F(p v),则有G v(v)=-p f(p v).若(H4)成立,则G v(v)0,v 0,p;G v(v)Gp;当vp,1时,G(v)0,v 0,p;G v(v)Gp;当vp,1时,G(v)F(p).图3 满足假设条件(H1)(H4)的G(v)函数图像F i g.3 G(v)f u n c t i o n i m a g e t h a t s a t i s f i e sa s s u m p t i o nc o n d i t i o n s(H1)(H4)图4 满足假设条件(H1)(H3),(H5)的G(v)函数图像F i g.4 G(v)f u n c t i o ni m a g e t h a t s a t i s f i e sa s s u m p t i o nc o n d i t o n s(H1)(H3),(H5)令h(v)=1-(1+(G(v)-2,由G(v)的单调性可知,当v 0,p时,h(v)单调递增,当vp,1时,h(v)单调递减.又因为T(p)=10(1+)(2+)-p(2+)3/2du,令H(p,v)=(1+)(2+)-p,由上述证明可知,当v 0,p时,H(p,v)0;当vp,1时,H(p,v)0.令v=p,a(p-)f()=p f(p),H p,p=0,则097 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 H p,p=(F(p)-F()(1+(F(p)-F()(2+(F(p)-F()-p f(p)=(p-)f()(1+(p-)f()(2+(p-)f()-a(p-)f()(p).令y=(p-)f(),可得y3+3y2+(2-a)y=0,解得y=-3+8+4a2,即(p-)f()=-3+8+4a2,从而可得p*=-3+8+4a2 f()+.又因为p*(,1),所以-3+8+4a2 f()+1,解不等式得-3+8+4a2(1-)f()0,有:1)l i mpT(p);2)l i mp1-T(p)1.证明:由引理4中2)及类似的讨论可知,2)显然成立,下证1)成立.对充分小的0,任取v 0,4(+),p(,+),均有f(p v)0,f(p v)0,使得F(p)-F(p v)F(p)+(v)2.从而l i mp+T(p)=l i mp+p01+F(p)-F(u)(1+F(p)-F(u)2-1du=l i mp+p01+F(p)-F(u)(F(p)-F(u)(2+F(p)-F(u)du=l i mp+p101+F(p)-F(p v)(F(p)-F(p v)(2+F(p)-F(p v)dvl i mp+p101+(F(p)+(v)2)(F(p)+(v)2)(2+(F(p)+(v)2)dv101+(v)2(v)2(2+(v)2)dv=l n(2v2+2-2)-l n(2v2+2+2)23/2+110=.引理7 假设(H1)(H3)成立.令=1-42,则有:1)若(H4)成立,则2+2(f()-f(0)*2+2 f(),如图5所示;2)若(H5)成立,则2a+2a(f()-f(0),如图6所示.图5 结论1)的积分图像F i g.5 I n t e g r a l i m a g e so f c o n c l u s i o n1)图6 结论2)的积分图像F i g.6 I n t e g r a l i m a g e so f c o n c l u s i o n2)197 第4期 李志强,等:半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解 证明:1)当(H1)(H4)成立时,由图5可见,连接点(0,0)与点(,f(),可确定直线y1=f()s;连接点(0,f(0)与点(,f()可确定直线y2=f()-f(0)s,显然y2f(s)y1.分别对其从0到积分,得0y2ds0f(s)ds0y1ds.由积分的性质可知12(f()-f(0)F()12f(),-12 f()-F()-12(f()-f(0),故1-12 f()1-F()1-12(f()-f(0).又因为T()=0du1-(1-F(u)-2=12,所以0du1-1-12 f()-2T()0du1-1-12(f()-f(0)-2,0du1-1-12 f()-20du1-(1-F(u)-20du1-1-12(f()-f(0)-2.由左 边 不 等 式121-1-12 f()-2,解 得*2 1-42+2(1-42)f();由 右 边 不 等 式 解 得*2 1-42+21-42(f()-f(0).由该不等式解得*满足2 1-42+21-42(f()-f(0)*2 1-42+21-42f().2)当(H1)(H3),(H5)成立时,由图6及类似于1)的讨论可知f(s)f()-f(0)s,对其从0到积分得,F().由引理4知,l i mp+T(p)=T(),且存在20,使得当2时,T()12;当2时,T()12.再结合引理7知,l i mp(p)=*2成立.对上述给定的2,l i mp1-T(p)1.由定义1和引理5知,存在p*(,1),使得T(p)在(,p*)上单调递减,在(p*,1)上单调递增,故随297 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 着p的变化,T(p)必然与T(p)=12没有交点、有一个交点、有两个交点.又由引理2知,p时无正解,结合T(p)关于参数连续可知,存在01*2时,边值问题(1)至少有一个正解,如图1所示.对任意给定的p(,1),由引理7知,l i mp(p)=*0,存在0,使得当1-u1时,有f(u)(u).从而F(p)-F(u)=puf(s)ds0,当p1-时,有l i mp1-(p)21011-v2dv=.3.2 定理2的证明由时间映像原理知,边值问题(1)解的存在性等价于关于p的方程T(p)=12是否有解,即找到p(0,1),使得T(p)=12成立.由引理6知,对任意给定的0,l i mp+T(p)=且l i mp1-T(p)1.再结合定义1和引理5知,存在p*(,1),使得T(p)在(,p*)上单调递减,T(p)在(p*,1)上单调递增.故随着p的变化,T(p)必然与T(p)=12没有交点、有一个交点、有两个交点.由引理2知,当p时无正解,再结合引理7及T(p)关于参数连续可知,存在0*时,边值问题(1)至少有两个正解,如图2所示.由定理1的证明类似可证l i mp1-(p)=成立,下证l i mp+(p)=成立.由引理6可知,12=p01+F(p)-F(u)(1+F(p)-F(u)2-1dup101+(F(p)+(v)2)(F(p)+(v)2)(2+(F(p)+(v)2)dv,从而(p)2p01+F(p)2+v2F(p)2+v222+F(p)2+v2dv.对任意小的0,当p+时,有397 第4期 李志强,等:半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解 l i mp+(p)2101/1+v2v2/2+v2dv=.4 应用实例例1 考察边值问题u 1-u 2+l n4u+14=0,x(0,1),u(0)=u(1)=0,(7)其中:参数0;f(u)=l n4u+14(0u1).易验证:1)f(0)=l n140,f(u)=-1 6(4u+1/4)2*,问题(7)至少有一个正解.进一步,当p+时,*;当p1-时,.例2 考察边值问题u 1-u 2+f(u)=0,x(0,1),u(0)=u(1)=0,(8)其中:参数0;f(u)=8u-122-1,0u31 6,l n8u-12,31 6u1.易验证:1)f(0)=-340;2)l i ms1-f(s)(s)=0;3)f()=f31 6,F()=0,推出0.2 3 72;4)f(u)=1 0 8u-80 0u022 7u031 6u00u31 6,f(u)=-6 4(8u-1/2)2031 6u1.显然满足假设条件(H1)(H3),(H5).因此由定理2可知,存在0*时,问题(8)至少有两个正解.进一步,当p+时,;当p1-时,.参考文献1 G R E I N E R W.C l a s s i c a lM e c h a n i c s:P o i n tP a r t i c l e sa n d R e l a t i v i t yM.N e w Y o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,2 0 0 4:1-4 8 8.2 HUT T E NEH.R e l a t i v i s t i c(N o n-l i n e a r)O s c i l l a t o rJ.N a t u r e,1 9 6 5,2 0 5:8 9 2.3 OK R A S I NS K IW,P O C I N I C Z AK L.A N o n l i n e a rM a t h e m a t i c a lM o d e lo ft h eC o r n e a lS h a p eJ.N o n l i n e a rA n a lR e a lW o r l dA p p l,2 0 1 2,1 3(3):1 4 9 8-1 5 0 5.4 B RU B AK E RND,P E L E S KOJA.N o n-l i n e a rE f f e c t so nC a n o n i c a lMEM SM o d e l sJ.E u r o p e a nJA p p lM a t h,2 0 1 1,2 2(5):4 5 5-4 7 0.5 B E R E ANUC,MAWH I NJ.E x i s t e n c ea n d M u l t i p l i c i t yR e s u l t sf o rS o m e N o n l i n e a rP r o b l e m sw i t hS i n g u l a r-L a p l a c i a nJ.JD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 0 7,2 4 3(2):5 3 6-5 5 7.6 B E R E ANUC,J E B E L E AN P,MAWH I NJ.R a d i a lS o l u t i o n sf o rS o m eN o n l i n e a rP r o b l e m sI n v o l v i n g M e a nC u r v a t u r eO p e r a t o r s i nE u c l i d e a na n dM i n k o w s k i S p a c e sJ.P r o cAm e rM a t hS o c,2 0 0 9,1 3 7(1):1 6 1-1 6 9.7 C O E LHOI,C OR S A T O C,O B E R S N E L F,e ta l.P o s i t i v e S o l u t i o n s o ft h e D i r i c h l e t P r o b l e m f o rt h eO n e-D i m e n s i o n a lM i n k o w s k i-C u r v a t u r eE q u a t i o nJ.A d vN o n l i n e a rS t u d,2 0 1 2,1 2(3):6 2 1-6 3 8.8 MAR Y,L U Y Q.M u l t i p l i c i t yo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o rS e c o n d O r d e r N o n l i n e a rD i r i c h l e tP r o b l e m w i t hO n e-D i m e n s i o nM i n k o w s k i-C u r v a t u r eO p e r a t o rJ.A d vN o n l i n e rS t u d,2 0 1 5,1 5(4):7 8 9-8 0 3.9 Z HAN GX M,F E NGM Q.B i f u r c a t i o nD i a g r a m s a n dE x a c tM u l t i p l i c i t yo fP o s i t i v eS o l u t i o n so fO n e-D i m e n s i o n a lP r e s c r i b e dM e a nC u r v a t u r eE q u a t i o n i nM i n k o w s k i S p a c eJ.C o mm u nC o n t e m pM a t h,2 0 1 9,2 1(3):1 8 5 0 0 0 3-1-1 8 5 0 0 0 3-1 7.1 0 GAO HL,XUJ.B i f u r c a t i o nC u r v e sa n dE x a c tM u l t i p l i c i t yo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o rD i r i c h l e tP r o b l e m sw i t ht h eM i n k o w s k i-C u r v a t u r eE q u a t i o nJ/O L.B o u n dV a l u eP r o b l,(2 0 2 1-0 9-2 3)2 0 2 1-1 0-1 5.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 8 6/s 1 3 6 6 1-0 2 1-0 1 5 5 8-x.1 1 苗亮英,何志乾.M i n k o w s k i空间中含平均曲率算子的拟线性微分系统D i r i c h l e t问题径向正解的唯一性 J.吉林大学学报(理学版),2 0 2 2,6 0(1):8 5-8 8.(M I AOLY,HEZQ.U n i q u e n e s so fP o s i t i v eR a d i a l S o l u t i o n so fD i r i c h l e tP r o b l e mf o rQ u a s i l i n e a rD i f f e r e n t i a lS y s t e m w i t h M e a nC u r v a t u r eO p e r a t o ri n M i n k o w s k iS p a c eJ.J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 2 2,6 0(1):8 5-8 8.)1 2 姚燕燕,徐晶,高红亮.带有特殊非线性项的D i r i c h l e t问题正解的确切个数 J.吉林大学学报(理学版),2 0 2 1,5 9(5):1 0 1 5-1 0 2 4.(YAOYY,XUJ,GAO HL.E x a c tM u l t i p l i c i t yo fP o s i t i v eS o l u t i o n so fD i r i c h l e tP r o b l e m sw i t hS p e c i a lN o n l i n e a rT e r m sJ.J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2 0 2 1,5 9(5):1 0 1 5-1 0 2 4.)1 3 MY E R S C OUGH M R,G R AYBF,HOG A R TH W L,e ta l.A nA n a l y s i so fa nO r d i n a r yD i f f e r e n t i a lE q u a t i o nM o d e l f o raT w o-S p e c i e sP r e d a t o r-P r e yS y s t e m w i t h H a r v e s t i n ga n dS t o c k i n gJ.JM a t hB i o l,1 9 9 2,3 0(4):3 8 9-4 1 1.1 4 C A S T R O A,S H I VA J IR.N o n-n e g a t i v eS o l u t i o n s f o raC l a s so fN o n-p o s i t o n eP r o b l e m sJ.P r o cRS o cE d i n b,1 9 8 8,1 0 8 A(3/4):2 9 1-3 0 2.1 5 MAYAC,S H I VA J IR.M u l t i p l eP o s i t i v eS o l u t i o n sf o raC l a s so fS e m i l i n e a rE l l i p t i cB o u n d a r yV a l u eP r o b l e m sJ.N o n l i n e a rA n a l:T h e o r y,M e t h o d sA p p l,1 9 9 9,3 8(4):4 9 7-5 0 4.1 6 CHU KD,HA IDD,S H I VA J IR.U n i q u e n e s so fP o s i t i v eR a d i a lS o l u t i o n sf o raC l a s so f I n f i n i t eS e m i p o s i t o n ep-L a p l a c i a nP r o b l e m s i naB a l lJ.P r o cAm e rM a t hS o c,2 0 2 0,1 4 8(5):2 0 5 9-2 0 6 7.1 7 HA ID D,MUTHUNAYAK E A,S H I VA J IR.A U n i q u e n e s s R e s u l tf o raC l a s so fI n f i n i t eS e m i p o s i t o n eP r o b l e m sw i t hN o n l i n e a rB o u n d a r yC o n d i t i o n sJ.P o s i t i v i t y,2 0 2 1,2 5(4):1 3 5 7-1 3 7 1.(责任编辑:赵立芹)597 第4期 李志强,等:半正带一维M i n k o w s k i平均曲率算子的非线性D i r i c h l e t问题的正解