2022年印度理工学院联合考试%28JEE%29新题赏析.pdf

442023年第7 期数学教学2022年印度理工学院联合考试（JEE）新题赏析钟劲松（湖南教育出版社，湖南长沙410007)1前言印度理工学院联合考试（IITsJEE，即Indian Institutes of Technology Joint EntranceExamination)是印度国内最难的考试之一，是以印度理工学院为首的2 3所理工学院自主组织的入学考试.该考试每年举行一次，,2 0 2 2 年考试于8 月2 6 日举行，考试科目为数学、物理和化学，考试时长为6 个小时，总分36 0 分.上、下午考试时间各为3个小时，上午考数学、物理和化学的试卷I（p a p e r 1），下午考试卷（p a p e r 2).本文选取了数学卷I、中的部分较为新颖、有趣的题目，并提供解答过程.所选取的大部分试题不同于我国现行高中课程标准规定的知识内容，侧重于我国现行教材中没有的知识点，如求极限、定积分、常微分方程、矩阵与行列式等知识，仅供读者参考。2新题赏析2.1函数的极限试题1设为正实数，函数f:RR和(T)g:(，+）R 分别定义为f(x)=sin(122ln(/x-/)和g(x)=则limfLg(x)的值ln(e/为解析:令/x-/=h,xe（，+）,则x*时,有h0t,2lnhlimg(x)=lim-0*In(e*.e/a-x-+2lnh=lim-0*n e/+In(eh-1)2(eh-1)=limheh-0+2e=lime+h.=2,h-0+T则有 limfLg(x)=flimg(x)=f(2)=sin612点评：本题主要考查了函数极限的运算和连续函数的性质，即若函数g在点x。处连续，函数f在点uo处连续，且uo=g（x o），则复合函数fg在点x。处连续.注意求复合函数Lg（x）的极限时，函数符号f与极限符号lim交换的条件.在运算过程中连续两次运用了洛必达法则.试题2已知-(1-x)+1+(1-x)-1sinx=limx02xsinx求6 的值.解析：因为当x趋于0 时,即x0时,有323+x3+0(x3),xsinxe11(1-x)3(3），31(1-x2)22因此(1-)+321+x=lim3X5所以6=5.点评：本题考查极限的运算，当x趋于0时，分母的值趋于x,所以，分子中比x3高阶无穷小的项均可以略去，最后得出结果为5.2.2定积分(lnx)试题3关于方程dx=xa-(lnx)j 2图10.50-0.52DC0.5y-g()2.53A足方程的a：2023年第7 期数学教学1，（-8，0）U（1，+），下列叙述正确的有）.（B）存在满足方程的整数;（C）存在满足方程的无理数;(D)满足方程的多于一个。解析：令lnx=t,因为E（l,e),则tE（0，1），原方程可变形为dt=1,再3令y=t,则一J。(a-y）2(a-y)dy21三3a0113因此有变形为3a-3a-2=0,a一1a23/33解得=,因此选(C)(D).6点评：本题考查了定积分的基本运算，关键是先要对积分变量作适当的代换，再用微积分基本定理，即牛顿一莱布尼兹公式求出具体的值,发现为一对共轭的无理数,故选(C)(D).试题4求不超过/.log2(x3+1)dx+(2*1)d x 的最大整数的值解析：令(2-1)3=t.59因为xe1，lo g 2 9，所以有（2*1）3dx=tdlog2(t3+1),t 1,2.于是log29log2(x3+1)dx+(2*-1)dx221og2(x3+1)dx+/tdlog2(t3+1)12=xlog2(x3+1)=2 log,9-15.339,所以,所求值为5.点评：本题主要考查分部积分公式的应用，即udv=uw-Judu,u(x)、(x)均可导,关键是通过适当恒等变形后将所求表达式转化为可运用分部积分公式的计算形式.5试题5已知f(x)=x2+g()=1241334设为区域30,43y)ER R:lxl,0yminif(x),g(x)/的面积,则9的值为解析：如图1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x），g（x)的图像,则所求的面积为曲边四边形ABDC的面积,即线段AC、CD、D B和曲边AB所构成区域的面积.因为等腰三角形CDE的面积为SaCDE133X2XX2:242利用定积分求出EAB部分的面积，其面积855为22(2-(点B的2dx=3126横坐标可以通过求函数f（），g（x）的图像在第一象限的交点得到，通过解方程可以得出点35B的横坐标为),因此9=9=6.226点评：本题关键是要理解题意，画出函7-462023年第7 期数学教学数f(），g（x）的函数图像,理解（，y）所表示区域的形状，通过定积分得出该形状所表示区域的面积.16+5n-3n试题6定义f(n)=n+4n+3n232+n-3n48-3n-3n2+8n+3n12n+3n25n-7n,n 为正整数,则limf(n)=(）.7n437(A)3+=ln7;(B)4-343473(C)4-1n(D)3+1n 7.一334解析：因为9n-3n+4k(4-n)nf(n)=n+3n+4kn9n+16k4n33n22+4knn3n+4k3n1=4-k=1kn3+4 n当几*时,231趋于=13+4n.1337dx-ln因此limf(n)=4-。3+4x43-+8037ln43故选(B).点评：本题是一道求极限题，要善于观察代数式的特征，再进行合理拆分，最后把求和的极限换成定积分来求，本题考查了观察能力和将求和的极限转化为定积分来求解的能力.2.3常微分方程试题7微分方程xdy-（y?-4y）)d x=0,0，y(1)=2,且曲线y=y(x）的斜率恒不为零,求10 y(/2)的值.dydx解析：将方程变形为,x0,2-4y当y-4y0,即0 y 0,所以10 y(/2)=10=8.22+1点评：本题是一道简单的常微分方程题.求常微分方程的解法灵活多变，通常要掌握几种常用形式的常微分方程的解法.本题需要特别注意的是积分公式dx=ln/x+C(x+X0）的运用.之所以考虑0 0,a=0和0-C3C213-C1C30621-C2，则下列-C2C10b3-1-C3选项中正确的有(A)a=O;(B)=O;(C)6 /10;(D)Ic/11.了解析：因为 =C1C2C3162b0C33C100-C3C213-c1C30-C1b21-C2=a-,二-C2C10-1-c3/若a=0,又a=0,则向量a垂直于向量6、所确定的平面,根据向量积的定义,有a-也垂直于、所确定的平面,因此-和实际上为同一向量,所以=0,与0 矛盾(若=0,则=0,所以a=.又a=3i+了0,所以0），因此选项（A)错误；由向量积的定义可知，向量6 垂直于向3一C1量6、,即向量.-C2=a-垂直于向量1C3、,所以有(a-)=0=a.-.=0,又因为a=0,所以有=0,因此选项(B)正确.由a=0可得b,=b,-3,且bb0,解得b,3,故|=/?+b;+bg=/1+(b,-3)+b,=/2b;-6b,+10/10(或|6|2=1+b2+b3=1+(b2-b)+2hb.10+2h.h10）故选洗项（C）正确对于选项(D),因为=-,所以有a=+,两边平方得a?=(b)+2(6)+2,因此有=+0+2=(+1)（因为与垂直),所以=一.又16|2+1因为|a|=/11，1/10,所以|1,故选项(D)正确.(D)函数g（x）的最小值点不止-303130303031303230313032C30323033303230333034(B)303330333032A30333034.M2 022试题11已知M，则=0,即XX2X3X40,所以有 logs=1=根据多项式函数根与系数的关系可得设方程（*）的四个根分别为ti、t 2、t 3、t 4，.16=68t+16=0.68t)t16t16t4117-482023年第7 期数学教学点评：本题当然也可以根据题目给出的条件求出c1、C2、C的表达式（三个未知数,三个方程，将b2、b，看作已知,且b,=3+b2），即C1、C2、C,的值用字母b，（或b2）表示，解得c,=6-2b33b;+2C2C3二263-6b,+1126;-6b;+119-3b3有ll=Vi+c+c二26;-6b,+11110,i为虚数单位，i=V-1.根据题意有12Z=r2(cos20-isin20)+2cos(-20)+isin(-20)1cos20sin20(cos20+rsin202且有cos 20r?cos20+=sEZ,sin 20rsin20=t E Z.2方程组中两式左右平方后，再相加得12+t2-2.s?+t?-2/(s?+t?-2)?-4解得4=2通过比较发现，只有选项（A）符合要求，即。+t?-2=43,s+t?=45,/43-4=/45 41=3/205，其他均不符合点评：本题是一道复数的计算问题，解决本题的关键是设复数z的三角形式，再将复数的共轭复数、复数的倒数以及复数的乘方均用三角形式表示出来，通过计算得出r=Iz|应具有的形式，从而排除（B）（C）（D）选项.33几点思考普通高中数学课程标准（2 0 17 版）的课程内容中提出，选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程，供学生依据个人志趣自主选择,分为A、B、C、D、E五类.其中A类课程是供有志于学习数理类（如数学、物理、计算机、精密仪器等）学生选择的课程.A类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三个专题.微积分的内容包括数列、函数的极限、连续函数、导数和微分、定积分；空间向量与代数内容包括空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组、空间中的平面和直线、等距变换；统计与概率内容包括连续型随机变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型，并对每一个内容需要掌握哪些知识，掌握到什么程度有明确规定.从2 0 2 2 年印度理工学院联合考试试题来看，其考查的内容已经覆盖到我国数学课程标准中规定的选修课程A类的全部内容，难度已经达到了课程标准中所要求达到的标准。本文从5 个方面归类，选取了14道题进行分析、解答和点评.这14道题虽然不是很难，相对于我国高中数学联赛（一试）和北大、清华等名校的强基计划考试,难度相当,甚至还低一些.特别是与IMO、CM O 试题相比,难度就更小了.容易看出，所选取的题目都较为新颖，对考生分析和解决问题的能力要求较高，几乎没有送分题和套用公式即可直接解决的容易题，要求考生在6 0 分钟内完成18 道新题，确实有不少难度,况且印度理工学院每年的考试题目、题型和考查内容灵活多变，没有规律可寻，这对考生更是不小的考验.比如说卷I的第12/2元32题，求arccos2V2+TV2arctan的值，估计会难倒不少考生，又比如第T8、9、10、11题，若用常规的方法，则不仅难算,还容易算错,要注意观察代数式的结构，利用简便方法得出结果.由此可见，有志于在科学技术、工程建筑等方面有所作为、学有余力的青年，必须在高中阶段打下良好的数学基础，培养数学兴趣，尽可能地拓宽知识视野，并+：-arcsin42+T+将这些知识内容进行有机地联系.参考文献1 https:/www.jeeadv.ac.in/.2 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）S.北京：人民教育出版社,2 0 18:5 0-5 6.（上接第7-34页）已知：如图6，在ABC中，边BC及BC上的高均为定值。因为BC/MN,所以ZNAC=ZACB.因为ZNAC=ZNAC,所以ZACB=ZNAC.因为AB=AC,所以ZABC=ZACB,从而ZABC=ZNAC,所以 ZABC+ZBAN=180,ZCAN+ZBAN=180，即B、A、C 三点共线.所以AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC AB+AC+BC=AB+AC+BC,即等腰ABC的周长小于同底等高的ABC的周长.AMB求证：当ABC为等腰三角形时，其周长最小.证明：过点A作BC的平行线MN，作点C关于MN的对称点C,在MN上任取一点A,连结AB、A C、A C 、A C ,则AC=AC,AC=AC.AC图6参考文献1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）S.北京：北京师范大学出版社,2 0 2 2：8,6 3.2刘培杰.40 0 个最新世界著名数学最值问题M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008:66.ISSN 0488-7387刊号CN31-1024/G4定价：7.0 0 元每月12 日出版代号：4-35 7