MATLAB在高等数学课程教学中的可视化应用.pdf

2023 年 8 月 25 日第 7 卷 第 16 期现代信息科技Modern Information TechnologyAug.2023 Vol.7 No.161811812023.082023.08收稿日期：2023-03-07基金项目：广西高等教育本科教学改革工程一般 A 类项目（2022JGA301）MATLAB 在高等数学课程教学中的可视化应用潘金兰1，潘秋霞2，刘美杏1（1.玉林师范学院 数学与统计学院，广西 玉林 537000；2.广西民族大学，广西 南宁 530006）摘 要：高等数学是一门内容多、概念抽象、理论严密的课程，是学生学习专业课的基础。传统的教学模式主要以教师为主讲，理论学习与习题相结合，让学生在理解中掌握课程内容。文章在传统教学模式的基础上，利用MATLAB 软件在绘图上的优势，通过数据的静态和动态可视化形式，为高等数学课程搭建实验平台，把抽象的逻辑跳跃转变为具体的形象思维，为学习高等数学的学生开辟一条更有效率的捷径，提高学生实际动手能力和综合解决问题能力。关键词：MATLAB；高等数学；可视化中图分类号：TP39；G434 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）16-0181-05Visualization Application of MATLAB in Advanced Mathematics Course TeachingPAN Jinlan1,PAN Qiuxia2,LIU Meixing1(1.School of Mathematics and Statistics,Yulin Normal University,Yulin 537000,China;2.Guangxi Minzu University,Nanning 530006,China)Abstract:Advanced mathematics is a course with many contents,abstract concepts and strict theory,which is the basis for students to learn professional courses.The traditional teaching model mainly focuses on teachers and combines theoretical learning with exercises to enable students to master the course content in their understanding.On the basis of traditional teaching mode,this paper makes use of the advantages of MATLAB software in drawing,builds an experimental platform for advanced mathematics course through static and dynamic visualization of data,transforms abstract logic jump into concrete image thinking,opens up a more efficient shortcut for students learning advanced mathematics,and improves students practical ability and comprehensive problem-solving ability.Keywords:MATLAB;advanced mathematics;visualization0 引 言高等数学是一门研究空间形式和数量关系的学科1，理工科类各专业的学生，都要学习高等数学这门课程，为后继学习其他课程奠定必要的数学基础，学好高等数学这门课对学生今后的发展至关重要。对于地方高等院校的学生而言，由于数学的抽象性和严谨性，学生学习高等数学这门课程的难度较大。因此，探讨如何在教学过程中将高等数学的知识，以通俗易懂的方式进行教学，具有十分重要的现实意义。MATLAB 是一种国际公认的最优秀的数学应用软件之一，它具有算法开发、数值计算、数据分析以及数据可视化等功能，该软件的特点是简单易学、编程效率高、界面友好、功能强大、扩展性强2-4，十分利于学生的学习。将 MATLAB 软件应用于高DOI:10.19850/ki.2096-4706.2023.16.039等数学的教学中，可以很好地将理论教学、实验演示于一体，使一些抽象的概念能用可视化的图形表示出来5，6，为学生营造想象空间，培养学生的发散思维，激发学生学习的兴趣，从而提高高等数学课堂教学效果7。本文利用 MATLAB 的图形可视化功能，对图形进行静态与动态的可视化设计来介绍MATLAB在高等数学课程教学中的可视化应用。1 数据的静态可视化MATLAB 的一个强大功能就是绘图功能，可以绘制出复杂函数的图形，使得高等数学课堂教学中的抽象问题变得直观、形象8，有利于学生的理解，有助于培养学生的观察能力、应用意识和探索精神。1.1 案例 1：求函数 f(x，y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值解：1）利用 diff命令求 f(x，y)关于 x，y 的偏导数：syms x y ff=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x;现代信息科技8月下16期.indd 181现代信息科技8月下16期.indd 1812023/8/15 17:38:322023/8/15 17:38:32182182第 16 期现代信息科技2023.082023.08fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)运行结果如下：fx=3*x2+6*x-9fy=-3*y2+6*y即 fx(x,y)=3x2+6x-9，fy(x,y)=-3y2+6y。2）利用 solve 命令求一切驻点：xi,yi=solve(fx,fy)运行结果如下：求出的驻点为(1,0)，(-3,0)，(1,2)，(-3,2).3）求二阶偏导数：syms x y ff=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x;A=diff(f,x,2)B=diff(fx,y)C=diff(f,y,2)运行结果如下：A=6x+6，B=0，C=-6y+64）根据极值存在的充分条件，判定驻点是否为极值点：for i=1:length(xi)x=xi(i);y=yi(i);A=6*x+6;B=0;C=6-6*y;P=A*C-B2 if P0&A0&A0 jz=极小值 fd=x3-y3+3*x2+3*y2-9*x elseif P0 jz=没有极值 endend运行结果如下：函数在点(1,0)处有极小值 f(1,0)=-5；在点(-3,0)和(1,2)处没有极值；在点(-3,2)处有极大值 f(-3,2)=31。为了能更直观地感受函数在点(1,0)处有极小值，在点(-3,2)处有极大值，而在点(-3,0)和(1,2)处没有极值，接下来，利用 MATLAB 绘制该空间曲面图。5）利用 MATLAB 实现可视化：figure()ezmesh(f)xlabel(x 轴);ylabel(y 轴);zlabel(z 轴);text(1,0,-5,bullet,color,r);text(-3,2,31,bullet,color,r);text(-3,0,27,bullet,color,r);text(1,2,-1,bullet,color,r);text(1,0,-5,(1,0,-5);text(-3,2,31,(-3,2,31);text(-3,0,27,(-3,0,27);text(1,2,-1,(1,2,-1);绘制的图形如图 1 所示。(?,?,-?)(-?,?,?)(?,?,-?)-?-?x?x?x?y?y?(-?,?,?)?-?-?-?-?-?-?y?x?z?图 1 二元函数的极值从图 1 可以很直观地看出，函数在点(1,0)处有极小值-5，在点(-3,2)处有极大值 31，而在点(-3,0)和(1,2)处没有极值。1.2 案例 2：求两个底圆半径都等于 1 的直交圆柱面所围成的立体的体积解：设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=1 及x2+z2=11）对两个圆柱面直交图形进行可视化：m=60;z=(-m:2:m)/m;r=ones(size(z);theta=(0:m)/m*2*pi;x1=r*cos(theta);y1=r*sin(theta);z1=z*ones(1,m+1);x=(-m:2:m)/m;x2=x*ones(1,m+1);y2=r*cos(theta);z2=r*sin(theta);surf(x1,y1,z1)axis equalhold onsurf(x2,y2,z2)axis equalxlabel(x 轴);ylabel(y 轴);zlabel(z 轴)view(137,17)hold off绘制的图形如图 2 所示。现代信息科技8月下16期.indd 182现代信息科技8月下16期.indd 1822023/8/15 17:38:322023/8/15 17:38:321831832023.082023.08第 16 期1.00.50-0.5-1.0z 轴y 轴x 轴-1011.00.50-0.5-1.0图 2 两个圆柱体的相交图形从图 2 看到两个底圆半径都等于 1 的直交圆柱面所围成的立体图形形状，然后可以快速判断出该立体图形是关于坐标平面对称的，要求该立体图形的体积，只要求出它在第一卦限部分（图 3）的体积 V1，然后乘 8 就可以了。z 轴y 轴x 轴001.0 1.00.50.51.00.80.60.40.20图 3 两个圆柱体相交的第一卦限部分2）绘制第一卦限图形：利用 MATLAB 绘制第一卦限部分的图形，只需将上述绘制两个圆柱体的相交图形的部分代码做一下变动即可：z=(0:m)/m;x1=r*abs(cos(theta);y1=r*abs(sin(theta);x=(0:m)/m;y2=r*abs(cos(theta);z2=r*abs(sin(theta);绘制的图形如图 3 所示。3）判断积分区域：所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为如图 4 所示。绘制积分区域 D 的代码如下：x=0:0.01:1;y=sqrt(1-x.2);plot(x,y)area(x,y,facecolor,0.5,0.5,0.5)xlabel(x 轴);ylabel(y 轴);text(0.4,0.4,D)text(0.75,0.7,y=sqrt(1-x2)它的顶是柱面。于是：y轴x轴00.20.40.60.81.000.20.40.60.81.0Dy=sqrt(1x2)图 4 积分区域4）求立体的体积。接下来，用 MATLAB 计算二重积分 V1的值，进而计算出所求立体的体积：syms x yf1=sqrt(1-x2);V1=int(int(f1,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1)V=8*V1运算结果如下：所求立体在第一卦限部分的体积为 V1=2/3从而所求立体的体积为 V=16/3。2 数据的动态可视化在高等数学授课过程中，结合 MATLAB 生成的动画演示，可以让学生产生视觉冲击，以加深对数学概念的理解9。案例 3：两个重要极限两个重要极限是高等数学的一个重要内容，学习这两个重要极限(sin x/x)=1，(1+1/x)x=e时，同学们理解起来有一定的难度，那么可以借助MATLAB 编程计算和绘图，辅助概念的理解10。MATLAB 软件编程如下：1）计算两个重要极限的值：syms xf1=sin(x)/x;f2=(1+1/x)x;z1=limit(f1,x,0)z2=limit(f2,x,inf)潘金兰，等：MATLAB 在高等数学课程教学中的可视化应用现代信息科技8月下16期.indd 183现代信息科技8月下16期.indd 1832023/8/15 17:38:332023/8/15 17:38:33184184第 16 期现代信息科技2023.082023.08运行结果如下：z1=1z2=exp(1)计算结果与两个重要极限的结果一致。2）绘制第一个重要极限动态图：axis(-5,5,-0.4,1.2)grid on;hold on;xlabel(x 轴);ylabel(y 轴);for x1=-5:0.02:0 y1=sin(x1)./x1;plot(x1,y1,b.)pause(0.1)end hold on plot(0,1,r*)for x2=5:-0.02:0 y2=sin(x2)./x2;plot(x2,y2,b.)pause(0.1)end 运行结果图如图 5 所示。-?-?-?-?-?-?.?-?.?.?.?.?.?.?.?x?y?图 5 第一个重要极限动态图的一帧从图 5 的动态图可以很形象地看出，当 x 从 0的左边无限接近于 0 时，sin x/x 无限接近于 1；当x 从 0 的右边无限接近于 0 时，sin x/x 也是无限接近于 1。这与输出结果当 x0 时，sin x/x 的极限为1 相符。3）绘制第二个重要极限动态图：axis(-200,200,2,4)plot(xlim,exp(1),exp(1),r-)grid on;hold on;xlabel(x 轴);ylabel(y 轴);for x3=-2:-1:-200 y3=(1+1/x3)x3;plot(x3,y3,b.)pause(0.1)endhold onfor x4=1:200 y4=(1+1/x4)x4;plot(x4,y4,b.)pause(0.1)end 运行结果图如图 6 所示。x?y?-?-?-?-?.?.?.?.?.?.?.?.?.?.?.?图 6 第二个重要极限动态图的一帧从图 6 的动态图可以很形象地看出，当 x 取实数而趋于+或-时，函数(1+1/x)x都无限接近 e。这与输出结果当x时，(1+1/x)x的极限为e相符。3 结 论在高等数学课程教学中，传统的教学较为注重理论性，学生对抽象的知识不易理解，空间想象力较为薄弱。基于 MATLAB 软件的可视化功能，对图形进行静态与动态的可视化设计，帮助高等数学课程教学，提高课堂效率，营造学生的想象空间，培养学生的发散思维、数学观察能力和分析能力，加深对知识的理解与掌握。参考文献：1 同济大学数学系.高等数学：第 7 版 M.北京：高等教育出版社，2014.2 薛长虹，于凯.MATLAB 数学实验 M.成都：西南交通大学出版社，2014.3 段琪.MATLAB 在高等数学教学中的应用 J.智库时代，2019（36）：186+195.4 杨雯抒，黄可坤.基于 Matlab 的高等数学问题的实验教学 J.教育教学论坛，2017（17）：279-280.5 王祝园，王娟.Matlab 在高等数学课程教学中的应用 J.长春大学学报，2021，31（6）：95-101.6 张凤，郭洪杰，刘强.MATLAB 在高等数学教学中的可视化应用 J.科技风，2022（15）：109-112.7 马国栋，简金宝，江羡珍.基于 MATLAB 提高高等数学教学效果研究 J.玉林师范学院学报，2014，35（2）：28-30.（下转189页）现代信息科技8月下16期.indd 184现代信息科技8月下16期.indd 1842023/8/15 17:38:332023/8/15 17:38:331891892023.082023.08第 16 期新模式，具有以下优势：1）加大“网络效应”推进力度，构建了多屏互动的交互式实验教学新空间。开放式智能化计算机实验平台将云计算、物联网等新型信息技术融入实验平台中，升级了传统教育硬件，加大了人、知识、数据与互联网的关联力度，重新构建了多屏互动的研讨式学习新空间。多屏互动搭配了智慧实验平台，通过多样化投屏模式解决多屏信息展示与小组活动的智能化同步，让教师主屏、小组分屏、学生小屏的高清画面融合在应用中多向传送，最终实现多元立体化互动教学，能够在很大程度上使学生和教师得到新的教学体验，学生交流更方便、更自由，着力提升学生的自主学习能力。2）优化实验室智能管理，营造了无人值守的全天候开放实验教学新环境。加大实验室开放力度，首先管理先行，解决好安全，控制好风险，制定相应的实验室准入机制、实验操作规范以及“量身打造”的应急预案。在此前提下，实验平台与教学管理系统、校园一卡通管理平台、统一身份认证进行无缝对接。开展实验室智能化管理系统建设，在不增加人力成本的前提下，能实现计算机教学实验中心的全天候预约开放。学生可随时根据需要使用实验室资源，极大地提升了学生进入实验室学习的主动性和积极性，推动了学生积极学习和探索的动力，强化了学生的自主创新能力。3）构建计算机资源平台，创建了线上线下有机融合的实验教学新途径。开发适合计算机专业学生学习的在线课程，打造计算机课程资源平台，实现线上教学与线下教学的有机融合。教师可根据课程的要求和学生的需求，在计算机资源平台中自由设置和调控实验教学的节奏、进度并设置相应的评分系统，以制定科学合理的教学方案。学生可通过计算机资源平台加强线上预习，积极主动地参与学习，着力提高学生的实验参与度。4）利用科研反哺实验教学，打造教学科研相互促进的实验教学新模式。智能化计算机实验平台使教学科研平台与实验平台相融合，开辟了基础实验平台和教学科研相互促进的新局面。学生和教师可以有效利用开放实验室的资源，学生可以在实验室设计和开发有创意的项目，指导教师在实验室对学生进行高效的指导，从而使学生在文献检索、实验研究、数据分析等方面的科研能力得到锻炼和提高，着力推进计算机类实验教学的创新发展。3 结 论随着信息技术的不断发展，教育模式正面临变革和生态重构。本文研究一种面向计算机人才培养的开放式智能化实验平台，该平台可有效提高实验室管理维护效率，解决计算机教学实验中心日常管理运行中存在的问题，从而提升计算机专业本科教学效果和人才培养质量。参考文献：1 林榕，钟鏸，盘炜生，等.计算机实验教学示范中心信息化管理平台构建 J.实验室研究与探索，2018，37（3）：158161.2 陈明，万中.以“算法理论与实现”为教学核心提高信息与计算科学专业人才竞争力 J.高教学刊，2022，8（7）：146-149.3 罗跃逸，袁修贵，朱小玉.大数据环境下计算机实验综合体系建设与改革探索 J.现代计算机：专业版，2015（23）：65-67.4 高迪，申林山，武俊鹏，等.以学生能力培养为目标的实验教学中心持续发展模式探索 J.高教学刊，2021，164（6）：148-151.5 林鲁春.智慧实验室及其关键技术研究与应用 D.杭州：杭州电子科技大学，2019.6 卢娟娟.智能化高校实验室管理系统设计与开发 D.长沙：湖南大学，2019.作者简介：齐倩倩（1997），女，汉族，湖南衡阳人，实验员，硕士研究生，研究方向：软件工程与信息系统、计算机视觉；罗跃逸（1986），男，汉族，广西柳州人，实验师，博士研究生，研究方向：软件工程与信息系统、网络资源管理与服务；通讯作者：杨展（1990），男，汉族，湖南衡阳人，讲师，博士研究生，研究方向：多模态信息检索、计算机视觉和模式识别。8 卫军超，丁嘉昕，常在斌.MATLAB 软件与高等数学课程深度融合 J.科技与创新，2019（7）：5-7.9 马小霞.基于 MATLAB 的高等数学可视化教学研究 J.焦作大学学报，2019，33（1）：96-97.10 徐亚娟.基于 MATLAB 的高职高等数学教学研究与实践 J.海峡科技与产业，2017（12）：164-165+168.作者简介：潘金兰(1991)，女，汉族，广西贺州人，助教，硕士研究生，研究方向：优化建模、自然灾害风险分析；通讯作者：潘秋霞(1989)，女，汉族，广西贺州人，科员，硕士研究生，研究方向：机器学习、大数据、计算机应用；刘美杏（1987），女，汉族，广西玉林人，讲师，博士研究生，研究方向：最优化理论与方法。（上接184页）齐倩倩，等：面向计算机人才培养的开放式智能化实验平台建设现代信息科技8月下16期.indd 189现代信息科技8月下16期.indd 1892023/8/15 17:38:352023/8/15 17:38:35