波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子.pdf

Mathemitca数学物理学报2023,43A(4):1179-1196Cientiahttp:/波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子彭青青张志飞*（华中科技大学数学与统计学院武汉430 0 7 4;湖北省工程建模与科学计算重点实验室华中科技大学武汉430 0 7 4)摘要：该文研究了黎曼流形上半线性波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的长时间性态，该系统具有边界耗散结构在逃逸向量场存在性假设下利用乘子方法证明了原耦合系统全局紧吸引子的存在性，该存在性与黎曼度量的曲率性质有关.关键词：全局吸引子；波板耦合；几何乘子法；非线性边界耗散.MR(2010)主题分类：37 G35;93D20文章编号：10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-117 9-18）中图分类号：O231.4文献标识码：A1引言设 M是一个 C3类的具有 C3度量 g(，）=,）的完备 n维黎曼流形，记作（M,g).设CM是一个有界连通集，具有光滑边界a=I.我们考虑定义在上的半线性波方程与定义在边界上的欧拉伯努利板方程的强耦合系统如下utt-u+f(u)=O,Utt+2 +(1-)div(KDu)+b(ut)+kut=0,(a,t)E I 0,+o0),Oyu+u+h(ut)=kvt,(,t)E T 0,+80),u(a,0)=uo,ut(a,0)=u1,aE2,(v(c,0)=Vo,Vt(c,0)=V1,其中表示Laplace-Beltrami算子，（1)div(KDu）表示黎曼度量g的弯曲度，V表示上的单位外法向量，表示上的高斯曲率函数，0 表示泊松系数，引入常数k0是为了包含波板不耦合的情况，即=0.近年来，有许多研究半线性发展方程渐进行为的文献，参见文献6-7,9-10,13，2 1及其参考文献这些文献中大部分研究的系统具有内部线性耗散，这些问题更为一般的解决方法可以参考文献6,9，其研究了带有非线性耗散项的波动方程的全局吸引子.关于非线性边界耗散的常系数波方程的全局吸引子问题可以参见文献6 王和姚2 3研究了在黎曼几何的框架下具有非线性边界耗散结构的变系数波方程的全局吸引子，他们主要运用了几何乘收稿日期：2 0 2 2-0 4-2 6；修订日期：2 0 2 3-0 2-0 6E-mail:;*通讯作者(c,t)E 2 0,+),(1.1)1180子法，这种方法在文献2 5中首次出现，然后在文献12,2 2，2 6】和一些其他的文献中得到了广泛应用。耦合系统在过去的几十年里受到了广泛的关注，用于描述复合化学反应、耦合梁振动、热弹性系统、电磁耦合和许多其他耦合现象由不同方程组成的耦合系统得到了广泛的研究例如，文献3研究了具有内部非线性耗散结构的波与伯格板方程的强耦合系统的有限维全局紧吸引子的存在性在文献4中，作者研究了具有非线性耗散结构的波方程与不具有任何耗散项的非线性热弹性板方程的耦合系统，并且证明了系统的全局紧吸引子的存在性文献1讨论了路基与张拉电缆有共点的桥梁问题的数学模型，证明了相应动力系统生成的非线性半群的吸收集的存在性和渐进紧性，并证明了该非线性半群具有全局最小吸引子更多关于耦合系统的吸引子的文献可以参考文献18，2 0 等.受上述文章的启发，本文采用几何方法来研究耦合系统（1.1）的渐进行为其中流形上逃逸向量场的存在性假设对证明系统的全局紧吸引子的存在性起着关键作用.1.1一些记号我们介绍一些本文中用到的符号和定义，可以参考文献2 4.设M是一个C3类的具有C3度量g(，）=0为常数，当n=3时0-入,SVol.43A对任意的s E R,(1.2)(1.3)No.4其中入是下面Poincare类型不等式的最优常数边界非线性项 h(s)E C1(IR)是一个递增函数，h(0)=0 并且存在两个正常数 m10和 m0使得 m1h(s)mR成立，其中 R充分大.边界耗散项 b(s)C(R)是一个非减函数使得 b(0)=0,并且存在常数 210 使得a1|s1-s2l b(s1)-b(s2)/2|s1-S2l,问题(1.1)转换成一阶系统后在空间=H(2)L2(2)H2(T)L2(）中生成一个强连续的半群S(t),t0.本文的主要目的是分析这个半群的渐进行为（当to).接下来我们引入关于黎曼流形（M,g）的几何假设.假设 1.2 在上存在一个 C1的逃逸向量场 H1,即对任意,XR,有DHi(X,X)|XI2成立，其中 0 是一个常数.在上存在一个 C1 的逃逸向量场 H2,即对任意I,X R,有成立，其中p0是一个常数.为了证明全局紧吸引子的存在性，我们需要以下唯一性假设.假设1.3问题wtt-w+q(a r,t)w=0,(t,a)E(o,T)2,8,w=w=0,(t,ac)E(0,T)和ztt+z +(1-)div(KDz)+p(a,t)z=0,(t,c)(0,T)I,对充分大的 T0有唯一的零解.将几何乘子法应用于系统（1.1)时，需要唯一性假设1.3来消除能量估计中的低阶项.如果在度量g中，和上都存在一个凸函数，则假设1.3成立，参见文献16,2 2.我们得到了能量空间Y=H(2)L2(2)H2(T)L2(T)上一个全局紧吸引子的存在性，主要结果如下。定理1.1令假设1.1,1.2 和1.3成立，系统（1.1)存在全局紧吸引子BCY.上的函数u在度量g中被称为是凸函数，如果V2u(X,X)cilXI 对任意 X E R,E 成立,其中c10是一个常数.上的函数在度量g中被称为是凸函数，如果2(X,X)c2|X|2对任意 X R2,E 成立,彭青青等：波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子1Vul2d+/ul2dr入52DH2(X,X)p|XI21181(1.4)S1,S2 EIR.(1.5)(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)1182其中 c0是一个常数一般来说，凸函数在度量 g中的延拓受到g的曲率的影响一些相关的示例可参见文献2 6.由文献16,定理1和2 2,定理9.1可知，(1.10)和(1.11)式中凸函数u和的存在性可以保证假设1.3成立同时，我们可以令H1=Du，H 2=D 分别作为和上的逃逸向量场，因此，我们有以下推论推论1.1假设在度量g中，2 和上各自都存在一个凸函数并且假设1.1成立，那么定理1.1的结果成立.本文主要内容组织如下，在第2 节中，我们主要引入一些符号来简化系统（1.1)，并利用极大单调算子理论来建立全局适定性在第3节中，我们证明了吸收集的存在性第4节证明了系统的渐进光滑性最后，我们完成了定理1.1的证明.2适定性2.1系统（1.1）的抽象形式我们发现用抽象半群的形式来表示系统（1.1）会使得计算更加简便，为了实现这一点，我们引入以下空间和算子。设 A：D(A)C L?(2)L 2(2)是一个正定自共轭算子定义如下Au=-u,D(A)=uE H2(2):Ou+=0 在 I 上)此外，通过（-u,u)a=（Vu,Vu)+（u,u)r 可知Laplace-Beltrami算子可延拓为连续算子：H(2)H(2)对任意的H()当空间 H(2)装备范数 IullHi(2)=V(Vu,Vu)n+(u,u)时，这个延拓是从Hi(2)到H(2)的对偶映射，其中（,)n表示L2(2)上的内积，0 使得8(t)CoE(t).应用（1.2)式和连续嵌入H号(2)CL4(2),，我们得到uF(u)dc=f(s)dsda JJoJJoCS2彭青青等：波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子Y=Yi Y2=H(2)L2(2)H2(T)L2(F),(IVul2+uz)da+2lul2dr,E(t)=F(u)dac,lul(If(s)I+If(-s)I)dsda C1183(2.5)2dT+2/(u2+a(u,)dr.u(1+Is/3)dsdacJJo(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)这表明(2.9)式成立.其次，我们将证明相反的估计，即E(t)C(1+&(t).根据(1.3)式，存在M0使得+入2 0 对于sM和一些0 成立，其中入由S(1.4)式给出因此我们可以得到MF(2)F(s)2-C+20(其中 C=21 mx/F(2)+42.121M(2.11)+入)zdz之M之M2222对于 s M+2C/0,21184对于s是负数的情况，我们进行类似的计算，可以得到F(u)dc=JJ1ul2M2+2C/0其中 C=2lmax12/2M2+2C/0利用(1.4)式，并令=可得(t)=E(t)+(1-e)E(t)+/eE(t)+(1-e)因此(2.11)式成立2.2适定性的证明在本小节中，我们利用极大单调算子的理论来证明系统（1.1）的适定性，有关极大单调算子的理论参见文献2.定理2.1假设初值（uo,u1,o,ui）Y,那么系统（1.1)存在唯一的广义解（u,ut,U,ut）EC(0,oo);Y)。若额外假设初值满足 uo D(A),u Hi(2),Vo D(A),U1 H2(T)和 Auo一Rui+Rh(u2)】L 2(2),那么在区间0,T上存在一个强解（u,ut,U,ut）使得(u,)E L(O,T;D(A)D(A),(ut,utt,Ut,Utt)E L(O,T;Y)成立.此外，广义解和强解都满足下面的能量恒等式(t)=&(0)-证首先，我们来定义算子T：D(T)C Y Y,即u1一2W2Au1+u2-kARv2+ARh(u2)U1V2其中D(T)=(u1,u2,U1,2)E D(A)Hi(2)D(A)H2(T),Au1-RARv2+ARh(rua)e L2(2),在Y中稠密因此系统（1.1）等价于下述方程U+TU=C(U)U(0)=Uo=(uo,u1,Vo,1)T,其中 U(t)=(u1,u2,U1,v2)T,C(U)定义如下W2U12数学物理学报入-0F(u)da+F(u)da J1u2M2+2C/0IF(2)1.F(u)da入-6ul2da-C=eE(t)-C.2Jh(ut)utddt-b(ut)utdrdr.J-U2Au1+kR*Au2+b(v2)+V2在(0,8 0),0-f(u1)+u20U2Vol.43A2d-C,2(2.12)(2.13)(2.14)No.4我们可以证明（2.13）式中定义的算子T是m一增生的，并且方程（2.14）是具有-增生算子的发展方程的局部Lipschitz扰动因此，根据文献6，定理7.2，对于初值Uo=(uo,ui,Vo,Ui）E D(T),存在 U(T)=（u,u t,U,u t）是系统（1.1)的唯一强解。有兴趣的读者也可以参考文献3,5中详细的证明证毕。彭青青等：波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子11853吸收集的存在性本节的主要结果如下。定理3.1令假设1.1，1.2 和1.3成立，那么系统（1.1）存在吸收集即存在一个常数M0,对任意 Ro0 和初值 U(t)=（u o,u 1,o,i)Y 满足 Il(uo,ui,o,ui)llyRo,存在to=t(Ro)使得(3.1)定理3.1的证明基于以下引理。引理3.119,推论4“假设BY,其中X,B,Y都是Banach空间，那么下面的两个论述是成立的.(i)设F在LP(0,T;X)中有界，其中1p1.那么 F是 C(O,T;B)中的相对紧集,引理3.2 12,引理3.1)设u,EH4(T),那么下面的等式成立其中Au由(2.2)式给出.引理3.32 6,引理2.7 设EH2(T）且H是上的逃逸向量场，那么成立&(t)to.a(u,u)dr,(3.2)trD tr(H()H(An)+2(Au)+r D1(),其中 l(y)=-R(Dy，,H,）-D H(Dy，)，“”表示变量的位置，R表示Levi-Civita 联络D的曲率张量，常数p由（1.7)式给出（详细证明可以参考文献2 4).引理3.4在几何假设1.2 成立的情况下，设yEH4(T)，那么有a(y,H2(y)dr /pa(y,y)d+L(y)成立，其中L(u)=tr D21(y)-44pJ(y)/2d是(y,y)的低阶项，l(y)由引理3.3给出.证利用Cauchy-Schwartzs不等式，我们得到/2R 且(0):h(s)s 52C对于 Isl 8,2h(s)2 h(s)smax sup,h(s),m2),0IsI0.这里的L(u)由引理3.4中(3.3)式给出.证我们利用几何乘子法来证明上述引理设U=（u,u t,U,u t）是系统（1.1）的解并且 T是一个正实数将（1.1)的第一个式子乘以Hi(u)并在0,T上分部积分可得T020,uHi(u)drdt+=2(ut,Hi(u)+2f(u)Hi(u)ddtJO2DHi(Vu,Vu)drdt+J设 P=P()是上的一个函数，利用乘子 Pu,我们可以得到2(u?-Vul2)Pdardt=J2结合(3.6)和(3.7)式可得T(u2-/Vul2)(divHi-2P)drdt+0S2数学物理学报4p(y)/2dr,对于 s 0.Th(ut)utdrdt+b(ut)utdrdt+CC(u,)+C,(3.5)TH+(2),dt+Ilul/(0,;L2(r)L(u)dt,(u2-Vul2)0和 0,存在常数C=C(,T)使得T-Q因为L-H-+和H(2)CL(2)都是连续嵌入，因此我们有1-+()ddt4-2T3(1+ul3)-daC0.TC另外，(3.16)式不仅在区间(0,T）上成立，在区间（,T）上也是成立的，考虑到这一点，我们将(3.17)和(3.18)式代入(3.16)式得到T-Q(3.15)(3.17)TIf(u)dtC0/6H+(2)dt+C(T).Tdt+C(T)L4-(2)18(3.18)+CC(u)+C(Eu()+Eu(T-)+C(T),其中C(u)(1 l/(,L(r)l/r+(r)+(1+Il/(0;(r)是能量Eu(t)的低阶项.接下来，我们来解决有关板方程的估计将方程（2.3)的第二个式子乘以H2(u）并且在(0,T)I 上积分可得T(3.19)uH(2)ddtulHo+5(2)dt+IlullL2(2r)UttH2(u)drdt+AuH2(u)drdt+0b(ut)H2(u)drdt+KutH2(u)drdt=0.(3.20)No.4利用分部积分以及divH2=trDH22p可得TUttH2(u)drdt=(ut,H2(u)r0彭青青等：波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子2(divH2)drdt1189(ut,H2(u)r应用引理3.2 和引理3.4可知AuH2(u)drdt J0JT其中L(u）由(3.3)式给出结合(3.2 0)，(3.2 1)和(3.2 2)式可得p(u+a(u,)drdt-(ut,H2(u)rutH2(u)drdt-0利用Cauchys不等式有-(ut,H2(u)r C(E(0)+E(T).运用Youngs不等式和（1.5)式可推出T2drdt.0Tpa(u,u)drdt+L(u)dt,0Job(ut)H2(u)drdtTKL(u)dt.0(3.21)(3.22)(3.23)(3.24)TJOb(ut)H2(u)+rut H2(u)drdt C(llul/2(2r)+lutl/2(2r)+C)将(3.2 4)式和(3.2 5)式代入(3.2 3)式得到Il/i(r)t.(3.25)0(u+a(,)drdt C(E()+E(T)+C(llz(2r)lull2(2r)+C(o),(3.26)其中L(v)是E(t)的低阶项注意到，(3.2 6)式在区间(,T）上亦成立，可知T-E(t)dt C(E(a)+E(T-a)+C(llull2(2r)+lutll2(2r)+CC(u).现在我们估计能量在区间(0,)和(T,T）上的积分利用(2.11)和(2.12)式可得TE(t)dt+E(t)dt CJoJT-结合(2.11)，(3.19)，(3.2 8)和(3.2 9)式推出TE()t(1 l(-,2()(10u/2(2n)ul/2(2)/l/2(2r)JoIll/mi(r)dt+/00T&(t)dt+(t)dt+2)2C(8(0)+1).(3.29)JoJT-+CC(u,)+CE(0)+CE()+E(T-)+CL(u)dt(3.27)(3.28)+CL(u,u)+CE(O)+CE()+&(T-)+C.(3.30)1190应用(2.9)和(2.12)式可知TT&(T)&(t)dt 3C,有(T)Ci()(1+l/(L(r)(/ul/2(2)lul/2(2)/l/2(2)+C2(T)C(u,u)+C3()+C.(3.32)考虑系统（1.1)的边界条件和引理3.5,得到I10ul/2(2r)+Ilut/2(2r)+I ul/2(2r)4R/2Bl+C(其中ZB=(c,t)E ZT,lutl 2R,a.e.,ZA=ZZB.将(3.33)式代入(3.32)式有E(T)C(T,lL(0,T;L2(r)证毕.下面的引理表明引理3.6 中的低阶项可以被吸收这里我们列出引理，其证明可参考文献6,2 3及其参考文献.引理3.7 令假设1.1和1.3成立，设U=(u,ut,U,t)EC(0,t);Y)是系统(1.1)的解满足Il(uo,u1,Uo,ui)IlyRo,那么存在和初值有关的常数Ci=Ci(T,E(0)和与初值无关的常数 C2=C2(T)使得L(u,U)C1在T和C2充分大时成立.接下来，我们证明定理3.1.证利用(3.5)和(3.35)式可得(T)Co其中 T是一个充分大的实数.设&(t)=&(t)+C,其中 c 是一个常数使得对任意的 t0,8c(t)0 成立。将(2.12)式代入(3.36)式有(3.37)数学物理学报TE(t)dtJoh(ut)utdrdt+h(ut)utdrdt+h(ut)utdrdt+h(ut)utdrdt+(T)C o (c(0)-(T)+c +C,Vol.43ATb(ut)utdrdt)h(ut)utdrdt+b(ut)utdrdt)b(Utt)tdrdt)+CC(u,u)+C.(3.34)1b(ut)utdrdt+C2(T),b(ut)utdrdt)+C(T),+3CE(T)+CC(u,)+C.(3.31)Tb(ut)utdrdt)+3ul/L2(2r),(3.33)(3.35)(3.36)No.4即不等式(3.38）是区间0,T的能量估计值，类似的估计也适用于区间mT,(m+1)T.考虑到系统的耗散特性，我们注意到常数Co和C在每个时间段的估计是相同的，因此我们可以得到即这意味着可取 M=C+10,存在To使得&(t)M对于任意tTo和(O)Ro都成立.证毕.彭青青等：波方程与欧拉伯努利板方程耦合系统的全局吸引子(m+1)T)Co(m+1)T)0,令假设1.1,1.2 和1.3成立，设Ui(t)=(u,ut,U,ut),U2(t)=(n,nt,S,st）是系统（1.1）的两个解，对任意的t0满足(4.2)其中 R1 0 是一个常数。记 w(t)=u(t)-n(t),z(t)=(t)-s(t),那么存在两个正常数 C1和（依赖于假设1.1,R1和2 的测度）使得(4.3)(4.1)I(u,ut,U,t)Il R1,II(n,nt,S,st)lly R1,E(t)Cie-t E(0)+lot(w,z),1192其中数学物理学报Vol.43AOTT1/+(2)+/l/(r)+(2).证不失一般性，我们可以假设0 m1 h(s)m20.类似的计算可得(wt,pw+Hi(w)做类似于(3.16)式的计算，我们知道TEa(t)dt C(lul/2(2r)I ll/2(2r)+l/2(2)+CE()+Eu(T)+C(R1,e)接下来我们估计在T上的切向导数.对于0 0和0 st成立.在（4.16)式中分别令s=和s=T-,可以得到E()+E(T-)2E(T)+2 01+2(h(ut)-h(nt)wtdrdt+2另一方面，将（4.16)式在区间0,和区间T,T上积分可得TE(t)dt+E(t)dt 2E(T)+2T-+2+2(b(vt)-b(st)ztdrdr(f(u)-f(n)wtdadTS2(ell ul/2(a)+(e,R1)/ll,T(h(ut)-h(nt)wtdrdt(b(vt)-b(st)ztddt.(4.16)(4.17)dtT(b(ut)-b(st)ztdrdt.(4.18)(el ul/2(2)+(e,R1 lli(4.19)1194结合(4.13)，(4.14)，4.18)和（4.19)式并令充分小可得数学物理学报Vol.43A0E(t)dt C(T(10 l/2(2r)/2(2r)+/l/2(r)+I/l/2(2r)+C(T)+CE(T)+lot(w,2),其中lot(w,z)=C(,Ri,e)对（4.17)式在0,T】上积分并且运用（4.7)式推出TE(T)E(s)ds+C(R1,e)结合(4.2 0)和（4.2 1)式，令T2C可得E(T)+E(t)dtC(T)(10 l/2(r)+l/2(2r)l/2(2)/l/2(2r)+C(R1,T)接下来我们来估计边界项利用假设1.1和（4.4)式可知110 l/2(2)/ul/()/l/2(2r)(1+3m)/l/2(2)+l/2(2)+3/2(r)(1+3m2)m10通过迹定理可得此外，从(4.15)式可知 E(0)-E(T)+C(R1,e)将(4.2 3)-(4.2 5)式代入(4.2 2)式得TE(T)+E(t)dt Ci(E(0)-E(T)+E(T)+lot(w,z).(h(ut)-h(nt)wtdrdt+L2p(2)（T(h(ut)-h(nt)wtdrdt+(b(ut)-b(st)ztdrdt)T(h(ut)-h(nt)wtdrdt+C(b(vt)-b(s)zidrdt+3l/2(2r):Cllwll/+(QT)(h(ut)-h(nt)wtdrdt+(b(vt)-b(st)ztdrdt0dt+llwtl/2(Qr):L2-p(2)(b(vt)-b(st)ztdrdtdt+C L(2).dt+=llwl/2(Qr):2P(2)(4.20)(4.21)+lot(w,2).(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)(4.26)No.4这说明上式在区间Im=mT,(m+1)T上仍成立，即1.+CE(mT)+lot(w,z),这意味着nE(nT)E(O)+2+Cm=0因此我们完成了引理4.1的证明证毕.令 b(Sty1,Sty2)=C(Ri)lim_sup,0TT伪度量cB是准紧的证明可以参考文献2 7 根据命题4.1，系统（1.1）生成的动力系统(Y,S(t)t0)是渐进光滑的.引理4.2 8,定理2.3)设(Y,S(t)t0）为耗散动力系统，其中状态空间Y是完备度量空间当(Y,S(t)t0)渐进光滑时，(Y,S(t)t0)具有一个紧的全局吸引子.结合定理3.1，定理4.1和引理4.2，定理1.1得证.参考文献1 Aliev A B,Farhadova Y M.Existence of global attractors for the coupled system of suspension bridgeequations.Azerbaijan Journal of Mathematics,2021,11(2):105-1242 Barbu V.Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces.Bucuresti:Editura Academiei,19763 Bucci F,Chueshov I,Lasiecka I.Global attractor for a composite system of nonlinear wave and plateequations.Communications on Pure and Applied Analysis,2007,6:113-1404 Bucci F,Chueshov I.Long time dynamics of a coupled system of nonlinear wave and thermoelastic plateequations.Arxiv preprint arxiv:0806.4500,20085 Chen B Y,Zhao C X,Zhong C K.The global attractor for the wave equation with nonlocal strong damping.Discrete and Continuous Dynamical Systems-B,2021,26(12):6207-62286 Chueshov I,Eller M,Lasiecka I.On the 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a Riemannian manifold.It is shown that the existence of global and compactattractors depends on the curvature properties of the metric on the manifold by using themultiplier method and the hypothesis of escape vector field.Key words:Global attractor;Coupled wave/plate equation;Geometric multiplier method;Nonlinear boundary dissipation.MR(2010)Subject Classification:37G35;93D20