资源描述
一、选择题
1.如图,,点E是边DC上一点,连接AE交BC的延长线于点H,点F是边AB上一点,使得,作的角平分线交BH于点G,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图所示,若∠1=∠2=45°,∠3=70°,则∠4等于( )
A.70° B.45° C.110° D.135°
3.下列几个命题中,真命题有( )
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
②如果和是对顶角,那么;
③一个角的余角一定小于这个角的补角;
④三角形的一个外角大于它的任一个内角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
4.如图,直线,,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图,两个直角三角形重叠在一起,将ABC沿AB方向平移2cm得到DEF,CH=2cm,EF=4cm,下列结论:①BHEF;②AD=BE;③DH=CH;④∠C=∠BHD;⑤阴影部分的面积为6cm2.其中正确的是( )
A.①②③④⑤ B.②③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤
6.如图,,平分,,点在的延长线上,连接,,下列结论:①;②平分;③;④.其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图, ,若,,,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知,如图,点D是射线上一动点,连接,过点D作交直线于点E,若,,则的度数为( )
A. B. C.或 D.或
9.如图,已知,下列正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
10.直线,,,,则( )
A.15° B.25° C.35 D.20°
二、填空题
11.如图,,BC平分,设为,点E是射线BC上的一个动点,若,则的度数为__________.(用含的代数式表示).
12.如图1,为巡视夜间水面情况,在笔直的河岸两侧()各安置一探照灯A,BC(A在B的左侧),灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转,灯B发出的射线BD从BP开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转,两灯同时转动,经过55秒,射线AC第一次经过点B,此时,则________,两灯继续转动,射线AC与射线BD交于点E(如图2),在射线BD到达BQ之前,当,的度数为________.
13.一副三角尺按如图所示叠放在一起,其中点重合,若固定三角形,将三角形绕点顺时针旋转一周,共有 _________次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行.
14.如图,已知,、的交点为,现作如下操作:
第一次操作,分别作和的平分线,交点为,
第二次操作,分别作和的平分线,交点为,
第三次操作,分别作和的平分线,交点为,
…
第次操作,分别作和的平分线,交点为.
若度,那等于__________度.
15.如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°,那么∠BED的度数为_______.
16.如图,两直线AB、CD平行,则__________.
17.如图①:MA1∥NA2,图②:MA11NA3,图③:MA1∥NA4,图④:MA1∥NA5,……,
则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1______.(用含n的代数式表示)
18.如图,在长方形中,,,将长方形沿着方向平移得到长方形.若是正方形,则四边形的周长是______.
19.如图,,平分,平分,若设,则______度(用x,y的代数式表示),若平分,平分,可得,平分,平分,可得…,依次平分下去,则_____度.
20.如图,分别作和的角平分线交于点,称为第一次操作,则_______;接着作和的角平分线交于,称为第二次操作,继续作和的角平分线交于,称方第三次操作,如此一直操作下去,则______.
三、解答题
21.已知,如图1,射线PE分别与直线AB,CD相交于E、F两点,∠PFD的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设∠PFM=α°,∠EMF=β°,且(40﹣2α)2+|β﹣20|=0
(1)α= ,β= ;直线AB与CD的位置关系是 ;
(2)如图2,若点G、H分别在射线MA和线段MF上,且∠MGH=∠PNF,试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系,并证明你的结论;
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3),分别与AB、CD相交于点M1和点N1时,作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中的值是否改变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
22.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.
(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明)
如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明)
(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;
(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
23.如图,已知直线射线CD,.P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作,交直线AB于点F,CG平分.
(1)若点P,F,G都在点E的右侧,求的度数;
(2)若点P,F,G都在点E的右侧,,求的度数;
(3)在点P的运动过程中,是否存在这样的情形,使?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由.
24.直线AB∥CD,点P为平面内一点,连接AP,CP.
(1)如图①,点P在直线AB,CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC的度数;
(2)如图②,点P在直线AB,CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图③,点P在直线CD下方,当∠BAK=∠BAP,∠DCK=∠DCP时,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
25.如图1,点在直线、之间,且.
(1)求证:;
(2)若点是直线上的一点,且,平分交直线于点,若,求的度数;
(3)如图3,点是直线、外一点,且满足,,与交于点.已知,且,则的度数为______(请直接写出答案,用含的式子表示).
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一、选择题
1.B
解析:B
【分析】
AD∥BC,∠D=∠ABC,则AB∥CD,则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β,在△AEF中,100°+2α+180°-2β=180°,故β-α=40°,即可求解.
【详解】
解:设FBE=∠FEB=α,则∠AFE=2α,
∠FEH的角平分线为EG,设∠GEH=∠GEF=β,
AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,
而∠D=∠ABC,∴∠D+∠BAD=180°,∴AB∥CD,
∠DEH=100°,则∠CEH=∠FAE=80°,
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β,
在△AEF中,
在△AEF中,80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°,
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°,
故选:B.
【点睛】
此题考查平行线的性质,解题关键是落脚于△AEF内角和为180°,即100°+2α+180°-2β=180°,题目难度较大.
2.C
解析:C
【分析】
根据对顶角的性质可得∠1=∠5,再由等量代换得∠2=∠5,即可得到到a∥b,利用两直线平行同旁内角互补可得∠3+∠4=180°,最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数.
【详解】
解:∵∠1与∠5是对顶角,
∴∠1=∠2=∠5=45°,
∴a∥b,
∴∠3+∠6=180°,
∵∠3=70°,
∴∠4=∠6=110°.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定,其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键.
3.B
解析:B
【分析】
根据平行线的性质对①进行判断;根据对顶角的性质对②进行判断;根据余角与补角的定义对③进行判断;根据三角形外角性质对④进行判断.
【详解】
解:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,所以①错误;
如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2,所以②正确;
一个角的余角一定小于这个角的补角,所以③正确;
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角,所以④错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
4.B
解析:B
【分析】
记∠1顶点为A,∠2顶点为B,∠3顶点为C,过点B作BD∥l1,由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°,∠ABD+(180°-∠1)=180°,由此得到∠3+∠2+(180°-∠1)=360°,再结合已知条件即可求出结果.
【详解】
如图,过点B作BD∥l1,
∵,
∴BD∥l1∥l2,
∴∠3+∠DBC=180°,∠ABD+(180°-∠1)=180°,
∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°-∠1)=360°,即∠3+∠2+(180°-∠1)=360°,
又∵∠2+∠3=216°,
∴216°+(180°-∠1)=360°,
∴∠1=36°.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,正确作出辅助线,熟练掌握平行线性质是解题的关键.
5.D
解析:D
【分析】
根据平移的性质直接可判断①②;先根据线段的和差可得,再根据直角三角形的斜边大于直角边即可判断③;根据平行线的性质可判断④;根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积即可判断⑤.
【详解】
解:由题意得:,
由平移的性质得:,
,
则结论①②正确;
,
,
在中,斜边大于直角边,
,即结论③错误;
,
,即结论④正确;
由平移的性质得:的面积等于的面积,
则阴影部分的面积为,
,
,
,
,
即结论⑤正确;
综上,结论正确的是①②④⑤,
故选:D.
【点睛】
本题考查了平移的性质、平行线的性质等知识点,熟练掌握平移的性质是解题关键.
6.D
解析:D
【分析】
结合平行线性质和平分线判断出①②正确,再结合平行线和平分线根据等量代换判断出③④正确即可.
【详解】
解:∵ABCD,
∴∠1=∠2,
∵AC平分∠BAD,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵∠B=∠CDA,
∴∠1=∠4,
∴∠3=∠4,
∴BCAD,
∴①正确;
∴CA平分∠BCD,
∴②正确;
∵∠B=2∠CED,
∴∠CDA=2∠CED,
∵∠CDA=∠DCE+∠CED,
∴∠ECD=∠CED,
∴④正确;
∵BCAD,
∴∠BCE+∠AEC= 180°,
∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED= 180°,
∴∠1+∠DCE = 90°,
∴∠ACE= 90°,
∴AC⊥EC,
∴③正确
故其中正确的有①②③④,4个,
故选:D.
【点睛】
此题考查平行线的性质和角平分线的性质,难度一般,利用性质定理判断是关键.
7.D
解析:D
【分析】
根据平行线的性质进行求解即可得到答案.
【详解】
解:∵BE∥CD
∴∠ 2+∠C=180°,∠ 3+∠D=180°
∵∠ 2=50°,∠ 3=120°
∴∠C=130°,∠D=60°
又∵BE∥AF,∠ 1=40°
∴∠A=180°-∠ 1=140°,∠F=∠ 3=120°
故选D.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
8.D
解析:D
【分析】
分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况考虑:当点D在线段AB上时,由DE∥BC可得出∠ADE的度数,结合∠ADC=∠ADE+∠CDE可求出∠ADC的度数;当点D在线段AB的延长线上时,由DE∥BC可得出∠ADE的度数,结合∠ADC=∠ADE-∠CDE可求出∠ADC的度数.综上,此题得解.
【详解】
解:当点D在线段AB上时,如图1所示.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC=84°,
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°;
当点D在线段AB的延长线上时,如图2所示.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC=84°,
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°.
综上所述:∠ADC=104°或64°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况,求出∠ADC的度数是解题的关键.
9.D
解析:D
【分析】
根据平行线的性质和平行线的判定逐个分析即可求解.
【详解】
解:如图,记相交所成的锐角为 ,
因为,
所以,
若,
所以,
所以e//f,
而不能推出图中的直线平行,
故选D.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质和判定.
10.A
解析:A
【分析】
分别过A、B作直线的平行线AD、BC,根据平行线的性质即可完成.
【详解】
分别过A、B作直线∥AD、∥BC,如图所示,则AD∥BC
∵∥
∴∥BC
∴∠CBF=∠2
∵∥AD
∴∠EAD=∠1=15゜
∴∠DAB=∠EAB-∠EAD=125゜-15゜=110゜
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180゜
∴∠ABC=180゜-∠DAB=180゜-110゜=70゜
∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=85゜-70゜=15゜
∴∠2=15゜
故选:A.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定等知识,关键是作两条平行线.
二、填空题
11.或
【分析】
根据题意可分两种情况,①若点运动到上方,根据平行线的性质由可计算出的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出的度数,再由,,列出等量关系求解即可得出结论;②若点运动到下方,根据
解析:或
【分析】
根据题意可分两种情况,①若点运动到上方,根据平行线的性质由可计算出的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出的度数,再由,,列出等量关系求解即可得出结论;②若点运动到下方,根据平行线的性质由可计算出的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出的度数,再由,列出等量关系求解即可得出结论.
【详解】
解:如图,若点E运动到l1上方,
,
,
平分,
,
,
又,
,
,
解得;
如图,若点E运动到l1下方,
,
,
平分,
,
,
又,
,
,
解得.
综上的度数为或.
故答案为:或.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质,两直线平行,同位角相等.两直线平行,同旁内角互补.两直线平行,内错角相等,合理应用平行线的性质是解决本题的关键.
12.或.
【分析】
(1)由平行线的性质,得到角之间的关系,然后列出方程,解方程即可;
(2)由题意,根据旋转的性质,平行线的性质,可对运动过程分成两种情况进行分析:①射线AC没到达AN时,;②
解析:或.
【分析】
(1)由平行线的性质,得到角之间的关系,然后列出方程,解方程即可;
(2)由题意,根据旋转的性质,平行线的性质,可对运动过程分成两种情况进行分析:①射线AC没到达AN时,;②射线AC到达AN后,返回旋转的过程中,;分别求出答案即可.
【详解】
解:(1)如图,射线AC第一次经过点B,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得:;
故答案为:2.
(2)①设射线AC的转动时间为t秒,则如图,作EF//MN//PQ,
由旋转的性质,则,,
∵EF//MN//PQ,
∴,,
∵,
∴,
∴(秒),
∴;
②设射线AC的转动时间为t秒,则如图,作EF//MN//PQ, 此时AC为达到AN之后返回途中的图像;
与①同理,
∴,,
∵,
∴,
解得:(秒);
∴;
综合上述,的度数为:或;
故答案为:或.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,平行线的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的分析题意,作出辅助线,运用分类讨论的思想进行解题.
13.【分析】
要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.
【详解】
解:分10种情况讨论:
(1)如图1,AD边与OB边平行时,∠BAD=45°或135°;;
解析:
【分析】
要分类讨论,不要漏掉任何一种情况,也可实际用三角板操作找到它们之间的关系,再计算.
【详解】
解:分10种情况讨论:
(1)如图1,AD边与OB边平行时,∠BAD=45°或135°;;
(2)如图2,当AC边与OB平行时,∠BAD=90°+45°=135°或45°;
(3)如图3,DC边与AB边平行时,∠BAD=60°+90°=150°,
(4)如图4,DC边与OB边平行时,∠BAD=135°+30°=165°,
(5)如图5,DC边与OB边平行时,∠BAD=45°﹣30°=15°;
(6)如图6,DC边与AO边平行时,∠BAD=15°+90°=105°
(7)如图7,DC边与AB边平行时,∠BAD=30°,
(8)如图8,DC边与AO边平行时,∠BAD=30°+45°=75°;
综上所述:∠BAD的所有可能的值为:15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.
故答案为:8.
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定,画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键.
14.【分析】
先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
解析:
【分析】
先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC;同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC;根据∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,得出∠BE3C∠BEC;…据此得到规律∠En∠BEC,最后求得∠BEC的度数.
【详解】
如图1,过E作EF∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2.
∵∠BEC=∠1+∠2,
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE;
如图2.
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC.
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2,
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC;
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC;
…
以此类推,∠En∠BEC,
∴当∠En=1度时,∠BEC等于2n度.
故答案为:2n.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质:两直线平行,内错角相等的运用.解决问题的关键是作平行线构造内错角,解题时注意:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
15.70°
【分析】
此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.
【详解】
解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.
∵EG∥AB,FH∥A
解析:70°
【分析】
此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.
【详解】
解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.
∵EG∥AB,FH∥AB,
∴∠5=∠ABE,∠3=∠1,
又∵AB∥CD,
∴EG∥CD,FH∥CD,
∴∠6=∠CDE,∠4=∠2,
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°.
∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,
∴∠ABE=2∠1,∠CDE=2∠2,
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=2×35°=70°.
故答案为70°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,根据题中的条件作出辅助线EG∥AB,FH∥AB,再灵活运用平行线的性质是解本题的关键.
16.【分析】
根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个的角.
【详解】
分别过F点,G点,H点作,,平行于AB
利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个的角,
解析:
【分析】
根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个的角.
【详解】
分别过F点,G点,H点作,,平行于AB
利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个的角,
.
故答案为.
【点睛】
本题考查了平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,添加辅助线是解题关键.
17.【解析】
分析:分别求出图①、图②、图③中,这些角的和,探究规律后,理由规律解决问题即可.
详解:如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘,
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析:
【解析】
分析:分别求出图①、图②、图③中,这些角的和,探究规律后,理由规律解决问题即可.
详解:如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘,
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘,
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘,
…,
第n个图, ∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1学会从=,
故答案为.
点睛:平行线的性质.
18.28
【分析】
根据平移的性质求出,再由长方形的周长公式求解即可.
【详解】
解:由题意可知,四边形是正方形,
∴,,
又∵长方形由长方形平移得到,
∴
∵
∴四边形的周长为:
故答案为:28
【点
解析:28
【分析】
根据平移的性质求出,再由长方形的周长公式求解即可.
【详解】
解:由题意可知,四边形是正方形,
∴,,
又∵长方形由长方形平移得到,
∴
∵
∴四边形的周长为:
故答案为:28
【点睛】
此题主要考查了平移的性质,求出是解答此题的关键.
19.【分析】
过点P1作PG∥AB∥CD,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可证得,再根据角平分线的定义总结规律可得.
【详解】
解:过点作∥AB,可得∥CD,
设,,
∴,,
解析:
【分析】
过点P1作PG∥AB∥CD,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可证得,再根据角平分线的定义总结规律可得.
【详解】
解:过点作∥AB,可得∥CD,
设,,
∴,,
∴;
同理可得:,,...,
∵平分,平分,
∴,
,
...,
∴,
故答案为:,.
【点睛】
本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,学会探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.
20.90°
【分析】
过P1作P1Q∥AB,则P1Q∥CD,根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°,∠AEP1=∠EP1Q,∠CFP1=∠FP1Q,结合角平分线的定义可计算∠E
解析:90°
【分析】
过P1作P1Q∥AB,则P1Q∥CD,根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°,∠AEP1=∠EP1Q,∠CFP1=∠FP1Q,结合角平分线的定义可计算∠EP1F,再同理求出∠P2,∠P3,总结规律可得.
【详解】
解:过P1作P1Q∥AB,则P1Q∥CD,
∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∠AEP1=∠EP1Q,∠CFP1=∠FP1Q,
∵和的角平分线交于点,
∴∠EP1F=∠EP1Q+∠FP1Q=∠AEP1+∠CFP1=(∠AEF+∠CFE)=90°;
同理可得:∠P2=(∠AEF+∠CFE)=45°,
∠P3=(∠AEF+∠CFE)=22.5°,
...,
∴,
故答案为:90°,.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,规律性问题,解决问题的关键是作辅助线构造内错角,依据两直线平行,内错角相等进行计算求解.
三、解答题
21.(1)20,20,;(2);(3)的值不变,
【分析】
(1)根据,即可计算和的值,再根据内错角相等可证;
(2)先根据内错角相等证,再根据同旁内角互补和等量代换得出;
(3)作的平分线交的延长线于,先根据同位角相等证,得,设,,得出,即可得.
【详解】
解:(1),
,,
,
,,
,
;
故答案为:20、20,;
(2);
理由:由(1)得,
,
,
,
,
,
,
;
(3)的值不变,;
理由:如图3中,作的平分线交的延长线于,
,
,
,,
,
,
,
设,,
则有:,
可得,
,
.
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键.
22.(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30°
【分析】
(1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;
(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解;
(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME,进而可求解.
【详解】
解:(1)过E作EH∥AB,如图1,
∴∠BME=∠MEH,
∵AB∥CD,
∴HE∥CD,
∴∠END=∠HEN,
∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,
即∠BME=∠MEN﹣∠END.
如图2,过F作FH∥AB,
∴∠BMF=∠MFK,
∵AB∥CD,
∴FH∥CD,
∴∠FND=∠KFN,
∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,
即:∠BMF=∠MFN+∠FND.
故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,
∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,
∵2∠MEN+∠MFN=180°,
∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,
解得∠BMF=60°,
∴∠FME=2∠BMF=120°;
(3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°.
由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,
∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,
∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END,
∵EQ∥NP,
∴∠NEQ=∠ENP,
∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME,
∵∠BME=60°,
∴∠FEQ=×60°=30°.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义,作平行线的辅助线是解题的关键.
23.(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20°
【分析】
(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=25°,再根据PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=65°;
(3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=4x-3x=x,分两种情况讨论:①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可.
【详解】
解:(1)∵∠CEB=100°,AB∥CD,
∴∠ECQ=80°,
∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°;
(2)∵AB∥CD
∴∠QCG=∠EGC,∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°,
∴∠EGC+∠ECG=80°,
又∵∠EGC-∠ECG=30°,
∴∠EGC=55°,∠ECG=25°,
∴∠ECG=∠GCF=25°,∠PCF=∠PCQ=(80°-50°)=15°,
∵PQ∥CE,
∴∠CPQ=∠ECP=65°;
(3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x,
①当点G、F在点E的右侧时,
则∠ECG=x,∠PCF=∠PCD=x,
∵∠ECD=80°,
∴x+x+x+x=80°,
解得x=16°,
∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°;
②当点G、F在点E的左侧时,
则∠ECG=∠GCF=x,
∵∠CGF=180°-4x,∠GCQ=80°+x,
∴180°-4x=80°+x,
解得x=20°,
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°,
∴∠PCQ=∠FCQ=60°,
∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
24.(1)80°;(2)∠AKC=∠APC,理由见解析;(3)∠AKC=∠APC,理由见解析
【分析】
(1)先过P作PE∥AB,根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可;
(2)过K作KE∥AB,根据KE∥AB∥CD,可得∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,再根据角平分线的定义,得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,进而得到∠AKC=∠APC;
(3)过K作KE∥AB,根据KE∥AB∥CD,可得∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,进而得到∠AKC=∠BAK﹣∠DCK,同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=∠APC,进而得到∠BAK﹣∠DCK=∠APC.
【详解】
(1)如图1,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°;
(2)∠AKC=∠APC.
理由:如图2,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,
过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC;
(3)∠AKC=∠APC
理由:如图3,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,
∴KE∥AB∥CD,
∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,
∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,
过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,
∵∠BAK=∠BAP,∠DCK=∠DCP,
∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=(∠BAP﹣∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义,解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算.
25.(1)见解析;(2)10°;(3)
【分析】
(1)过点E作EF∥CD,根据平行线的性质,两直线平行,内错角相等,得出结合已知条件,得出即可证明;
(2)过点E作HE∥CD,设 由(1)得AB∥CD,则AB∥CD∥HE,由平行线的性质,得出再由平分,得出则,则可列出关于x和y的方程,即可求得x,即的度数;
(3)过点N作NP∥CD,过点M作QM∥CD,由(1)得AB∥CD,则NP∥CD∥AB∥QM,根据和,得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB,得出再由,得出由AB∥QM,得出因为,代入的式子即可求出.
【详解】
(1)过点E作EF∥CD,如图,
∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB,
∴CD∥AB;
(2)过点E作HE∥CD,如图,
设
由(1)得AB∥CD,则AB∥CD∥HE,
∴
∴
又∵平分,
∴
∴
即
解得:即;
(3)过点N作NP∥CD,过点M作QM∥CD,如图,
由(1)得AB∥CD,则NP∥CD∥AB∥QM,
∵NP∥CD,CD∥QM,
∴,
又∵,
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB,
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM,
∴
∴
∴.
【点睛】
本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解决问题的关键是作平行线构造相等的角,利用两直线平行,内错角相等,同位角相等来计算和推导角之间的关系.
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