九年级中考数学一元二次方程组解答题压轴题提高专题练习附答案.doc

九年级中考数学一元二次方程组解答题压轴题提高专题练习附答案

一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．

2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．

3．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

4．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

5．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，
综上所述，n=0.

6．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=.
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣．

7．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.
月份

用水量（吨）

水费（元）

四月

35

59.5

五月

80

151

【答案】

8．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：
解之得：，
经检验，，均符合题意
答：的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

9．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
【答案】x1＝＋，x2＝－.
【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－.

10．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．
试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得
1﹣2a+a2=0，
解得a1=a2=1，
所以a的值为1.

11．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；
（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知，
解之得：；
(2)∵ 且为取值范围内的最小整数，
∴，
则方程为，
即，
解得．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根）是解题关键.

12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a≤；（2）x=1或x=2
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

13．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．
（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

14．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　 　、　 　．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．

点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．

15．如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同时出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.

（1）当 时，求 的面积；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .
（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）；（2） ；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①，②，③分别求出t即可.
【详解】
解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.

∴，
∵，
当t=2时，则BQ=14，
则=×14×12=84；
（2）当四边形是平行四边形时，,
即
解得：
∴当时，四边形是平行四边形.
（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：
①若，在 中，，由得 解得： ；
②若，在 中，，由得 ，即，
此时， ,
所以此方程无解，所以 ；
③若，由得 ,
得 ，（不合题意，舍去）；
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
【点睛】
本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.