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中考数学提高题专题复习二次函数练习题含答案解析一、二次函数1已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MAMC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可试题解析：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=x+3，设点P（x，x24x+3）PDy轴，点D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，当x=时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD=45+45=90，此时，点P（2，1）综上所述：点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：，直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=32+3=3，点M（2，3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，3），使|MAMC|最大点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键2如图，已知抛物线y=x2bxc与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ=AB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x22x3（2）直线BC的函数表达式为y=x3（3）P1（1，2），P2（1，）【解析】【分析】已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标已知了AOC和BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式【详解】（1）抛物线的对称轴为直线x=1，1b=-2抛物线与y轴交于点C（0，-3），c=-3，抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；（2）抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2-2x-3=0x1=-1，x2=3A点在B点左侧，A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）AB=4，PQ=AB，PQ=3PQy轴PQx轴，则由抛物线的对称性可得PM=，对称轴是直线x=1，P到y轴的距离是，点P的横坐标为，P（，）F（0，），FC=3-OF=3-=PQ垂直平分CE于点F，CE=2FC=点D在直线BC上，当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DGCE于点G，DG=1，CG=1，GE=CE-CG=-1=在RtEGD中，tanCED=P1（1-，-2），P2（1-，-）设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），1=1（2-a），a=1，CE=2，OF=OE+EF=2F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+或1-点P在第三象限P1（1-，-2），当CD为斜边时，DECE，OE=2，CE=1，OF=2.5，P和F的纵坐标为：-，把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，点P在第三象限P2（1-，-）综上所述：满足条件为P1（1-，-2），P2（1-，-）【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K点坐标【答案】（1）y=x2x3（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是（3）K1（1，），K2（3，）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SPBQ与t的函数关系式SPBQ=（t1）2+利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x3由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点K作KEy轴，交BC于点E结合已知条件和（2）中的结果求得SCBK=则根据图形得到：SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m），把相关线段的长度代入推知：m2+3m=易求得K1（1，），K2（3，）解：（1）把点A（2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx3（a0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2x3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=tPB=63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=5如图1，过点Q作QHAB于点HQHCO，BHQBOC，即，HQ=tSPBQ=PBHQ=（63t）t=t2+t=（t1）2+当PBQ存在时，0t2当t=1时，SPBQ最大=答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（4，0），C（0，3）代入，得，解得，直线BC的解析式为y=x3点K在抛物线上设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点K作KEy轴，交BC于点E则点E的坐标为（m，m3）EK=m3（m2m3）=m2+m当PBQ的面积最大时，SCBK：SPBQ=5：2，SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）=4EK=2（m2+m）=m2+3m即：m2+3m=解得 m1=1，m2=3K1（1，），K2（3，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围4在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点.过点作直线轴，交轴于点.（）求该抛物线的解析式及对称轴；（）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标；（）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）抛物线的解析式为;抛物线的对称轴为直线;（）点坐标为;（）存在，点坐标为或，理由见解析【解析】【分析】（）将点代入二次函数的解析式，即可求出a，再根据对称轴的公式即可求解.（）先求出B点胡坐标，要求胡最小值，只需找到B关于轴的对称点，则直线A与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P点的坐标.（）设点Q的坐标，并求出AOQ面积，从而得到AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（）经过点，解得，抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线.（）点，对称轴为，点关于对称轴的对称点点坐标为.作点关于轴的对称点，得，设直线AB1的解析式为，把点，点代入得，解得，.直线与轴的交点即为点.令得，点坐标为.（），轴，又，.设点坐标为，如图情况一，作，交延长线于点，化简整理得，解得，.如图情况二，作，交延长线于点，交轴于点，化简整理得，解得，点坐标为或，抛物线上存在点，使得.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.5对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）1，3；（2）0a0，即b2-4ab+4a0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a0成立，则（4a）2-4.4a0，即b2-4ab+4a0，而对任意实数b，b2-4ab+4a0成立，所以（4a）2-4.4a0，解得0a1.（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2 A，B的中点的坐标为（ ），即M（ ）A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，又A，B在直线y=x上，k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上.= -2a+3 得：b=2a2-3a所以当且仅当a= 时，b有最小值【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m当MBABDE时，求点M的坐标；过点M作MNx轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将PMN沿着MN翻折，得QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值【答案】（1）（1，4）（2）点M坐标（，）或（，）；m的值为 或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据tanMBA=，tanBDE=，由MBA=BDE，构建方程即可解决问题；因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.【详解】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c，得到，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3，y=x2+2x1+1+3=（x1）2+4，顶点D坐标（1，4）；（2）作MGx轴于G，连接BM则MGB=90，设M（m，m2+2m+3），MG=|m2+2m+3|，BG=3m，tanMBA=，DEx轴，D（1，4），DEB=90，DE=4，OE=1，B（3，0），BE=2，tanBDE=，MBA=BDE，=，当点M在x轴上方时， =，解得m=或3（舍弃），M（，），当点M在x轴下方时， =，解得m=或m=3（舍弃），点M（，），综上所述，满足条件的点M坐标（，）或（，）；如图中，MNx轴，点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|m2+2m+3|=|1m|，当m2+2m+3=1m时，解得m=，当m2+2m+3=m1时，解得m=，满足条件的m的值为或.【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题7某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y10x+1000；w=10x2+1300x30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y60010（x40），再利用w= y（x30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w10x2+1300x30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44x46范围内当x46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y60010（x40）10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：wy（x30）（100010x）（x30）10x2+1300x30000（2）根据题意得，x14时且100010x540，解得：44x46w10x2+1300x3000010（x65）2+12250a100，对称轴x65当44x46时，y随x的增大而增大当x46时，w最大值8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.8如图1，二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.（1）求二次函数的表达式及点、点的坐标;（2）若点在二次函数图像上，且，求点的横坐标;（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当的值最大时，求点的坐标.【答案】（1）y，A（1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为2+2，22，2；（3）M（，）【解析】【分析】（1）求出a，即可求解；（2）求出直线BC的解析式，过点D作DHy轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M作MGx轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2m3），N（n，n2n3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据MENF，求出m+n4，再确定ME+MNm2+3m+5m（m）2+，即可求M；【详解】（1）yax23ax4a与y轴交于点C（0，3），a，yx2x3，与x轴交点A（1，0），B（4，0）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，yx3；过点D作DHy轴，与直线BC交于点H，设H（x，x3），D（x，x2x3），DH|x23x|，SABC，SDBC6，SDBC2|x23x|6，x2+2，x22，x2；D点的横坐标为2+2，22，2；（3）过点M作MGx轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2m3），N（n，n2n3），则E（m，m3），F（n，n3），MEm2+3m，NFn2+3n，EFMN，MENF，四边形MNFE是平行四边形，MENF，m2+3mn2+3n，m+n4，MGnm42m，NMGOBC，cosNMGcosOBC,B（4，0），C（0，3），OB4，OC3，在RtBOC中，BC5，MN（nm）（42m）5m，ME+MNm2+3m+5m（m）2+，0，当m时，ME+MN有最大值，M（，）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.9如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，1）；（3）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y3）2=1+y2；当CD为斜边时得到4+（y3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明CEF=90得到ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，则PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=t2+4t，然后利用二次函数的性质解决问题试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x24x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得：y=1，此时D点坐标为（2，1）；（3）易得BC的解析式为y=x+3直线y=x+m与直线y=x平行，直线y=x+3与直线y=x+m垂直，CEF=90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图2，EPG、PHF都为等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），PF=PH=t，PG=t+3（t24t+3）=t2+3t，PE=PG=t2+t，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=t2+3t+t=t2+4t=（t2）2+4，当t=2时，PE+EF的最大值为4点睛：本题考查了二次函数的综合题熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式10如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）3；（2）yx23；（3）M的坐标为（3，6）或（，2）【解析】【分析】（1）把C（0，3）代入直线yx+m中解答即可；（2）把y0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可【详解】（1）将C（0，3）代入yx+m，可得：m3；（2）将y0代入yx3得：x3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，3）、（3，0）代入yax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：yx23；（3）存在，分以下两种情况：若M在B上方，设MC交x轴于点D，则ODC45+1560，ODOCtan30，设DC为ykx3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；若M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC45-1530，OEOCtan603，设EC为ykx3，代入（3，0）可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，2）综上所述M的坐标为（3，6）或（，2）【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键11如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角和等腰直角,连接,试确定面积最大时点的坐标.(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.【解析】分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可； （2）由等腰直角APM和等腰直角DPN，得到MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x1得：m=1，n=3，A（1，0），B（4，3） y=x2+bx+c经过点A与点B，解得：，则二次函数解析式为y=x2+6x5； （2）如图2，APM与DPN都为等腰直角三角形，APM=DPN=45，MPN=90，MPN为直角三角形，令x2+6x5=0，得到x=1或x=5，D（5，0），即DP=51=4，设AP=m，则有DP=4m，PM=m，PN=（4m），SMPN=PMPN=m（4m）=m2m=（m2）2+1，当m=2，即AP=2时，SMPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）存在，易得直线CD解析式为y=x5，设Q（x，x5），由题意得：BAD=ADC=45，分两种情况讨论：当ABDDAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x1）2+（x5）2=，解得：x=，此时Q（，）； 当ABDDQA时，=1，即AQ=，（x1）2+（x5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，3） 综上，点Q的坐标为（2，3）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键12已知：如图，抛物线yax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x+3 （2）（，） （3）存在，P（2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为yx+3，设P（t，t22t+3）（3t0），则F（t，t+3），则PFt22t+3（t+3）t23t，根据SPABSPAF+SPBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3），PDt23t，由抛物线yx22x+3（x+1）2+4，由对称轴为直线x1，PEx轴交抛物线于点E，得yEyP，即点E、P关于对称轴对称，所以1，得xE2xP2t，故PE|xExP|22t|，由PDE为等腰直角三角形，DPE90，得PDPE，再分情况讨论：当3t1时，PE22t；当1t0时，PE2+2t【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点B（3，0），C（1，0） 解得：抛物线解析式为yx22x+3（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点Fx0时，yx22x+33A（0，3）直线AB解析式为yx+3点P在线段AB上方抛物线上设P（t，t22t+3）（3t0）F（t，t+3）PFt22t+3（t+3）t23tSPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB（t23t）（t+）2+点P运动到坐标为（，），PAB面积最大（3）存在点P使PDE为等腰直角三角形设P（t，t22t+3）（3t0），则D（t，t+3）PDt22t+3（t+3）t23t抛物线yx22x+3（x+1）2+4对称轴为直线x1PEx轴交抛物线于点EyEyP，即点E、P关于对称轴对称1xE2xP2tPE|xExP|22t|PDE为等腰直角三角形，DPE90PDPE当3t1时，PE22tt23t22t解得：t11（舍去），t22P（2，3）当1t0时，PE2+2tt23t2+2t解得：t1，t2（舍去）P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）时使PDE为等腰直角三角形 【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.13如图，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+x+2；（2）m=1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QMDF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；（3）易知ODB=QMB，故分DOB=MBQ=90，利用DOBMBQ得，再证MBQBPQ得，即，解之即可得此时m的值；BQM=90，此时点Q与点A重合，BODBQM，易得点Q坐标详解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C（0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-，则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，-2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：，解得：，直线BD解析式为y=x-2，QMx轴，P（m，0），Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），则QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，F（0，）、D（0，-2），DF=，QMDF，当-m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：QMDF，ODB=QMB，分以下两种情况：当DOB=MBQ=90时，DOBMBQ，则，MBQ=90，MBP+PBQ=90，MPB=BPQ=90，MBP+BMP=90，BMP=PBQ，MBQBPQ，即，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，m=3，点Q的坐标为（3，2）；当BQM=90时，此时点Q与点A重合，BODBQM，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用14一次函数yx的图象如图所示，它与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式【答案】（1）点C（2，）；（2）yx2x； yx22x【解析】试题分析：（1）求得二次函数yax24axc对称轴为直线x2，把x2代入yx求得y=，即可得点C的坐标；（2）根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m） ，根据SACD3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入yax24axc得方程组，解得a、