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第十三讲
轴对称及“将军饮马”问题
中考规定
板块
考试规定
A级规定
B级规定
C级规定
轴对称
了解图形的轴对称，理解相应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称
能按规定作出简朴平面图形通过一次或两次轴对称后的图形；掌握简朴图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；
能运用轴对称进行图案设计
知识点睛
轴对称图形：
假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．
如下图，是轴对称图形．
两个图形轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是相应点，叫做对称点．
如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．
轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：
轴对称图形
两个图形轴对称
区别
图形的个数
1个图形
2个图形
对称轴的条数
一条或多条
只有1条
联系
两者都的关于对称轴对称的
对称轴的性质：
对称轴所在直线通过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对相应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对相应点所连线段的垂直平分线．
线段的垂直平分线：
通过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如图，直线通过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，点是线段垂直平分线上的点，则．
线段垂直平分线的鉴定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
成轴对称的两个图形的对称轴的画法：
假如两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对相应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对相应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
成轴对称的两个图形的重要性质：
①成轴对称的两个图形全等
②假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对相应点连线的垂直平分线
轴对称变换的方法应用：
轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．
轴对称变换应用时有下面两种情况：
⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；
⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．
重、难点
重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的运用轴对称的知识来解决题目
难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用
例题精讲
板块一、轴对称与轴对称图形的结识
【例 1】 下列”表情”中属于轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解析】 C
【巩固】(2023广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )
【解析】 C
【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解析】 Ｄ
【巩固】(2023泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )
【解析】 C．
【巩固】(2023吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形__________；理由是__________．
【解析】 ②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．
【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观测并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10
成轴对称的图形有：2，5，7，9
【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【解析】 D
【巩固】(2023北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．正方形 D．平行四边形
【解析】 C
【例 5】 (2023四川)我国重要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
【解析】 C
【例 6】 (2023北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )
A．1； B．2； B．3； D．4
【解析】 B
【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )
A． B． C． D．
⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【解析】 ⑴B；⑵Ｃ
【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．
【解析】 ．点拨：可以画出例图进行分析，明确正边形有条对称轴．
【巩固】(2023河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )
【解析】 D
【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是
⑵下列图形中对称轴最多的是( )
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
【解析】 ⑴D；⑵Ａ
【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：
【解析】 答案见右上图．
【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：
【解析】 答案见右上图．
【例 9】 求作线段的垂直平分线
【解析】 略
【例10】 已知：如图，及两点、．求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．
【解析】 由于是两边所在的直线，所以有两个答案．
答案一：内角平分线与线段的垂直平分线的交点
答案二：外角平分线与线段的垂直平分线的交点
【例11】 (2023长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．
【解析】 108
【例12】 (2023河南)如图，直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：① ② ③ ④，其中对的的结论有_______．
【解析】 ①②③
【巩固】(2023安徽)如图，是四边形的对称轴，假如，有下列结论：① ② ③ ④．其中对的的结论是_________．(把你认为对的的结论的序号都填上)
【解析】 ①、②、④
【例13】 (2023南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保存作图痕迹)．
【解析】 答案见右上图．
板块二、轴对称的应用
【例14】 如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长．
【解析】 ∵和关于直线成轴对称
∴，；又 ∵，
∴，．
【例15】 如图，有一块三角形田地，，作的垂直平分线交于，交于，量得的周长为，请你替测量人员计算的长．
【解析】 ∵垂直平分 ∴，
∵， ∴
∵，
∴．
【巩固】如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则等于多少厘米？
【解析】 ∵垂直平分
∴，
∵的周长为
∴．
【例16】 如图，已知，为的垂直平分线，求的度数．
【解析】 ∵垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴．
【例17】 (2023陕西)已知：如图，在中，，，平行于轴，点的坐标是．
⑴画出关于轴对称的；
⑵求以点、、、为顶点的四边形的面积．
【解析】 ⑴画图对的
⑵过点作，交的延长线于点，则
，
在中，
BD＝AB·cos∠ABD＝2×＝1
AD＝AB·sin∠ABD=2×＝
又知点B的坐标为(-3，1)
可得点A的坐标为
∵轴，轴 ∴
∵AB与不平行
∴以点为顶点的四边形是等腰梯形
由点A、B的坐标可求得
∴梯形的面积＝(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)×=7．
板块三、轴对称在几何最值问题中的应用
【例18】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，假如存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．
【解析】 点与点重合，或者点是点关于直线的对称点．
【例19】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货品中转站，规定到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【解析】 答案见右上图．
【巩固】若此题改成，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短．
【解析】 见右上图．
【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．
【解析】 见右上图．
【巩固】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．
【解析】 见右上图．
【例21】 (2023年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．
【解析】 作点关于的对称点，连接、．
由点、关于对称可知，．
故
当且仅当、、共线时，等号成立，故．
此外两个临界位置在点和点处．
当点位于点处时，；
当点位于点处时，．
故，．
本题也可作点关于的对称点，连接、．
【例22】 已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．
【解析】 见右上图．
【例23】 已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小．
【解析】 见右上图．
【巩固】已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大．
【解析】 见右上图．
【例24】 (2023三帆中学期中试题)如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．
【解析】 找点关于的对称点，
由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，
连接、，由可知，
当且仅当、、三点共线时，的值最小，该最小值为．
当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
与的交点，即取最小值时；
当点位于点时，；
当点位于点时，．故的最大值为．
【巩固】例题中的条件不变，求的最小值与最大值．
【解析】 当时，有最小值为0，此时点位于的垂直平分线与的交点处．
，当点与点重合时，等号成立，此时有最大值2．
【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形的边长为8，在上，且，是上的一个动点，则的最小值是
【解析】 连接交于，此点即为所求．所以根据勾股定理，．
【例25】 (2023郸县改编)某供电部门准备在输电主干线上连接一个分支线路同时向新落成的、两个居民社区送电，分支点为，已知居民社区、到主干线的距离分别为千米，千米，且千米．
⑴ 居民社区、在主干线的两旁如图⑴所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
⑵ 假如居民社区、在主干线的同旁，如图⑵所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？此时分支点与距离多少千米？
【解析】 ⑴ 连结，与的交点就是所求的分支点，分支点开在此处总线路最短，
如图，由于，．
所以．
所以．
由勾股定理，得，，所以分支点在线段上距点千米处，最短线段的长度为千米；
⑵ 如图，作点关于直线的对称点，连结交直线于点，此处即为分支点，由图可知，的长度为千米．
点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．
【例26】 (09山东临沂)如图，，是公路(为东西走向)两旁的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，村在村的南偏东方向上．
⑴ 求出，两村之间的距离；
⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站，规定该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点的位置(保存清楚的作图痕迹，简明书写作法)．
北
东
B
A
C
D
l
B
A
C
D
l
N
M
O
P
【解析】 ⑴ 方法一：设与的交点为，根据题意可得．
∴和都是等腰直角三角形．
∴，．
∴两村的距离为
方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．易证四边形是矩形，
∴．
在中，由，可得．
∴两村的距离为．
⑵ 作图对的，痕迹清楚．
作法：①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧交于两点，，作直线；
②直线交于点，点即为所求．
家庭作业
【习题1】 (08苏州)下列图形中，轴对称图形的是
【解析】 D
【习题2】 ⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )
⑶(2023广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )
【解析】 ⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．
【习题3】 如图，中，，为的平分线，，是的中点，求的度数．
【解析】 ∵平分
∴
∵垂直平分
∴，
∴
∵
∴．
【习题4】 (四川省竞赛题)如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边 上求作一点使得长度之和最小．
【解析】 见右上图．
【习题5】 在正方形中，在上，，，在上，求和的长度之和的最小值．
【解析】 当、、三点共线时，有最小值．
月测备选
【备选1】(2023天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【解析】 C
【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？假如是，说出它有几条对称轴．
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼
【解析】 是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有条，条，条，条，条对称轴．
【备选3】(2023年荆门市中考题)如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、 的中点，在对角线求作一点使得的值最小．
【解析】 见右上图．
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