六年级数学思维训练：分数数列计算(1).doc

2014年六年级数学思维训练：分数数列计算
姓名：
一、兴趣篇
1．计算：++++++++．

2．计算：+++…+．

3．．

4．+++++++．

5．（2012•北京模拟）．

6．（2012•北京模拟）．

7．计算：﹣+﹣+﹣+﹣+．

8．计算：+++…+．

9．计算：++++…++．

10．计算：（1﹣）×（1+×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）．

二、拓展篇
11．计算：+++++…+．

12．计算：++++…+．

13．计算：﹣+﹣+﹣．

14．计算：
（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；

（2）+﹣﹣++﹣﹣++…++﹣．

15．计算：1++++…+
．

16．计算：++++…++．

17．计算：+++…+．

18．计算：++++…+．

19．计算+++…+．

20．计算：+++…+．

21．计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．

22．计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）．

三、超越篇
23．计算：++…++．

24．计算：++…++．

25．已知算式（1+）×（2+）×…×（8+）×（9+）的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？

26．计算：+++…+．

27．计算：+++…+（最后结果可以用阶乘表示）

28．已知A=，B=+++…+，请比较A和B的大小．

29．计算：+++…+（结果可以用阶乘和乘方表示）

30．计算：+++…+．
2014年六年级数学思维训练：分数数列计算
参考答案与试题解析

一、兴趣篇
1．计算：++++++++．
【分析】通过观察，每个分数的分母都是两个自然数的乘积，可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求出结果．
【解答】解：++++++++
=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=

2．计算：+++…+．
【分析】通过观察，分母中的两个因数的差等于分子，因此可把每个分数拆成两个分数的差，通过加减相互抵消，求得结果．
【解答】解：+++…+
=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=

3．．
【分析】通过观察，每个分数的分子为1，分母的两个因数相差2，可将分数拆成两个因数分别作为分母，分子为l的两个分数的差，据此解答．
【解答】解：+++…+，
=×[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=×[﹣]，
=×，
=．

4．+++++++．
【分析】6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，所以=﹣，=﹣，…=﹣，依次展开，前后抵消，即可得解．
【解答】解：+++++++
=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
=﹣
=
=
=．

5．（2012•北京模拟）．
【分析】根据==×（1﹣），=，…，再提取公因数，括号里面的数相加减最后剩下（1﹣），再按照运算顺序计算即可．
【解答】解：+…+，
=+…+，
=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
=×（1﹣），
=×，
=．

6．（2012•北京模拟）．
【分析】因为，所以将算式中的数先写成这种形式，能结合的结合，再进行加减计算．
【解答】解：﹣，
=，
=，
=．

7．计算：﹣+﹣+﹣+﹣+．
【分析】不考虑运算符号，可以发现=+，=+，…，由此代入题目中进行计算即可．
【解答】解：﹣+﹣+﹣+﹣+
=1+﹣﹣++﹣﹣+…++
=1+
=1

8．计算：+++…+．
【分析】因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．
【解答】解：+++…+
=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣
=

9．计算：++++…++．
【分析】每个分数的分子与分母相差1，因此把每个分数拆成“1﹣分数单位”的形式，再把分数单位进行拆分，通过加减相互抵消，求出结果．
【解答】解：++++…++
=1﹣+1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣+1﹣
=（1+1+1+…+1）﹣（++++…++）
=（1+1+1+…+1）﹣（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）
=16﹣（1﹣）
=16﹣
=15

10．计算：（1﹣）×（1+×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）．
【分析】先求出每个括号内的得数，然后约分，即可得出最后结果．
【解答】解：（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）
=××××…××
=×
=

二、拓展篇
11．计算：+++++…+．
【分析】通过观察，每个分数的分母都是两个连续自然数的乘积，可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求出结果．
【解答】解：+++++…+
=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=

12．计算：++++…+．
【分析】通过观察，分子都为3，并且每个分数的分母中的两个因数的差都等于分子，因此把3提出来，原式变为3×（﹣+﹣﹣+…﹣），括号内通过加减相互抵消，得出结果．
【解答】解：++++…+
=3×（﹣+﹣﹣+…﹣）
=3×（﹣）
=3×
=

13．计算：﹣+﹣+﹣．
【分析】通过观察，分子等于分母中两个因数的和，于是可把每个分数拆成两个分数的和，通过加减相互抵消，解决问题．
【解答】解：﹣+﹣+﹣
=﹣+﹣+﹣
=+1﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣
=1﹣
=

14．计算：
（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；
（2）+﹣﹣++﹣﹣++…++﹣．
【分析】（1）把每个分数拆成“整数+分数”的形式，再把分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，求出结果．
（2）通过观察，分母的两个因数的和等于分子，因此把分子拆成分母中两个因数的和的形式，进而计算即可．
【解答】解：（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17
=（1+3+5+7+…+17）+（++…+）
=+（1﹣+﹣+…﹣）
=81+（1﹣）
=81+
=81

（2）+﹣﹣++﹣﹣++…++﹣
=+﹣﹣+…+﹣
=+1++﹣﹣﹣﹣+…++﹣﹣
=1+﹣
=1+
=1

15．计算：
1++++…+．
【分析】通过观察，每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，求出结果．
【解答】解：1++++…+
=1+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1+（1﹣）
=1+（1﹣）
=1+（1﹣）
=1+
=1

16．计算：++++…++．
【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【解答】解：++++…++
=（2﹣）+（2﹣）+（2﹣）+…+（2﹣）+（2﹣）
=（2﹣）+（2﹣）+（2﹣）+…+（2﹣）+（2﹣）
=2×19﹣（+++…+）
=38﹣[1﹣+﹣+﹣+…﹣]
=38﹣（1﹣）
=37+
=37

17．计算：+++…+．
【分析】=1+×（﹣），把每一项进行拆分，然后通过加减相互抵消，解决问题．
【解答】解：+++…+
=1+×（1﹣）+1+×（﹣）+1+×（﹣）+…+1+×（﹣）
=1×33+×（1﹣+﹣++…+﹣）
=33+×（1﹣）
=33+×
=33+
=33

18．计算：++++…+．
【分析】先计算出分母，原式变为++++…，然后把每个分数拆成两个分数的差，通过加减相互抵消，求出结果．
【解答】解：++++…+
=++++…+
=++++…+
=++++…
=1﹣++﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=

19．计算+++…+．
【分析】先探索规律：=×（﹣），=×（﹣），=×（﹣）…，=×（﹣），代入原式，然后利用分配律提取，就会出现前后项相抵消，继而求得结果．
【解答】解：+++…+
=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=×（﹣）
=×（﹣）
=×
=
=．

20．计算：+++…+．
【分析】仔细观察数据，把每个分数进行拆分，化成分数相减的形式，通过加减相互抵消，求得结果．
【解答】解：+++…+
=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
=×（2+++…++）
=×（2+﹣+﹣+…+﹣+﹣）
=×（2+﹣）
=×
=

21．计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．
【分析】把每个括号内的算式运用平方差公式展开，然后计算出每个括号内的结果，约分即可．
【解答】解：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）
=（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）
=××××…××
=×
=

22．计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）．
【分析】把每个括号内的数进行通分，原式变成，约分即可．
【解答】解：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）

=×××…×

=

=

=

三、超越篇
23．计算：++…++．
【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2+分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【解答】解：++…++
=2++2++2++…2++2+
=2×19+（1﹣﹣+﹣+…+﹣）
=38+（1﹣）
=38+
=38

24．计算：++…++．
【分析】通过观察，原式变为（1+）+（1+）+…+（1+）+（1+），然后把分数进行拆分，通过加减相互抵消，求得到结果．
【解答】解：++…++
=（1+）+（1+）+…+（1+）+（1+）
=10+（+…++）
=10+（1﹣+﹣+﹣+…+）
=10+1
=10

25．已知算式（1+）×（2+）×…×（8+）×（9+）的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？
【分析】先计算出各个括号内的结果，然后约分，求出最后结果，确定最后两位数字即可．
【解答】解：（1+）×（2+）×…×（8+）×（9+）
=××××…×××
=×1×2×3×…×8×189
=×189
=2540160．
答：它的末两位数字是60．

26．计算：+++…+．
【分析】利用==+=+=﹣+×（﹣），把每个都这样拆开计算即可．
【解答】解：+++…+
=++++++…++
=（1﹣+﹣+…+﹣）+﹣+﹣+…+﹣
=×（1+﹣）+﹣
=×+
=

27．计算：+++…+（最后结果可以用阶乘表示）
【分析】把每个分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【解答】解：+++…+
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣

28．已知A=，B=+++…+，请比较A和B的大小．
【分析】利用放缩法，可得B=+++…+＜====A，据此判断出A和B的大小即可．
【解答】解：B=+++…+
＜
=
=
==A
所以A＞B．

29．计算：+++…+（结果可以用阶乘和乘方表示）
【分析】由题意得，a1==1×3！×（）1
a2==2×4！×（）2=5！×（）2﹣4！×（）1
a3==3×5！×（）3=6！×（）3﹣5！×（）2…
a100==103×（）100﹣102！×（）99
计算即可．
【解答】解：a1==1×3！×（）1
a2==2×4！×（）2=5！×（）2﹣4！×（）1
a3==3×5！×（）3=6！×（）3﹣5！×（）2…
a100==103×（）100﹣102！×（）99
所以，+++…+
=1×3！×（）1+5！×（）2﹣4！×（）1+6！×（）3﹣5！×（）2+…+103×（）100﹣102！×（）99
=103！×（）100﹣4!×+3!×
=103!×（）100﹣4×3×2×+3×2×
=103!×（）100﹣6

30．计算：+++…+．
【分析】解：第一项为100×99×98×
第二项为100×99×98×
依此类推，最后一项为 100×99×98×（总共97项）
现在只需要计算+…+
==+﹣
+…+=（++…+）+（++…+）﹣（++…+）
所有到的可以全部消掉，得+++﹣﹣=×（++﹣﹣）．
还很难计算．
【解答】解：+++…+
=100×99×98×+100×99×98×+…+100×99×98×
=100×99×98×（++…+）
=100×99×98×（+…+）
=100×99×98×[（++…+）+（++…+）﹣（++…+）]
=100×99×98×[+++﹣﹣]
=100×99×98××（++﹣﹣）
=100×99×98××（+﹣）
=100×99×98××+100×99×98××﹣100×99×98××
=40425+4900+4950
=50275

参与本试卷答题和审题的老师有：齐敬孝；duaizh；pengh；晶优；pysxzly；奋斗（排名不分先后）
菁优网
2016年5月22日

考点卡片

1．分数的巧算
【知识点归纳】
分数运算符合的定律．
（1）乘法交换律 a×b=b×a
（2）乘法结合律 a×（b×c）=（a×b）×c
（3）乘法分配律 a×（b+c）=a×b+a×c；a×（b﹣c）=a×b﹣a×c
（4）逆用乘法分配律 a×b+a×c=a×（b+c）；a×b﹣a×c=a×（b﹣c）
（5）互为倒数的两个数乘积为1．
除法的几个重要法则
（1）商不变性质
被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即
a÷b=（a×n）÷（b×n） （n≠0）
a÷b=（a÷m）÷（b÷m） （m≠0）
（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：
（a±b）÷c=a÷c±b÷c； a÷c±b÷c=（a±b）÷c．

【命题方向】
常考题型：
例1：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）等于　　．
分析：此题如果按部就班地进行计算，计算量可想而知，所以要寻求巧算的方法，此题可利用乘法结合律进行简算．
解：（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣），
=[（1+）×（1+）×…×（1+）]×[（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）]，
=[××…×]×[××…×]，
=×，
=．
故答案为：．
点评：此题考查了学生乘法结合律的知识，以及巧算的能力．

例2：的值是多少．（　　）
A、 B、 C、 D、
分析：通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差3，分子都是3，于是可把每个分数都可以拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求得结果．
解：，
=（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣），
=﹣，
=；
故选：B．
点评：解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简算的目的．

【题方法点拨】
分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．
1、把同分母的分数凑成整数．
a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．
2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．
3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．
4、懂得拆分．

2．分数的大小比较
【知识点归纳】
分数的大小比较常用方法：
（1）通分母：分子小的分数小．
（2）通分子：分母小的分数大．
（3）比倒数：倒数大的分数小．
（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）
（5）重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
（6）放缩法．

【命题方向】
常考题型：
例1：在这四个数中，最大的数是（　　）
A、 B、 C、 D、
【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如=1+，=1+，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
解：因为＜1，＜1，＞1，＞1，因此和应排除；
=1+，
=1+，

＞，

第一单元 微小世界

18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。如草履虫、变形虫、细菌等。因此＞．
最大数是．

4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？故选：B．
【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答．

3．分数的拆项
【知识点归纳】
（1）分母为两个相邻自然数时：=﹣
（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：=﹣或=（+）×．

4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗？为什么？
【命题方向】

答：①我们每个人要做到不乱扔果皮，不随地吐痰，爱护花草树木，搞好环境卫生，保护好身边的环境。②力争做一个环保小卫士，向身边的人宣传和倡议环保。经典题型：

12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外，还要加入药物进行灭菌处理，这样才能符合我们使用的标准。例1：=　　．
【分析】根据平方差公式：原式=，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可．
解：，

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。=，

4、填埋场在填满垃圾以后，可以在上面修建公园、体育场、但是不能用来建筑房屋和种植庄稼。=，
=，
=．

一、填空：故答案为：．

1、焚烧处理垃圾的优缺点是什么？【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算．