备战中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案.doc

备战中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案一、平行四边形1四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：DAG=DCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的度数【答案】（1）证明见解析；AGBE理由见解析；（2）证明见解析；（3）BHO=45【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得DA=DC，ADB=CDB=45，则可根据“SAS”证明ADGCDG，所以DAG=DCG；根据正方形的性质得AB=DC，BAD=CDA=90，根据“SAS”证明ABEDCF，则ABE=DCF，由于DAG=DCG，所以DAG=ABE，然后利用DAG+BAG=90得到ABE+BAG=90，于是可判断AGBE；（2）如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，证明AONBOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AGBE；过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，构造全等三角形AONBOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分BHG，即BHO=45试题解析：（1）四边形ABCD为正方形，DA=DC，ADB=CDB=45，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），DAG=DCG；AGBE理由如下：四边形ABCD为正方形，AB=DC，BAD=CDA=90，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），ABE=DCF，DAG=DCG，DAG=ABE，DAG+BAG=90，ABE+BAG=90，AHB=90，AGBE；（2）由（1）可知AGBE如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，则四边形OMHN为矩形MON=90，又OAOB，AON=BOMAON+OAN=90，BOM+OBM=90，OAN=OBM在AON与BOM中，AONBOM（AAS）OM=ON，矩形OMHN为正方形，HO平分BHG（3）将图形补充完整，如答图2示，BHO=45与（1）同理，可以证明AGBE过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，与（2）同理，可以证明AONBOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分BHG，BHO=45考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN（1）连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1：DM、MN的数量关系是 ；结论2：DM、MN的位置关系是 ；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出ABEADF，得到AE=AF，从而证明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MNAE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到DMN=DGE=90从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF=2DM，MN是AEF的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE=BAD=90，DMMN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，在RtADF中，点M为AF的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质3如图，在等腰中，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】如图中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可；如图中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明再证明是等腰直角三角形即可；分两种情形a、如图中，当时，四边形ABFD是菱形、如图中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可.【详解】如图中，结论：理由：四边形ABFD是平行四边形，是等腰直角三角形，故答案为如图中，结论：理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，在和中，是等腰直角三角形，如图中，当时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知，如图中当时，四边形ABFD是菱形，易知，综上所述，满足条件的AE的长为或【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型4如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）AEC=105；（3）边BC的长为2或.【解析】试题分析：（1）过A作AHBC于H，得到四边形ADCH为矩形在BAH中，由勾股定理即可得出结论（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，解ABH即可得到结论当CAE=90时，易知CDABCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析：解：（1）过A作AHBC于H由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=， 则（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，则在ABH中，B=60，AHB=90，AB=2，得BH=1，于是BC=2当CAE=90时，易知CDABCA，又，则（舍负）易知ACE90，所以边BC的长为综上所述：边BC的长为2或点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法5如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=【解析】【分析】（1）在RtABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到BCE=EBC=60.由AEFBEC，得AFE=BCE=60.又D=60，得AFE=D=60度.所以FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以ADBC，即FD/BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60，在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60，E为AB的中点，AE=BE，又AEF=BEC，AEFBEC，在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=AB，CE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60，又AEFBEC，AFE=BCE=60，又D=60，AFE=D=60，FCBD，又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC，四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AF=3，AC=，S平行四边形BCFD=3=，SACF=3=，S平行四边形ADBC=【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6如图，在平行四边形ABCD中，ADDB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AEBD，求EDF的度数【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）EDF120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，四边形ABCD是平行四边形，BCAD，即BCDG，由折叠可知，BCDG，四边形BCGD是平行四边形，ADBD，CBD90，四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，BDEF，DPBP，ADBD，EFADBC，AEBE，DE是RtADB斜边上的中线，DEAEBE，AEBD，DEBDBE，DBE是等边三角形，EDBDBE60，ABDC，DBCDBE60，EDF120【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC2，则C，F两点间的距离为 【答案】(1) AECG，AEGC；(2)成立，证明见解析； (3) 【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得ADECDG，则12，由于2、3互余，所以1、3互余，由此可得AEGC（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证ADECDG，得54，由于4、7互余，而5、6互余，那么67；由图知AEBCEH906，即7+CEH90，由此得证（3）如图3中，作CMDG于G，GNCD于N，CHFG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CMGH，CHGM想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题【详解】(1)AECG，AEGC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，ADDC，ADECDG90，DEDG，ADECDG(SAS)，AE，CG，122+390，1+390，AHG180(1+3)1809090，AEGC(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，ADDC，DEDG，ADCDCBBBADEDG90，12903；ADECDG(SAS)，AECG，54；又5+690，4+7180DCE1809090，67，又6+AEB90，AEBCEH，CEH+790，EHC90，AEGC(3)如图3中，作CMDG于G，GNCD于N，CHFG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CMGH，CHGMBECE1，ABCD2，AEDECGDGFG，DEDG，DCEGND，EDCDGN，DCEGND(AAS)，GCD2，SDCGCDNGDGCM，22CM，CMGH，MGCH，FHFGFG，CF故答案为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题8（问题情境）在ABC中，ABAC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PECF证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PECF（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD16，CF6，求PG+PH的值（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y-x+8与直线l2：y2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2求点P的坐标【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用ABP与ACP面积之差等于ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQBC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标【详解】变式探究:连接AP，如图3： PDAB，PEAC，CFAB，且SABCSACPSABP，ABCFACPE ABPDABAC，CFPDPE；结论运用:过点E作EQBC，垂足为Q，如图，四边形ABCD是长方形，ADBC，CADC90AD16，CF6，BFBCCFADCF5，由折叠可得：DFBF，BEFDEFDF5C90，DC8EQBC，CADC90，EQC90CADC四边形EQCD是长方形EQDC4ADBC，DEFEFBBEFDEF，BEFEFBBEBF，由问题情境中的结论可得：PG+PHEQPG+PH8PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（4，0）AB10，BC10ABBC，（1）由结论得：P1D1+P1E1OA8P1D112，P1E16 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，y2x+86，x1，即点P1的坐标为（1，6）；（2）由结论得：P2E2P2D2OA8P2D22，P2E210 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，y2x+810，x1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键9正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE(1)如图1，连EF，若EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF的周长；(2)如图2，若AFAB，过点F作FGAC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH若EAH45，求证：ECHG+FC【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，得出ACAB4，求出AF3，CFACAF，求出CEF是等腰直角三角形，得出EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理求出AE，即可得出AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则CGM和CFG是等腰直角三角形，得出CMCG，CGCF，证出BMDG，证明RtAFGRtADG得出FGDG，BMFG，再证明ABEAFH，得出BEFH，即可得出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，ACAB4，4AF3AC12，AF3，CFACAF，EFAC，CEF是等腰直角三角形，EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理得：AE，AEF的周长AE+EF+AF；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则CGM和CFG是等腰直角三角形，CMCG，CGCF，BMDG，AFAB，AFAD，在RtAFG和RtADG中，RtAFGRtADG（HL），FGDG，BMFG，BACEAH45，BAEFAH，FGAC，AFH90，在ABE和AFH中，ABEAFH（ASA），BEFH，BMBE+EM，FGFH+HG，EMHG，ECEM+CM，CMCGCF，ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键10如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B处AB与CD交于点E（1）求证：AEDCEB；（2）过点E作EFAC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=BC，B=D=B，且AED=CEB，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由AEDCEB可得AE=CE，且EFAC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，AEF=CEF即AF=CF，CEF=AFE=AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ADBC，CDAB，BD平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BCBC，BBDB，ADBC且DEABECADEBEC（2）四边形AECF是菱形ADEBECAECEAECE，EFACEF垂直平分AC，AEFCEFAFCFCDABCEFEFA且AEFCEFAEFEFAAFAEAFAECECF四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键11如图，AB为O的直径，点E在O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是O的切线；（2）连接EF，当D=时，四边形FOBE是菱形【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出，根据圆的位置关系证得AC是O的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证为等边三角形，而得出，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD与O相切于点E，又，OBE=COAOE=OB，又OC=OC，OA=OE，又AB为O的直径，AC为O的切线；（2）解：四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，为等边三角形，而，故答案为30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.12如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结CE，过顶点C作CFCE，交AD延长线于F求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，B=CDF，BCD=90，再由垂直的性质得到BCE=DCF，然后根据“ASA”证明BCEBCE即可得到BE=DF详解：证明：CFCE，ECF=90，又BCG=90，BCE+ECD =DCF+ECDBCE=DCF，在BCE与DCF中，BCE=DCF，BC=CD，CDF=EBC，BCEBCE（ASA），BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键13如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点（P与B、D不重合），APE=90，且点E在BC边上，AE交BD于点F（1）求证：PABPCB；PE=PC；（2）在点P的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x，当x为何值时，AEPC，并判断此时四边形PAFC的形状【答案】（1）见解析；（2）；（3）x=1；四边形PAFC是菱形【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，ABP=CBP，再根据PB=PB，即可证出PABPCB，根据PAB+PEB=180，PEC+PEB=180，得出PEC=PCB，从而证出PE=PC；（2）根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据APE=90，得出PAE=PEA=45，即可求出；（3）先求出CPE=PEA=45，从而得出PCE，再求出BPC即可得出BPC=PCE，从而证出BP=BC=1，x=1，再根据AEPC，得出AFP=BPC=67.5，由PABPCB得出BPA=BPC=67.5，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABP=CBP=ABC=45PB=PB，PABPCB （SAS）由PABPCB可知，PAB=PCBABE=APE=90，PAB+PEB=180，又PEC+PEB=180，PEC=PAB=PCB，PE=PC（2）在点P的运动过程中，的值不改变由PABPCB可知，PA=PCPE=PC，PA=PE，又APE=90，PAE是等腰直角三角形，PAE=PEA=45，=（3）AEPC，CPE=PEA=45，在PEC中，PCE=PEC=（18045）=67.5在PBC中，BPC=（180CBPPCE）=（1804567.5）=67.5BPC=PCE=67.5，BP=BC=1，x=BDBP=1AEPC，AFP=BPC=67.5，由PABPCB可知，BPA=BPC=67.5，PA=PC，AFP=BPA，AF=AP=PC，四边形PAFC是菱形考点：四边形综合题14如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值试题解析：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题15（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决问题1：如图1，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为 ，当PQ最小时= _ _；（2）小明对问题1做了简单的变式思考如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）以PE，PC为边作PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作试求对角线长的最小值和PQ最小时的值（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=问题2：（1）=4，（2）PQ的最小值为【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值（2）由题可知：当QPAC时，PQ最小过点C作CDAB于点D此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=所以=问题2：（1）设对角线与相交于点RtRt所以AD=HC，QH=AP由题可知：当QPAB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP所以（2）根据题意画出图形，当 AB时，的长最小，PQ的最小值为试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CDAB于点D由题意可知当PQAB时，PQ最短所以此时四边形CDPQ为矩形PQ=CD，DP=CQ=PE因为BCA=90，AC=4，BC=3，所以AB=5所以CD=所以PQ=在RtACD中AC=4，CD=，所以AD=因为AE=nPA，所以PE=CQ=PD=AD-AP=所以AP=所以=问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点所以G是DC的中点，作QHBC，交BC的延长线于H，因为AD/BC，所以所以又，所以RtRt所以AD=HC，QH=AP由图知，当 AB时，的长最小，即=CH=4易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP所以（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为考点：1直角三角形的性质；2全等三角形的判定与性质；3平行四边形的性质；4矩形的判定与性质