备战中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练含答案解析.doc

备战中考数学平行四边形提高练习题压轴题训练含答案解析一、平行四边形1如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B的位置，AB与CD交于点E.（1）求证：AEDCEB（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHBC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，过点作于， ， ， ， ， 、共线， ，四边形是矩形， ， .【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.2操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，若BAP=30，求AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论【答案】（1）45；BC的中点，45；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出1+2的度数，即为FAG度数，即可求出F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，根据FAE为BAE一半求出所求角度数即可试题解析：（1）当点P在线段BC上时，EAP=BAP=30，DAE=90302=30，在ADE中，AD=AE，DAE=30，ADE=AED=（18030）2=75，在AFD中，FAD=30+30=60，ADF=75，AFE=1806075=45；点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，EGAD，DE=EF，EG=AD=1，AB=AE，点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段BE，OB=OE，GEBP，OBP=OEG，OPB=OGE，BOPEOG，BP=EG=1，即P为BC的中点，DAF=90BAF，ADF=45+BAF，AFD=180DAFADF=45；（2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，在ADE中，AD=AE，AGDE，AG平分DAE，即2=DAG，且1=BAP，1+2=90=45，即FAG=45，则AFD=9045=45；（3）如图2所示，AFE的大小不会发生变化，AFE=45，作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，BAE=90+2，FAE=BAE=45+，FAG=FAEEAG=45，在RtAFG中，AFE=9045=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.3已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原。（I）若点P落在矩形OBCD的边OB上，如图，当点E与点O重合时，求点F的坐标；如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标：（）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。 【答案】（I）点F的坐标为；点F的坐标为；（II）【解析】【分析】（I）根据折叠的性质可得,再由矩形的性质，即可求出F的坐标;由折叠的性质及矩形的特点，易得，得到，再加上平行，可以得到四边形DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 是菱形，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;()当O,P,F点共线时OP的长度最短.【详解】解：（I）折痕为EF,点P为点D的对应点四边形OBCD是矩形，点F的坐标为折痕为EF，点P为点D的对应点.四边形OBCD是矩形，；四边形DEPF是平行四边形.，是菱形. 设菱形的边长为x，则，在中，由勾股定理得 解得 点F的坐标为 （）【点睛】此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题4如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=【解析】【分析】（1）在RtABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到BCE=EBC=60.由AEFBEC，得AFE=BCE=60.又D=60，得AFE=D=60度.所以FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以ADBC，即FD/BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60，在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60，E为AB的中点，AE=BE，又AEF=BEC，AEFBEC，在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=AB，CE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60，又AEFBEC，AFE=BCE=60，又D=60，AFE=D=60，FCBD，又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC，四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AF=3，AC=，S平行四边形BCFD=3=，SACF=3=，S平行四边形ADBC=【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5如图，在平行四边形ABCD中，ADDB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AEBD，求EDF的度数【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）EDF120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，四边形ABCD是平行四边形，BCAD，即BCDG，由折叠可知，BCDG，四边形BCGD是平行四边形，ADBD，CBD90，四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，BDEF，DPBP，ADBD，EFADBC，AEBE，DE是RtADB斜边上的中线，DEAEBE，AEBD，DEBDBE，DBE是等边三角形，EDBDBE60，ABDC，DBCDBE60，EDF120【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度6如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键7如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：yx+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EFx轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t0）当点F1移动到点B时，求t的值；当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE重叠部分的面积【答案】（1）EF15；（2）10；120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=10=10；F点移动到F的距离是t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在RtFNF中，=，EM=NG=15-FN=15-3t，在RtDMH中，t=4，S=(12+)11=；当点G运动到直线DE上时，在RtFPK中，=，PK=t-3，FK=3t-9，在RtPKG中，t=7，S=15（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式ykx+b，将点E（30，0），点D（0，40），yx+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），EF15；（2）易求B（0，5），BF10，当点F1移动到点B时，t1010；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，在RtFNF中，=，FNt，FN3t，MHFNt，EMNG15FN153t，在RtDMH中，t4，EM3，MH4，S；当点G运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，PF3，PFt3，在RtFPK中，PKt3，FK3t9，在RtPKG中，t7，S15（157）120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键8如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC2，则C，F两点间的距离为 【答案】(1) AECG，AEGC；(2)成立，证明见解析； (3) 【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得ADECDG，则12，由于2、3互余，所以1、3互余，由此可得AEGC（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证ADECDG，得54，由于4、7互余，而5、6互余，那么67；由图知AEBCEH906，即7+CEH90，由此得证（3）如图3中，作CMDG于G，GNCD于N，CHFG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CMGH，CHGM想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题【详解】(1)AECG，AEGC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，ADDC，ADECDG90，DEDG，ADECDG(SAS)，AE，CG，122+390，1+390，AHG180(1+3)1809090，AEGC(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，ADDC，DEDG，ADCDCBBBADEDG90，12903；ADECDG(SAS)，AECG，54；又5+690，4+7180DCE1809090，67，又6+AEB90，AEBCEH，CEH+790，EHC90，AEGC(3)如图3中，作CMDG于G，GNCD于N，CHFG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CMGH，CHGMBECE1，ABCD2，AEDECGDGFG，DEDG，DCEGND，EDCDGN，DCEGND(AAS)，GCD2，SDCGCDNGDGCM，22CM，CMGH，MGCH，FHFGFG，CF故答案为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题9（问题情境）在ABC中，ABAC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PECF证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PECF（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD16，CF6，求PG+PH的值（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y-x+8与直线l2：y2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2求点P的坐标【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用ABP与ACP面积之差等于ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQBC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标【详解】变式探究:连接AP，如图3： PDAB，PEAC，CFAB，且SABCSACPSABP，ABCFACPE ABPDABAC，CFPDPE；结论运用:过点E作EQBC，垂足为Q，如图，四边形ABCD是长方形，ADBC，CADC90AD16，CF6，BFBCCFADCF5，由折叠可得：DFBF，BEFDEFDF5C90，DC8EQBC，CADC90，EQC90CADC四边形EQCD是长方形EQDC4ADBC，DEFEFBBEFDEF，BEFEFBBEBF，由问题情境中的结论可得：PG+PHEQPG+PH8PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（4，0）AB10，BC10ABBC，（1）由结论得：P1D1+P1E1OA8P1D112，P1E16 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，y2x+86，x1，即点P1的坐标为（1，6）；（2）由结论得：P2E2P2D2OA8P2D22，P2E210 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，y2x+810，x1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键10猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到ADEF，得到FME和AMH全等，得到HM=EM，根据RtHDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到ADEF，得到FME和AMH全等，得到HM=EM，根据RtHDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出FCE=45，FCA=45，根据RTADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RTAEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFM=HAM，又FME=AMH，FM=AM，在FME和AMH中，FMEAMH（ASA）HM=EM，在RTHDE中，HM=DE，DM=HM=ME，DM=ME（1）、如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFM=HAM，又FME=AMH，FM=AM，在FME和AMH中，FMEAMH（ASA）HM=EM，在RTHDE中，HM=EMDM=HM=ME，DM=ME，（2）、如图2，连接AE，四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE=45，FCA=45，AE和EC在同一条直线上，在RTADF中，AM=MF，DM=AM=MF，在RTAEF中，AM=MF，AM=MF=ME，DM=ME考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.11如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作ABCD，记点C纵坐标为n， （1）求a的值及点A的坐标； （2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值； （3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当AEB的面积为7时，n=_（直接写出答案）【答案】（1）， A（3，0）；（2）【解析】试题解析：（1）把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出点A的坐标（）求出点D的坐标即可求解；（3）运用AEB的面积为7，列式计算即可得解.试题解析：（1）当时，由 ，得（舍去），（1分）A（3，0） （2）过D作DG轴于G，BH轴于H.CDAB，CD=AB， （3） 12如图，AB为O的直径，点E在O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是O的切线；（2）连接EF，当D=时，四边形FOBE是菱形【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出，根据圆的位置关系证得AC是O的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证为等边三角形，而得出，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD与O相切于点E，又，OBE=COAOE=OB，又OC=OC，OA=OE，又AB为O的直径，AC为O的切线；（2）解：四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，为等边三角形，而，故答案为30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.13已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PEPB ，PE交射线DC于点E，过点E作EFAC，垂足为点F（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1要证PB=PE，只需证到PGBPHE即可；连接BD，如图2易证BOPPFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长详解：（1）证明：过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1四边形ABCD是正方形，PGBC，PHDC，GPC=ACB=ACD=HPC=45PG=PH，GPH=PGB=PHE=90PEPB即BPE=90，BPG=90GPE=EPH在PGB和PHE中，PGBPHE（ASA），PB=PE连接BD，如图2四边形ABCD是正方形，BOP=90PEPB即BPE=90，PBO=90BPO=EPFEFPC即PFE=90，BOP=PFE在BOP和PFE中， BOPPFE（AAS），BO=PF四边形ABCD是正方形，OB=OC，BOC=90，BC=OBBC=1，OB=，PF=点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示同理可得：PB=PE，PF=（3）若点E在线段DC上，如图1BPE=BCE=90，PBC+PEC=180PBC90，PEC90若PEC为等腰三角形，则EP=ECEPC=ECP=45，PEC=90，与PEC90矛盾，当点E在线段DC上时，PEC不可能是等腰三角形若点E在线段DC的延长线上，如图4若PEC是等腰三角形，PCE=135，CP=CE，CPE=CEP=22.5APB=1809022.5=67.5PRC=90+PBR=90+CER，PBR=CER=22.5，ABP=67.5，ABP=APBAP=AB=1AP的长为1点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键14已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而得AB=AF，因此当ABAF时，四边形AMCN是菱形试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ADBC四边形AECF是矩形，AECF四边形AMCN是平行四边形AMCN在RtABM和RtCDN中，ABCD，AMCN，RtABMRtCDN（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形四边形ABCD、AECF是矩形，BBADEAFF90BADNAMEAFNAM，即BAMFAN又ABAF，ABMAFNAMAN由（1）知四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形考点：1矩形的性质；2三角形全等的判定与性质；3菱形的判定15（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处（1）求矩形ABCD的边AD的长（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值；当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD3；（2）y=其中，0x3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及RtMPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQCD，根据RtNPQ的勾股定理进行求解；（4）根据RtADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折叠可知AMMP，在RtMPD中，y=其中，0x3.（3）当点N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3.PCN为等腰三角形，只可能NCNP过N点作NQCD，垂足为Q，在RtNPQ中，解得x=（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形设MPy，在RtADM中，即 y= S=考点：函数的性质、勾股定理.